一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系復(fù)習(xí)課

1、九年級數(shù)學(xué)(人教版)上冊,21.2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,復(fù)習(xí)課,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,推論1,推論2,說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：,(1) x2 - 2x - 1=0,(3) 2x2 - 6x =0,(4) 3x2 = 4,(2) 2x2 - 3x + =0,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2= -,說一說：,在使用韋達(dá)定理時，應(yīng)注意： 、不是一般式的要先化成一般式； 、在使用x1+x2= 時，注意“ ”不要漏寫。 （3） 前提是方程有實(shí)數(shù)根即0,幾種常見的求代數(shù)式的值,引申:1、若ax2b

2、xc0 (a0 0) （1）若兩根互為相反數(shù), （2）若兩根互為倒數(shù), （3）若一根為0, （4）若一根為1, （5）若一根為1, （6）若a、c異號,補(bǔ)充規(guī)律：,則b0;,則ac;,則c0 ;,則abc0 ;,則abc0;,方程一定有兩個實(shí)數(shù)根.,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值。,解法一：,設(shè)方程的另一個根為x1.,由韋達(dá)定理，得,x1 2= k+1,x1 2= 3k,解這方程組，得,x1 =3,k =2,答：方程的另一個根是3 , k的值是2。,作用1：已知方程一根，求另一根及未知數(shù)。,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是

3、2 , 求它的另一個根及k的值。,解法二：,設(shè)方程的另一個根為x1.,把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0,解這方程，得 k= - 2,由韋達(dá)定理，得x123k,即2 x1 6, x1 3,答：方程的另一個根是3 , k的值是2。,作用1：已知方程一根，求另一根及未知數(shù)。,解：設(shè)方程的兩根分別為 和 ， 則： 而方程的兩根互為倒數(shù) 即 所以： 得：,例2.方程 的兩根互為倒數(shù)，求k的值。,例3.方程3x2+x+k=0的兩根之積為-3,求k的值。,解：設(shè)方程的兩根分別為x1和x2， 則：x1x2=, k=-9,例1.已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，求這兩 個數(shù)。,解法一:設(shè)兩數(shù)分別為x

4、,y則:,解得:,x=2 y=1,或,1 y=2,解法二:設(shè)兩數(shù)分別為一個一元二次方程 的兩根則:,求得,這兩個數(shù)為2和-,作用2：已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù),例2.已知兩數(shù)之和為14，乘積為-51，求這兩數(shù).,設(shè)這兩數(shù)為 m, n，,解：,m, n可以看作是方程 x2-14x-51=0的兩個根,這兩數(shù)為17，-3,作用2：已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù),作用3：求代數(shù)式的值,例1、已知2x2-x-2=0的兩根是x1 , x2 。求下列代數(shù)式的值。,(1) x12+x22 （2） （3） （x1-x2)2,解：x1+x2= , x1 x2=-1,x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2,（2）

5、x1+x2= , x1 x2=-1,（3）x1+x2= , x1 x2=-1,（x1-x2)2=x12+x22-2x1x2,=(x1+x2)2-4x1x2,作用3：求代數(shù)式的值,(4) (x1+1)(x2+1) （5）x1-x2 （6）,（4）x1+x2= , x1 x2=-1,原式=x1x2+x1+x2+1=,（5）x1+x2= , x1 x2=-1,（6）x1+x2= , x1 x2=-1,（7）x1+x2= , x1 x2=-1,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,（8）x1+x2= , x1 x2=-1,例2.已知方程的兩個實(shí)數(shù)根 是且 求k的值。,解：由根與系數(shù)的關(guān)系得

6、x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 k2 -2(k+2）=4 k2 -2k-8=0,解得：k=4 或k=-2, = k2-4k-8 當(dāng)k=4時， =-80 k=4(舍去） 當(dāng)k=-2時，=40 k=-2,1.已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的兩個實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式a2+4a+b的值 解：a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的兩個實(shí)數(shù)根 a2+3a-7=0，a+b=-3， 則a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4,課堂練習(xí),作業(yè)：已知m、n是方程x2-3x+1=0的兩根，求2m2+4n2-6n+2014的

7、值。,2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的兩個實(shí)數(shù)根，求(2+mx1+x12)(2+mx2+x22)的值。,解：x12+(m-2)x1+2=0 , x22+(m-2)x2+2=0 x12+2=2x1-mx1 , x22+2=2x2-mx2 又x1x2=2 原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2) =2x12x2 =4x1x2 =42 =8,作業(yè)：已知x1、x2是方程x2-2013x+1=0的兩個實(shí)數(shù)根，求(1-2015x1+x12)(1-2015x2+x22)的值。,3.已知 m2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0（mn）求(m-1)(n-1).,

8、解:,由已知條件得，,m, n是方程 x2+2x-2009=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，,由韋達(dá)定理得：,m+n=-2,mn=-2009,(m-1)(n-1)=,mn- (m+n)+1,= - 2009-(-2)+1,= - 2006,課堂練習(xí),4.已知3m2-2m-5=0 , 5n2+2n-3=0 .其中m,n為實(shí)數(shù)，求 的值 。,解： 3m2-2m-5=0 與,由于m, 的關(guān)系沒有給定，故應(yīng)分兩種情況：,當(dāng)m= 時，,當(dāng)m 時，可知m, 是方程3x2-2x-5=0的兩個根，則,綜合，得 或,5.已知：x1、x2是方程x2-x+a=0的兩個實(shí)數(shù)根， 且 ，求a的值.,解：據(jù)題意得x1+x2=1；

9、x1x2=a,3a2+2a-1=0，即,又=1-4a0， a,a=1/3舍去，a= -1.,7. 已知方程x2+3x+1=0的兩個根為 求 的值。,解：,8.已知關(guān)于 x 的方程 x2+2（m-2）x+m2+4=0 有兩個實(shí)數(shù)根，并且這兩個根的平方和比 兩根的積大21。求m的值。,解=4(m-2)2-4(m2+4) =-16m0 m0 設(shè)方程兩個根為x1、x2，則由題意： x1+x2 = -2(m-2) , x1x2 = m+4 x12+x22 - x1x2=21 (x1+x2)2 - 3x1x2 = 21 4(m-2)2 - 3(m2+4) = 21 m2 - 16m - 17 = 0 m1

10、 = -1 ，m2=17（不符合m0，舍去） m = -1,9.當(dāng)m為何值時，2x2-3mx+2m+3=0的一個根是另一個根的兩倍.,解：設(shè)兩根分別為,則由韋達(dá)定理得：,2 得,10.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的兩根的平方和是 ，求的m值 。,解：設(shè)方程兩根為x1,x2. 則,解得：m1=-11, m2=3,當(dāng)m=-11時，方程為2x2+11x+23=0, =112-42230,方程無實(shí)數(shù)根，m=-11不合題意，舍去,當(dāng)m=3時，方程為2x23x5=0, =(-3)2-42(-5) 0,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.,m的值為3,11已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程kx2+4x

11、-3=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根。求k的取值范圍；是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使 成立？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由,解：42-4k(-3) 0且k0 k 且k0,假設(shè)存在.,存在滿足條件的k值，且k=4,1.已知關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2+(2k+2)x+k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 求實(shí)數(shù)k的取值范圍；是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。,解：（2k+2)2-4k(k-1) 0且k-10 k 且k1,假設(shè)存在,設(shè)方程的兩根為x1，x2,不存在滿足條件的k,13.是否存在實(shí)數(shù)m，使關(guān)于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0

12、的兩實(shí)數(shù)根的平方和為56，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。,解：假設(shè)存在,設(shè)方程的兩根為x1，x2,x1+x2=2(m-2)=2m-4 , x1x2=m2,又x12+x22=56 , (x1+x2)2-2x1x2=56,(2m-4)2-2m2=56 即m2-8m-20=0,解得：m1=10 ,m2=-2,當(dāng)m=10時，方程為x2-16x+100=0, =(-16)2-41000，方程無實(shí)數(shù)根， m=10不合題意，舍去,當(dāng)m=-2時，方程為x2+8x+4=0 , =82-440,方程無實(shí)數(shù)根， m=-2不合題意，舍去,不存在滿足條件的m,例1.求作一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程

13、 x2-6x+2=0的兩根平方的倒數(shù).,解：設(shè)方程x2-6x+2=0的兩根為m, n,設(shè)所求方程的兩根為x1, x2,作用4：求作一個一元二次方程,2.甲、乙兩同學(xué)解方程x2+px+q=0，甲看錯了一次項(xiàng)系數(shù)p，解得根為4和-9；乙看錯了常數(shù)項(xiàng)q，解得根為2和3；求原方程。 解：甲看錯了一次項(xiàng)系數(shù)，解得根為4和-9，得q=4(-9)=-36， 乙看錯了常數(shù)項(xiàng)，解得根為2和3，得p=-（2+3）=-5 則原方程為：x2-5x-36=0，,例1：已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0,解：,（1）設(shè)方程的兩個根為x1,x2，,則x1 0 ，x2 0,作用5：研究方程根的情況,（1）k 為何值時，方程有兩個負(fù)數(shù)根？,例1：已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0,（2）k 為何值時，方程有一正根和負(fù)根？,解：,(2)設(shè)方程的兩個根為x1,x2，,則x1 0,作用5：研究方程根的情況,補(bǔ)充規(guī)律：,一正根，一負(fù)根,0 x1x20,兩個正