3.2 殘差分析

1、第三章 統(tǒng)計案例,回歸分析的基本思想及其初步應用,1、求回歸直線方程的步驟：,（3）代入公式,（1）畫散點圖,例1 從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如表1-1所示。,求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為 172cm的女大學生的體重。,3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數y=bx+a描述它們關系。,思考 產生隨機誤差項e 的原因是什么？,我們可以用下面的線性回歸模型來表示： y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數， e稱為隨機誤差。,思考 產生隨機誤差項e的原因是什么？,隨機誤差e的來源(可以推

2、廣到一般）： 1、其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只是體重 x，可能 還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等因素； 2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差； 3、身高 y 的觀測誤差。,假設隨機誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點圖中所有的點將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數據點并沒有完全落在回歸直線上。這些點散布在回歸直線附近，所以一定是隨機誤差把這些點從回歸直線上“推”開了。,在例1中，殘差平方和約為128.361。,例如，編號為6的女大學生，計算殘差為：,類似于方差的定義,表1-4列出了女大學生身高和體重的原始數據以及相應的殘差數據。,在研究兩個變量間的

3、關系時，首先要根據散點圖來粗略判斷它們是否線性相關，是否可以用回歸模型來擬合數據。,殘差分析與殘差圖的定義：,然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始 數據中是否存在可疑數據，這方面的分析工作稱為殘差分析。,我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。,殘差圖的制作及作用。 坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； 若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域； 對于遠離橫軸的點，要特別注意。,身高與體重殘差圖,幾點說明： 第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集

4、過程中是否有人為的錯誤。如果數據采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數據；如果數據采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。,R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預報變量的線性相關性越強）。,如果某組數據可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數據的模型。,總的來說： 相關指數R2是度量模型擬合效果的一種指標。 在線性模型中，它代表自變量刻畫預報變量的能

5、力。,例 關于x與y有如下數據： 有如下的兩個線性模型： （1） ；（2） 試比較哪一個擬合效果更好。,第一個好,一般地，建立回歸模型的基本步驟為：,（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。,（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。,（3）由經驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數據呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.,（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數（如最小二乘法）。,（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數據對應殘差過大，或殘差呈現不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是 否合

6、適等。,案例2 一只紅鈴蟲的產卵數y和溫度x有關?，F收集了7組觀測數據列于表中：,（1）試建立產卵數y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產卵數目。 （2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產卵數的變化？,畫散點圖,假設線性回歸方程為 ：=bx+a,選 模 型,所以，一次函數模型中溫度解釋了74.64%的產卵數變化。,探索新知,方案1,當x=28時，y =19.8728-463.73 93,線性模型,奇怪？,9366 ? 模型不好？,方案2,問題3,合作探究,t=x2,二次函數模型,方案2解答,平方變換：令t=x2，產卵數y和溫度x之間二次函數模型y=bx2+a就轉化為產卵數y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a,作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關指數R2=r20.8962=0.802,將t=x2代入線性回歸方程得： y=0.367x2 -202.54 當x=28時，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802， 所以，二次函數模型中溫度解 釋了80.2%的產卵數變化。,產卵數,氣溫,指數函數模型,方案3,合作探究,對數,方案3解答,當x=28oC 時，y 44 ，指數回歸模型中溫度解釋了98.5%的產卵數的變化,由計算器得：z關于x的線性回歸方程 為z=0