23函數(shù)的奇偶性

1、要點(diǎn)梳理 1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念 一般地,如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都 有_，那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù). 一般地,如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都 有_，那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù). 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸 對(duì)稱.,2.3 函數(shù)的奇偶性,f（-x）=f（x）,f（-x）=-f（x）,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),2.判斷函數(shù)的奇偶性 判斷函數(shù)的奇偶性,一般都按照定義嚴(yán)格進(jìn)行,一般 步驟是: （1）考查定義域是否關(guān)于_對(duì)稱； （2）考查表達(dá)式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）： 若f（-x）=_，則f（x）為奇函數(shù)； 若f（-x）=_，則f（

2、x）為偶函數(shù)； 若f（-x）=_且f（-x）=_,則f(x)既是 奇函數(shù)又是偶函數(shù)； 若f（-x）-f（x）且f（-x）f（x），則f（x）既 不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，即非奇非偶函數(shù).,原點(diǎn),-f（x）,f（x）,-f（x）,f（x）,3.奇、偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性_, 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性_(填 “相同”、“相反”）. (2)在公共定義域內(nèi) 兩個(gè)奇函數(shù)的和是_,兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶 函數(shù)； 兩個(gè)偶函數(shù)的和、積是_； 一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積是_.,奇函數(shù),偶函數(shù),奇函數(shù),相同,相反,基礎(chǔ)自測(cè) 1.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 （ ） A

3、.y=2x-3 B.y=-3x2 C.y=ln 5x D.y=-|x|cos x 解析 A為非奇非偶函數(shù),B、D為偶函數(shù),C為奇函數(shù). 設(shè)y=f(x)=ln 5x=xln 5,f（-x）=-xln 5=-f（x）.,C,2.函數(shù) 的圖象關(guān)于 （ ） A.y軸對(duì)稱 B.直線y=-x對(duì)稱 C.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D.直線y=x對(duì)稱 解析 f（x）是奇函數(shù).f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,C,3.下列函數(shù)中既是奇函數(shù),又在區(qū)間-1,1上單調(diào)遞 減的函數(shù)是 ( ) A.f(x)=sin x B.f(x)=-|x-1| C. D. 解析 函數(shù)是奇函數(shù),排除B、C（B中函數(shù)是非奇 非偶函數(shù)，C中是偶函數(shù)）， -1

4、，1 f（x）=sin x在-1,1上是增函數(shù),排除A,故選D.,D,4.已知f(x）=ax2+bx是定義在a-1，2a上的偶函數(shù), 那么a+b的值是 （ ） A. B. C. D. 解析 依題意得,B,5.函數(shù)f（x）=x3+sin x+1 (xR), 若f（a）=2，則 f（-a）的值為 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析 設(shè)g(x)=x3+sin x,很明顯g(x)是一個(gè)奇函數(shù). f（x）=g（x）+1.f（a）=g（a）+1=2， g（a）=1， g（-a）=-1，f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.,B,題型一 函數(shù)奇偶性的判斷 【例1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：

5、(1) (2),題型分類 深度剖析,解 (1) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 故原函數(shù)是奇函數(shù). (2) 0且1-x0 -1x1, 定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,故原函數(shù)是非奇非偶函數(shù).,判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個(gè)必備條 件: 一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這是函數(shù)具有奇偶性的 必要不充分條件,所以首先考慮定義域?qū)鉀Q問題是 有利的; 二是判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系.在判斷奇 偶性的運(yùn)算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān) 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函 數(shù))是否成立.,探究提高,知能遷移1 判斷函數(shù)f(x)= 的奇偶性. 解 -2x2且x0, 函數(shù)f(x

6、)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).,4-x20 |x+3|3,題型二 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 【例2】判斷函數(shù) 的奇偶性, 并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解 所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,0)(0,1). f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且對(duì)定義域內(nèi)的任 意x, 所以f(x)是奇函數(shù).,任取x1,x2(0,1),且設(shè)x10，即f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減. 由于f(x)是奇函數(shù),所以f(x)在(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減. f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0)和(0,1).,探究提高 根據(jù)函數(shù)的奇偶性,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 是常用的方法.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；

7、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.所以對(duì)具有奇偶 性的函數(shù)的單調(diào)性的研究,只需研究對(duì)稱區(qū)間上的單 調(diào)性即可.,知能遷移2 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù). (1)求a，b的值； (2)若對(duì)任意的tR，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒 成立,求k的取值范圍. 解 (1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0，,(2)由(1)知 由上式易知f(x)在(-,+)上為減函數(shù). 又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)-2t2+k. 即對(duì)一切tR有3t2-2t-k0. 從而判別式=4+12k0,解得k,題型三 抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 【例3】(12分)已知

8、函數(shù)f(x),當(dāng)x,yR時(shí),恒有f(x+y) =f(x)+f(y). (1)求證：f(x)是奇函數(shù)； (2)如果x為正實(shí)數(shù)，f（x）0,并且f(1)= 試 求f(x)在區(qū)間-2，6上的最值. (1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行證明, 只需證f(x)+f(-x)=0; (2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行證明,并注意函數(shù)奇 偶性的應(yīng)用.,思維啟迪,解題示范 (1)證明 函數(shù)定義域?yàn)镽,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),

9、f(x)為奇函數(shù). 4分 （2）解 方法一 設(shè)x,yR+， f（x+y）=f（x）+f（y）， f（x+y）-f（x）=f（y）. xR+，f（x）0, f(x+y)-f(x)0,f(x+y)x, f(x)在（0，+）上是減函數(shù). 8分 又f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0， f（x）在（-,+）上是減函數(shù). f（-2）為最大值，f(6)為最小值. 10分 f(1)= f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3. 所求f(x)在區(qū)間-2，6上的最大值為1，最小值 為-3. 12分,方法二 設(shè)x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0. 即

10、f(x)在R上單調(diào)遞減. f（-2）為最大值，f（6）為最小值. 10分 f（1）= f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1 f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3. 所求f(x)在區(qū)間-2，6上的最大值為1，最小值 為-3. 12分,探究提高 （1）滿足f(a+b)=f(a)+f(b)的函數(shù)，只 要定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，它就是奇函數(shù). （2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是求最值（或值域）的常用 方法之一，特別對(duì)于抽象函數(shù)，更值得關(guān)注.,知能遷移3 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈=x|x0,且滿足 對(duì)于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2). （1）求f(1)的值； （2）判斷

11、f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論； （3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在 (0，+)上是增函數(shù)，求x的取值范圍. 解 （1）對(duì)于任意x1,x2D, 有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)， 令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),f(1)=0.,(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1). f(-1)= f(1)=0. 令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), f(-x)=f(x),f(x)為偶函數(shù). （3）依題設(shè)有f(44)=f(4)+f(4)=2, f（164）=f（16）+f（4）=3， f(3x+1)+f(2x-6

12、)3, f(3x+1)(2x-6)f(64) (*),f(x)在（0，+）上是增函數(shù)， (*)等價(jià)于不等式組 x的取值范圍為,1.正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,必須把握好兩個(gè) 問題: (1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函 數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式. 2.奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù).為 了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時(shí)需要先將函數(shù)進(jìn)行化 簡(jiǎn),或應(yīng)用定義的等價(jià)形式:f(-x)=f(x) f(-x) f(x)=0 =1(f(x)0).,方法與技巧,思想方法 感悟提高,3.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸 對(duì)稱,反