長方形的椅子能在凹凸不平的地面上放穩(wěn)嗎？.docx

1、長方形的椅子能在不平的地面上站穩(wěn)嗎？一、問題提出椅子(四條腿的椅腳連線呈長方形)能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn),然而只要稍挪動幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了。以下用數(shù)學(xué)語言證明。二、問題分析該模型看似與數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)無關(guān)，但我們可以用數(shù)學(xué)語言給予表述，并用數(shù)學(xué)工具來證明，經(jīng)過分析，我們可以一元變量表示椅子的位置，用的兩個函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離，進而把模型假設(shè)和椅子同時著地的結(jié)論用簡單、精確的數(shù)學(xué)語言表達出來，構(gòu)成了這個實際問題的數(shù)學(xué)模型。三、模型假設(shè)為了明確問題，對上述現(xiàn)象中的有關(guān)因素在符合日常生活的前提下，做出如下假設(shè)：（1）椅子四條腿一樣長，椅

2、腳與地面接觸處視為一點，四腳的連線呈長方形（2）地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷(沒有像臺階那樣的情況)，即從數(shù)學(xué)的角度看，地面是連續(xù)曲面（3）椅子在任何位置至少有三只腳同時著地為保證這一點，要求對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的因為在地面上與椅腳間距和椅腿長度的尺寸大小相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，如果出現(xiàn)深溝或凸峰(即使是連續(xù)變化的)，此時三只腳是無法同時著地的四、模型建立在上述假設(shè)下，解決問題的關(guān)鍵在于選擇合適的變量，把椅子四只腳同時著地表示出來.首先，引入合適的變量來表示椅子位置的挪動要把椅子通過挪動放穩(wěn)，通常有拖動或轉(zhuǎn)動椅子兩種辦法，也就是數(shù)學(xué)上所說的平移與旋轉(zhuǎn)變換然而，

3、平移椅子后問題的條件沒有發(fā)生本質(zhì)變化，所以用平移的辦法是不能解決問題的于是可嘗試將椅子就地旋轉(zhuǎn)，并試圖在旋轉(zhuǎn)過程中找到一種椅子能放穩(wěn)的情形椅腳連線呈長方形，長方形是中心對稱圖形，繞它的對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后，椅子仍在原地把長方形繞它的對稱中心O旋轉(zhuǎn)，這可以表示椅子位置的改變。于是，旋轉(zhuǎn)角度這一變量就表示了椅子的位置為此，在平面上建立直角坐標(biāo)系來解決問題如下圖所示，設(shè)椅腳連線為長方形ABCD，以對角線AC所在的直線為x軸，對稱中心O為原點，建立平面直角坐標(biāo)系椅子繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度后，長方形ABCD轉(zhuǎn)至A1B1C1D1的位置，這樣就可以用旋轉(zhuǎn)角（0）表示出椅子繞點O旋轉(zhuǎn)后的位置其次，把椅腳

4、是否著地用數(shù)學(xué)形式表示出來.我們知道，當(dāng)椅腳與地面的豎直距離為零時，椅腳就著地了，而當(dāng)這個距離大于零時，椅腳不著地.由于椅子在不同的位置是的函數(shù)，因此，椅腳與地面的豎直距離也是的函數(shù).由于椅子有四只腳，因而椅腳與地面的豎直距離有四個，它們都是的函數(shù)而由假設(shè)(3)可知，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地，即這四個函數(shù)對于任意的，其函數(shù)值至少有三個同時為0因此，只需引入兩個距離函數(shù)即可考慮到長方形ABCD是中心對稱圖形，繞其對稱中心O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)180后，長方形位置不變，但A,C和B,D對換了因此，記A， B兩腳與地面豎直距離是之和為f（），C、D兩腳與地面的豎直距離之和為g（），其中0，,從

5、而將原問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)模型：已知f（）和g（）是非負的連續(xù)函數(shù)，對于任意的，有f（） g（）=0. 證明存在某個0 0，使得f（0）= g（0）=0成立.五、模型求解如果f（0）=g（0）=0，那么結(jié)論成立。如果f（0）=g（0）不同時為零；不妨設(shè)f（0）0, g（0）=0.這時，將長方形ABCD繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)180度，點A,B分別與C,D互換，但長方形ABCD在地面上所處的位置不變，由此可知f（）=g（0），g（）=f（0）.而由f（0）0， g（0）=0. 得g（）0，f（）=0. 令h（）= f（）- g（），由f（）和g（）的連續(xù)性知h（）也是連續(xù)函數(shù)又h（0）= f（0）- g（0）0, h（）= f（）- g（）0，根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，必存在0(0，