用初等數(shù)學方法求斐波那契數(shù)列的通項公式

1、.用初等數(shù)學方法求斐波那契數(shù)列的通項公式斐波那契 (Fibonacci) 數(shù)列是著名的數(shù)列，有很高的實用價值。多年來，學者們一直在探究它的通項公式的求解方法，已經(jīng)涌現(xiàn)出了多種方法。但據(jù)筆者們所知，這些方法大都需要比較高深的數(shù)學知識，例如組合數(shù)學的方法、概率的方等等，讓人比較難理解，不容易接受?；诖耍芯拷o出了一種簡易的初等數(shù)學方法，先探求它們的特征多項式，然后通過求解線性方程組的思想，得出它們的通項公式。這種方法深入淺出，有一定的實用價值。1.斐波那契數(shù)列的由來13 世紀意大利數(shù)學家斐波那契在他的算盤書的修訂版中增加了一道著名的兔子繁殖問題. 問題是這樣的: 如果每對兔子（一雄一雌）每月能生

2、殖一對小兔子（也是一雄一雌，下同），每對兔子第一個月沒有生殖能力，但從第二個月以后便能每月生一對小兔子.假定這些兔子都沒有死亡現(xiàn)象，那么從第一對剛出生的兔子開始，12 個月以后會有多少對兔子呢？解釋說明為：一個月：只有一對兔子；第二個月：仍然只有一對兔子；第三個月：這對兔子生了一對小兔子，共有1+1=2 對兔子.第四個月：最初的一對兔子又生一對兔子，共有2+1=3對兔子.則由第一個月到第十二個月兔子的對數(shù)分別是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，人為了紀念提出兔子繁殖問題的斐波納契，將這個兔子數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34這樣的

3、數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列。2.斐波那契數(shù)列的定義定義:數(shù)列F1,F2, ,Fn,如果滿足條件,(對所有的正整數(shù)n 3),則稱此數(shù)列為斐波那契(Fibonacci)數(shù)列。3. 斐波那契數(shù)列的通項公式推導方法一：利用特征方程 由通項公式F(n+2)=F(n+1)+F(n)可以得到特征方程X2=X+1解得X1 = ， X2 = 所以F(n)可以表示成F(n) = a +b （1）由F(0) = 0和F(1) = 1得如下兩個方程：a + b = 0a + b = 1解得a = , b = 帶入（1）式可得推導方法二：待定系數(shù)法設(shè)常數(shù)，使得.則n3時，有將以上n-2個式子相乘，得：上式可化簡為： 的一解為

4、 推導方法三：慮由數(shù)列F1,F2, ,Fn,中相鄰兩項組成的數(shù)組組成的序列.由得到序列an的相鄰兩項與之間的關(guān)系，即,其中。序列的每一項n- 1可以由前一項n- 2( n 3)乘矩陣A得到,就好像是以A為公比的等比數(shù)列,與等比數(shù)列類似可以得到它的通項:。要得到Fn,就要先算出。為了算出,利用矩陣相似的理論和方法,先將A相似于盡可能簡單的形狀。A的特征多項式為,解得特征值為和。分別求得特征向量和以X1, X2為兩列組成可逆方陣則,，.從而解法三可以推廣到一般的情形:對任意給定的復(fù)數(shù)c1,c2,如果數(shù)列Un滿足條件，并且已知這個數(shù)列的前兩項,求數(shù)列的通項。4.數(shù)學歸納法證明斐波那契數(shù)列當n=0時，F(xiàn)（0）= = 0，通項公式成立。當n=1時，F(xiàn)（1）= = = 1，通項公式成立。假設(shè)通項公式F（n）= 當n=k時F（k）= 成立，而且當n=k+1時F（k+