第六章IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法

1、第六章 IIR濾波器的設(shè)計(jì),主要內(nèi)容,理解數(shù)字濾波器的基本概念 了解最小相位延時(shí)系統(tǒng) 理解全通系統(tǒng)的特點(diǎn)及應(yīng)用 掌握沖激響應(yīng)不變法 掌握雙線性變換法 掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點(diǎn) 了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程 了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類型數(shù)字濾波器的方法,6.1 引言,數(shù)字濾波器：,是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。,高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能,優(yōu)點(diǎn)：,1、濾波器的基本概念,（1） 濾波器的功能 濾波器的功能是對輸入信號進(jìn)行濾

2、波以增強(qiáng)所需信號部分，抑制不要的部分。,a） 時(shí)域說明 b） 頻域說明,（2） 四種基本的濾波器,四種基本濾波器為低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻濾波器（BRF）：,（3） 四種基本濾波器的數(shù)字表示,低通 高通 帶通 帶阻,2、LP到其他濾波器的變換,由LP實(shí)現(xiàn)的HP,LP實(shí)現(xiàn)的BP,LP實(shí)現(xiàn)的BRF,3、 濾波器的性能指標(biāo),帶寬：當(dāng)幅度降低到0.707時(shí)的寬度稱為濾波器的帶寬（3dB帶寬）,通帶、阻帶與過渡帶：信號允許通過的頻帶為通帶，完全不允許通過的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過渡帶。,滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過渡帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率。,阻帶衰減：輸入信號

3、在阻帶的衰減量,帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度,4、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟,數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)三個(gè)步驟: (1) 按要求確定濾波器的性能參數(shù)； (2) 用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近去逼近這一性能要求； (3) 用有限精度的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)；實(shí)現(xiàn)可以采用通用計(jì)算機(jī)，也可以采用DSP。,5、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求,選頻濾波器的頻率響應(yīng)：,為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況,為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況,理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近,通帶最大衰減：,阻帶最小衰減：,6、表征濾波器頻率響應(yīng)的特征參量,幅度平方響應(yīng),的極點(diǎn)既是共軛的

4、，又是以單位圓成鏡像對稱的,H(z)的極點(diǎn)：單位圓內(nèi)的極點(diǎn),相位響應(yīng),相位響應(yīng)：,群延遲響應(yīng),相位對角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值,若濾波器通帶內(nèi) = 常數(shù)， 則為線性相位濾波器,7、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法,先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器,用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：,即為求濾波器的各系數(shù),計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法,s平面逼近：模擬濾波器,z平面逼近：數(shù)字濾波器,8 、將DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為ALF的技術(shù)指標(biāo) 一、意義 AF的設(shè)計(jì)有一套相當(dāng)成熟的方法：設(shè)計(jì)公式； 設(shè)計(jì)圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪 夫等。 二、一般轉(zhuǎn)換方法 1、 2、 3、 4、,三、轉(zhuǎn)換舉例 例如，一低通D

5、F的指標(biāo)：在 的通帶 范圍，幅度特性下降小于1dB；在 的 阻帶范圍，衰減大于15dB；抽樣頻率 ； 試將這一指標(biāo)轉(zhuǎn)換成ALF的技術(shù)指標(biāo)。 解：按照衰減的定義和給定指標(biāo)，則有,假定 處幅度頻響的歸一化值為1， 即,這樣，上面兩式變?yōu)?由于 ，所以當(dāng)沒有混疊時(shí)，根據(jù)關(guān)系式 模擬filter的指標(biāo)為,6.2 最小與最大相位延時(shí)系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng),LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,模：,相角：,當(dāng),位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為2p,位于單位圓外的零/極矢量角度變化為 0,單位圓外的零點(diǎn)數(shù)為mo,單位圓內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)為pi,單位圓外的極點(diǎn)數(shù)為po,則：,全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)：po = 0，

6、pi = N,因果穩(wěn)定系統(tǒng),1）全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)：,2）全部零點(diǎn)在單位圓外：,為最小相位延時(shí)系統(tǒng),為最大相位延時(shí)系統(tǒng),n 0時(shí)，h(n) = 0,相位延時(shí)系統(tǒng),逆因果穩(wěn)定系統(tǒng),1）全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)：,2）全部零點(diǎn)在單位圓外：,全部極點(diǎn)在單位圓外：po = N，pi = 0,為最大相位超前系統(tǒng),為最小相位超前系統(tǒng),相位超前系統(tǒng),n 0時(shí)，h(n) = 0,最小相位延時(shí)系統(tǒng)的性質(zhì),1）在 相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后,2）最小相位延時(shí)系統(tǒng)的能量集中在n=0附近，而總能量相同,5）級聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成一相同幅度響應(yīng)的非最小相位延時(shí)系統(tǒng),4）在 相同的系統(tǒng)中， 唯一,3

7、）最小相位序列的 最大：,6.3 全通系統(tǒng),一階全通系統(tǒng)：,極點(diǎn)：,零點(diǎn)：,零極點(diǎn)以單位圓為鏡像對稱,極點(diǎn)：,零點(diǎn)：,實(shí)系數(shù)二階全通系統(tǒng),兩個(gè)零點(diǎn)（極點(diǎn)）共軛對稱,極點(diǎn)：,零點(diǎn)：,零點(diǎn)與極點(diǎn)以單位圓為鏡像對稱,可以證明，一階全通節(jié)在任何頻率上，其頻率響應(yīng)的模都為1：,N 階數(shù)字全通濾波器,極點(diǎn)： 的根,零點(diǎn)： 的根,因?yàn)?所以,全通系統(tǒng)的應(yīng)用,1）任一因果穩(wěn)定（非最小相位延時(shí)）系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián),其中：H1(z)為最小相位延時(shí)系統(tǒng)， 為單位圓外的一對共軛零點(diǎn),而幅度響應(yīng)不變：,P231 圖66,2）級聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變

8、成一個(gè)穩(wěn)定濾波器,把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點(diǎn)映射到單位圓內(nèi),單位圓外極點(diǎn)：,3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性,利用均方誤差最小準(zhǔn)則求均衡器Hap(z)的有關(guān)參數(shù),6.4 用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器,設(shè)計(jì)思想：,s 平面 z 平面,模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng),H(z) 的頻率響應(yīng)要能模仿 Ha(s) 的頻率響應(yīng)， 即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓,因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內(nèi) |z| 1,設(shè)計(jì)方法：,- 沖激響應(yīng)不變法,- 階躍響應(yīng)不變法,- 雙線性變換法,6.5

9、沖激響應(yīng)不變法,一、變換原理,數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t),T抽樣周期,設(shè),則：,從頻率響應(yīng)來看：,數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為2p/T 只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即,才能使數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真,實(shí)際系統(tǒng)不可能嚴(yán)格限帶，都會混迭失真，在 |W|Ws/2處衰減越快，失真越小,當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率wc給定時(shí)，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象,二、模擬濾波器的數(shù)字化,系數(shù)相同：,極點(diǎn)：s 平面 z 平面,穩(wěn)定性不變：S域穩(wěn)定，即極點(diǎn)位于

10、s平面左半平面，故在 s 平面 ： z 平面,當(dāng)T 很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正,令：,則：,試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器,例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：,設(shè)T = 1s，則,模擬濾波器的頻率響應(yīng)：,數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：,優(yōu)點(diǎn)：,缺點(diǎn)：,保持線性關(guān)系：w=WT 線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器,頻率響應(yīng)混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器,h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)ha(t) 時(shí)域逼近良好,沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn),6.6 階躍響應(yīng)不變法,變換原理,數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)g(n) 模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)ga(

11、t),T 抽樣周期,階躍響應(yīng)不變法同樣有頻率響應(yīng)的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應(yīng)不變法要小。,例：二階Butterworth 歸一化模擬濾波器（LPF）為：,設(shè)計(jì)對應(yīng)3dB截止模擬頻率為50Hz的二階Butterworth數(shù)字濾波器。設(shè)數(shù)字系統(tǒng)采樣頻率為500Hz，并采用階躍響應(yīng)不變法來設(shè)計(jì)。,解：求模擬系統(tǒng)函數(shù)：,最后得 （用在z-1表示）,代入T=1/500，計(jì)算ZT得,6.7 雙線性變換法,沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真 為了克服這一缺點(diǎn)，采用雙線性變換法。 使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似,一、變換原理及特點(diǎn),沖激或者階躍響應(yīng)不變法的

12、映射是多值映射,導(dǎo)致頻率響應(yīng)交疊。 改進(jìn)思路：先將s域平面壓縮到一個(gè)中介平面s1，然后再將s1映射到Z平面。,為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù) c,2）某一特定頻率嚴(yán)格相對應(yīng)：,1）低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系：,特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置,二、變換常數(shù)c的選擇,三、逼近情況,1）,2）,四、優(yōu)缺點(diǎn),優(yōu)點(diǎn)：,避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象,s 平面與 z 平面為單值變換,缺點(diǎn)：除了零頻率附近，W與w之間嚴(yán)重非線性,2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變,分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸

13、變,預(yù)畸變,給定數(shù)字濾波器的截止頻率 w1，則,按W1設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到w1為截止頻率的數(shù)字濾波器,五、模擬濾波器數(shù)字化方法,可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng),可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng),6.8 常用模擬低通濾波器特性,將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器,模擬濾波器,巴特沃斯 Butterworth 濾波器,切比雪夫 Chebyshev 濾波器,橢圓 Ellipse 濾波器,貝塞爾 Bessel 濾波器,1、由幅度平方函數(shù) 確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù),h(t)是實(shí)函數(shù),將左半平面的的極點(diǎn)歸Ha(s),將以虛軸為對稱軸的對稱零點(diǎn)的任一半作為

14、Ha(s)的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸Ha(s),Ha(s) Ha(-s)的零極點(diǎn)分布,由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù),對比 和 ，確定增益常數(shù),由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得,例：,解：,極點(diǎn)：,零點(diǎn)： （二階）,零點(diǎn)：,的極點(diǎn)：,設(shè)增益常數(shù)為K0,（1） 巴特沃爾斯濾波器（Butterworth）,2、常見模擬濾波器設(shè)計(jì),1）幅度平方函數(shù)：,當(dāng),稱Wc為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬,N為濾波器的階數(shù),Wc為通帶截止頻率,1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：,3dB不變性,通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小,過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小,當(dāng)WWst（阻帶截止頻率）時(shí)，衰減的d1為阻帶最小衰減,Bu

15、tterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：,2）幅度平方特性的極點(diǎn)分布：,極點(diǎn)在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn),極點(diǎn)間的角度間隔為,極點(diǎn)不落在虛軸上,N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)，實(shí)軸上無極點(diǎn),Ha(s) Ha(-s)的零極點(diǎn)分布 (a) N=3 (三階） (b)N=4 （四階）,為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式為,設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)（見前頁圖），它們分別為：（下頁）,3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：,其中分子系數(shù) 由Ha(0)=1解得。,取s平面左半平面

16、的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)：,由前討論知，系統(tǒng)函數(shù)為：,極點(diǎn)為：,當(dāng)N為偶數(shù)，Ha(s)的極點(diǎn)（左半平面）皆成共軛對，記為：,這一對共軛點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)二階子系統(tǒng)：,當(dāng)N為奇數(shù)，則系統(tǒng)由一個(gè)一階系統(tǒng)（極點(diǎn)s=-1）和(N-1)/2個(gè)二階系統(tǒng)組成：,整個(gè)系統(tǒng)由N/2（N為偶數(shù)）個(gè)此二階系統(tǒng)級聯(lián)而成：,N為偶數(shù),N為奇數(shù),為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),去歸一化，得,例：試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通巴特沃思濾波器，要求通帶截止頻率c=24000rad/s，通帶最大衰減1=3dB，阻帶下限截止頻率st=28000rad/s，阻帶最小衰減2=20dB.,解：,（1）求階數(shù)N：,聯(lián)立求解，（過程見教材）得：,因此可取

17、N=4；,（2）求極點(diǎn)：,由式：,（3）求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：,實(shí)際上，求出N=4時(shí)，可以直接查表（表6-4），得到歸一化的（c=1）4階巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，然后再用s/c代替其中的s即可得到同樣的結(jié)果。,4）濾波器的設(shè)計(jì)步驟：,根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：,確定技術(shù)指標(biāo)：,由,得：,同理：,令,則：,求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：,或者由N，直接查表得,其中技術(shù)指標(biāo)Wc給出或由下式求出：,其中極點(diǎn)：,去歸一化,阻帶指標(biāo)有富裕,或,通帶指標(biāo)有富裕,例：設(shè)計(jì)Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2p rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內(nèi)，衰減大

18、于15dB。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。,1、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì),1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：,2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T = 1 s,a）確定參數(shù),用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真,3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器,b) 求出極點(diǎn)（左半平面）,c) 構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù),c) 去歸一化,4）將Ha(s)展成部分分式形式:,變換成Butterworth數(shù)字濾波器：,用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出的Butterworth濾波器,2、用雙線性變換法設(shè)計(jì),1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：,2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：,a）確定參數(shù),用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無

19、混迭問題,3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器,b) 求出極點(diǎn)（左半平面）,c) 構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù),c) 去歸一化,4）將Ha(s)變換成Butterworth數(shù)字濾波器：,（2） 切貝雪夫?yàn)V波器（ Chebyshev ）,N：濾波器的階數(shù),Wc ：截止頻率，不一定為3dB帶寬,0e1，表示通帶波紋大小，e越大，波紋越大,CN(x) ：N階Chebyshev多項(xiàng)式,Type I Chebyshev,當(dāng)N=0時(shí)，C0(x)=1； 當(dāng)N=1時(shí)，C1(x)=x； 當(dāng)N=2時(shí)，C2(x)=2x 2 -1； 當(dāng)N=3時(shí)，C3(x)=4x 3 -3x。 由此可歸納出高階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為: C

20、 N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x),下圖示出了階數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式特性。 由圖可見： (1)切比雪夫多項(xiàng)式的過零點(diǎn)在|x|1的范圍內(nèi)； (2)當(dāng)|x|1時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。,左圖：N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線,切比雪夫型濾波器幅頻特性,N為偶數(shù),N為奇數(shù),通帶內(nèi)：在1和 間等波紋起伏,通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0,Chebyshev濾波器的設(shè)計(jì)過程：,Wc ：通帶截止頻率，給定,e ：表征通帶內(nèi)波紋大小,由通帶衰減決定,1）求 e：,N：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)，N的數(shù)值可由阻帶衰減確定。,若Wst為阻帶截止頻率，則：,2）求 N：,誤差的分貝數(shù)為2：,進(jìn)而可求得A值為：,從而：,由此得：,阻帶衰減越大（即A越大），所需階數(shù)越高,注意到：,因此：,結(jié)合前式：,3）求濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：,已知N，c，故可求出Ha(s)。一種方法是直接查表（表6-5），得到歸一化的的系統(tǒng)函數(shù)，然后再求出Ha(s)；另一方法為直接求解，先求出Ha(s)的極點(diǎn)分布，再求出Ha(s)，介紹如下：,令其分母多項(xiàng)式為0，即可求出極點(diǎn)：,為求解前式，經(jīng)過一系列變換（見教材），得到Ha(s) Ha(-s)的極點(diǎn)為：,若記：,得到Ha(s) Ha(-s)在s平面的極點(diǎn)滿