數(shù)學(xué)必修3教材分析與教學(xué)建議

1、必 修 三 教 材 分 析 與 教 學(xué) 建 議 廣州執(zhí)信中學(xué) 張蜀青一、深刻理解編寫意圖是上好必修三的前提1弄清新課程對(duì)各章的目標(biāo)和要求1.1 算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計(jì)算科學(xué)的重要基礎(chǔ)。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，算法在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用，并日益融入社會(huì)生活的許多方面，算法思想也正在成為普通公民的常識(shí)，成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在“算法初步”一章中學(xué)生將學(xué)習(xí)算法的初步知識(shí)，并通過對(duì)具體算法案例的分析，體驗(yàn)算法在解決問題中的重要作用，培養(yǎng)算法基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)的能力。同時(shí)學(xué)生還將體會(huì)算法在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)發(fā)展中的重要

2、作用，了解以“算法”為基礎(chǔ)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就。1.2 “統(tǒng)計(jì)”一章主要介紹最基本的獲取樣本數(shù)據(jù)、提取信息的方法。包括用樣本估計(jì)總體分布、數(shù)字特征和線性回歸等內(nèi)容。從義務(wù)教育階段來看，統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)從小學(xué)到初中分三個(gè)階段都要學(xué)習(xí)收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)等處理數(shù)據(jù)的基本方法，教學(xué)要求隨著學(xué)段的升高逐漸提高。在義務(wù)教育階段的統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的基礎(chǔ)上，本章通過實(shí)際問題，進(jìn)一步介紹隨機(jī)抽樣、樣本估計(jì)總體、線性回歸的基本方法。1.3 “概率”一章的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，正確理解隨機(jī)現(xiàn)象的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性；了解頻率與概率的關(guān)系與區(qū)別；理解古典概型、幾何概型的基本特征及其公式

3、，初步學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問題化為古典概型；理解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率；初步體會(huì)幾何概型的意義；了解互斥事件的概率加法公式。2深刻體會(huì)各章的教學(xué)價(jià)值2.1 第一章 算法高中數(shù)學(xué)的算法知識(shí)由下列部分組成：算法的概念，算法的三種表示和算法案例。從橫向來看：這里都內(nèi)含著一條主線算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)，這是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的機(jī)會(huì)，實(shí)際上對(duì)提高學(xué)生解題能力也大有好處。例如：1.1.1節(jié)算法概念中的例1：判斷7和35是否為質(zhì)數(shù)。從數(shù)論角度看，學(xué)生都知道解決方法，即“用26除7，看是否能除盡”，但這與“算法”的要求是不一樣的，因?yàn)檫@里給出的解法要求“傻瓜化”，也就是要給出明確、有限的步驟，并用計(jì)算機(jī)

4、能“理解”的語言描述出來。因此，我們應(yīng)該通過本例的教學(xué)，讓學(xué)生自己進(jìn)行算法分析，在不同表述的比較中體會(huì)算法的特征，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性思維，培養(yǎng)他們的邏輯思維能力有好處。同時(shí)這種思維習(xí)慣很容易遷移到日常生活當(dāng)中去，這正是數(shù)學(xué)教育所期待的。從縱向看：由自然語言到框圖到程序這一逐漸精確的過程，既是完整地認(rèn)識(shí)算法的過程，也是對(duì)“有序地做事”的感受，會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)乃至做其它事情產(chǎn)生積極影響。如平時(shí)解題不一定有嚴(yán)格程序。因?yàn)槿说乃季S可以有跳躍性，但要計(jì)算機(jī)做，必須嚴(yán)格“按部就班”，這會(huì)促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成“想清解題的每一步”的習(xí)慣。2.2 第二章 統(tǒng)計(jì) （1）統(tǒng)計(jì)的知識(shí)學(xué)生在初中小學(xué)都有學(xué)習(xí)，一定要注意初高中的區(qū)

5、別 初中：了解頻數(shù)分布的意義和作用，會(huì)列頻數(shù)分布表、畫頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)折線圖；高中：體會(huì)分布的意義和作用，學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)。 初中：會(huì)計(jì)算極差和方差，并會(huì)用它們表示數(shù)據(jù)的離散程度；能用樣本的平均數(shù)、方差來估計(jì)總體的平均數(shù)和方差。高中：理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，初步體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性。（2） 重視統(tǒng)計(jì)結(jié)果的含義在知道了各種統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法后，要更多地關(guān)注在計(jì)算后，讓學(xué)生對(duì)結(jié)果的含義作出解釋。例如，在講完“眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)”后，課本有一

6、個(gè)關(guān)于某企業(yè)職工工資待遇的“探究”欄目，還配了某市公路項(xiàng)目投資數(shù)據(jù)的利用練習(xí)?？梢宰寣W(xué)生通過討論，感受用統(tǒng)計(jì)量分析數(shù)據(jù)的合理性和可行性。又如課本77頁的例題2，通過計(jì)算甲乙兩名工人生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差之后，作出判斷，甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量比乙的高一些。課本緊接著又補(bǔ)充了一段說明：由于樣本的不同，盡管總體是同一個(gè)，相應(yīng)的樣本頻率分布和數(shù)字特征都會(huì)發(fā)生改變，這就會(huì)影響到我們對(duì)總體情況的估計(jì)。這可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，它可以為人們制定決策提供依據(jù)。（3） 第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。 重點(diǎn)落在學(xué)習(xí)兩個(gè)變量的線性相關(guān)，應(yīng)突出偶然現(xiàn)象中的必

7、然規(guī)律，體會(huì)用“確定性數(shù)學(xué)”來研究“不確定性數(shù)學(xué)”的統(tǒng)計(jì)思想。在教學(xué)時(shí)有幾個(gè)問題需要注意：Q1如何尋找回歸直線的過程不能省略，引導(dǎo)學(xué)生思考尋找的方向、怎么操作、是否可行可靠？xyOQ2課本88頁寫到：我們可以用點(diǎn)與這條直線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)之間的距離來刻畫點(diǎn)到直線的遠(yuǎn)近。為什么不用點(diǎn)到直線的距離公式有的學(xué)生可能會(huì)感到不理解，教師應(yīng)在這里講清楚為什么要這樣轉(zhuǎn)化和為什么可以這樣轉(zhuǎn)化。Q3回歸方程中，的值的推導(dǎo)必修三中沒有介紹（在選修2-3上有），可以根據(jù)學(xué)生接受程度選擇是否補(bǔ)充。書本上的推導(dǎo)方法學(xué)生不易理解（詳見選修2-3第92至93頁）建議采用以下方法：（看成關(guān)于的函數(shù)）當(dāng)時(shí)，有最小值為（看成關(guān)于的

8、函數(shù)）。（4） 以往的統(tǒng)計(jì)課程比較偏重于現(xiàn)成書本知識(shí)，如比較詳細(xì)地介紹隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣等抽樣方法的定義，各種統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式，統(tǒng)計(jì)圖表的制作方法和步驟等。人教A版必修三的“統(tǒng)計(jì)味”很濃，重視讓學(xué)生展開真實(shí)的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，應(yīng)用這些知識(shí)去解決具體問題，解決有真實(shí)背景的問題。從而提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力，更能讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性。例如：一般學(xué)校都有本屆學(xué)生入學(xué)的成績(jī)，取出兩科成績(jī)，讓學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)。要求隨機(jī)抽取指定數(shù)量的成績(jī)，用樣本估計(jì)總體、求某兩科成績(jī)的線性回歸方程。這能使學(xué)生經(jīng)歷抽樣、畫頻率分布直方圖、計(jì)算樣本數(shù)字特征、求線性回歸方程、估計(jì)和推斷等統(tǒng)計(jì)過程，還能通過與原始成績(jī)的數(shù)字特

9、征，線性回歸方程等的比較（用Excel很容易得到）體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想、樣本作用等。2.3 第三章 概率 二、準(zhǔn)確把握兩個(gè)數(shù)學(xué)思想是上好必修三的關(guān)鍵1以算法思想、概率統(tǒng)計(jì)思想貫穿始終 我們講授必修三時(shí)，應(yīng)至始至終把握讓學(xué)生初步體會(huì)算法思想和概率統(tǒng)計(jì)思想才是教學(xué)的最終目標(biāo)。例如在算法一章的教學(xué)中要防止把算法的教學(xué)變成程序語言和程序設(shè)計(jì)的教學(xué)。在統(tǒng)計(jì)一章的教學(xué)中要防止變成講授各種統(tǒng)計(jì)量（平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、回歸方程等）的計(jì)算課，而應(yīng)更多地關(guān)注在“計(jì)算”后，讓學(xué)生對(duì)結(jié)果的含義作出解釋。在概率一章的教學(xué)中要防止把重點(diǎn)放在“如何計(jì)數(shù)”上，變成排列組合的計(jì)算課，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象、了解概率的意義、理解概率的定義

10、上。2以典型案例為載體講述知識(shí)和思想 我們很難用語言明確地給出算法思想、統(tǒng)計(jì)思想的定義，因此，通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)算法思想、統(tǒng)計(jì)思想是教學(xué)的主要手段。本書的三章內(nèi)容都具有很強(qiáng)的實(shí)踐性，知識(shí)點(diǎn)不多但思想深刻。這類內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)當(dāng)與代數(shù)、幾何內(nèi)容的教學(xué)有所區(qū)別，特別需要強(qiáng)調(diào)給學(xué)生提供實(shí)際操作的機(jī)會(huì)，以使他們更好地體會(huì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。所以本書的教學(xué)中，典型案例的使用非常重要。2.1 用好課本的典型例題 第一章的最后一節(jié)講述了三個(gè)案例：輾轉(zhuǎn)相除法、秦九韶算法和進(jìn)位制。教材上說通過案例進(jìn)一步體會(huì)算法的思想。怎樣進(jìn)一步體會(huì)呢？在講解三個(gè)案例時(shí)應(yīng)突出它們的運(yùn)算規(guī)律，即這些數(shù)學(xué)問題的操作方式都是單一的、重復(fù)的，

11、所以我們可以程序化并將它交給計(jì)算機(jī)去完成。例如案例二：秦九韶算法怎樣求多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)的值呢？方法一：把5代入多項(xiàng)式，計(jì)算各項(xiàng)的值，然后加起來。方法二：先計(jì)算的值，然后依次計(jì)算，的值，這樣每次都可以利用上一次計(jì)算的結(jié)果。將此題由特殊推廣到一般，方法二就是秦九韶算法。分析比較兩種方法突出兩點(diǎn)：第一，方法二把求次多項(xiàng)式的值轉(zhuǎn)化為求個(gè)一次多項(xiàng)式的值。這種操作方式是同樣的、重復(fù)的、單一的。第二，算法不惟一，從運(yùn)算次數(shù)上可以在一定程度上衡量一個(gè)算法的好壞。 又如“統(tǒng)計(jì)”一章，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)屬于“不確定性數(shù)學(xué)”，學(xué)生要對(duì)統(tǒng)計(jì)的思想方法有好的理解有一定困難，其實(shí)教師自己也不一定能真正理解到位。因此通過案例化解困難的觀點(diǎn)

12、是正確的，案例教學(xué)是統(tǒng)計(jì)教學(xué)的基本方式，教科書安排了豐富的案例，引導(dǎo)學(xué)生通過大量的具體案例來體會(huì)、理解統(tǒng)計(jì)知識(shí)，并從具體案例中總結(jié)、歸納出有關(guān)統(tǒng)計(jì)知識(shí)和方法，把統(tǒng)計(jì)思想滲透其中。比如通過引導(dǎo)學(xué)生討論1936年蘭頓總統(tǒng)選舉失敗的民意調(diào)查的例子，分析導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)推斷失敗的原因（因?yàn)楫?dāng)時(shí)有電話、有車的只是少數(shù)富人，只能代表富人的觀點(diǎn)），學(xué)生就較好地理解了強(qiáng)調(diào)樣本的代表性的重要性。另外，讓學(xué)生解決一些真實(shí)的問題也是案例教學(xué)的一種重要形式，這樣能落實(shí)“課標(biāo)”提出的讓學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程的要求。2.2 適當(dāng)鋪墊，突破難點(diǎn)例如算法教學(xué)的第一課是算法概念。教材中所舉的例子不夠生動(dòng)，學(xué)生理解有困難，我們

13、可以換一些有趣的例題做引導(dǎo)，在結(jié)合教材中的例題進(jìn)行分析。例1把大象裝進(jìn)冰箱總共分幾步？第一步：把冰箱門打開；第二步：把大象裝進(jìn)去；第三步：把冰箱門關(guān)上。本例通過提問引起學(xué)生的興趣，體會(huì)算法的概念。例2有一個(gè)農(nóng)夫帶一條狼狗、一只養(yǎng)和一筐白菜過河。如果沒有農(nóng)夫看管，則狼狗要吃羊，羊要吃白菜。但是船很小，只夠農(nóng)夫帶一樣?xùn)|西過河。問農(nóng)夫該如何解決？第一步：帶羊到對(duì)岸，返回；第二步：帶菜到對(duì)岸，并把羊帶回；第三步：帶狼狗到對(duì)岸，返回；第四步：帶羊到對(duì)岸。本例使學(xué)生體會(huì)算法的概念，認(rèn)識(shí)算法的形成是需要智慧的，從而引起學(xué)生的重視。又如程序框圖是算法教學(xué)的重點(diǎn)，課本在講解程序框圖這部分內(nèi)容時(shí)，開篇便是一個(gè)復(fù)雜

14、的流程圖，既有順序結(jié)構(gòu)，又有條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。這會(huì)使學(xué)生看得“一頭霧水”，弄不清楚。講授時(shí)可先介紹程序框，然后處理三個(gè)問題：?jiǎn)栴}1，設(shè)計(jì)一個(gè)求兩直角邊分別為3、4的直角三角形面積的流程圖；問題2，設(shè)計(jì)一個(gè)求實(shí)數(shù)值的流程圖；問題3，設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算的流程圖。接著根據(jù)它們的流程圖寫出其程序框圖，引出順序結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)，分析它們各自的特點(diǎn)。這三個(gè)簡(jiǎn)單的問題分別對(duì)應(yīng)算法中的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，通過這三個(gè)問題讓學(xué)生既熟悉程序框又能理解三種基本邏輯結(jié)構(gòu)。2.3 引導(dǎo)學(xué)生從特殊推廣到一般 我們重視案例教學(xué)是為了強(qiáng)調(diào)通性通法而不是所涉及的問題本身；是為了讓學(xué)生通過典型案例初步體會(huì)算法思想和概率統(tǒng)計(jì)思想。

15、因此在重視處理案例的基礎(chǔ)上還要讓學(xué)生做好推廣到一般的工作。三、認(rèn)真分析教材特點(diǎn)是上好必修三的途徑 1合理使用信息技術(shù) 本書所包含的三部分內(nèi)容與信息技術(shù)有著密切的聯(lián)系，有條件的學(xué)校應(yīng)當(dāng)給學(xué)生提供使用信息技術(shù)的機(jī)會(huì)。 資料表明，信息技術(shù)可以促進(jìn)算法學(xué)習(xí)。無論學(xué)生用自然語言、程序框圖或用偽代碼表示算法，都很難發(fā)現(xiàn)自己設(shè)計(jì)中的錯(cuò)誤，尤其在初學(xué)階段。而在程序設(shè)計(jì)平臺(tái)上，程序的任何疏漏或錯(cuò)誤都將導(dǎo)致算法的失敗，因此讓學(xué)生上機(jī)嘗試，可以給他們提供檢驗(yàn)、修改完善自己算法設(shè)計(jì)的機(jī)會(huì)，使之進(jìn)一步的條理化、精確化和邏輯化。不僅如此，上機(jī)還能極大提高學(xué)生學(xué)習(xí)算法的興趣，學(xué)生通過改進(jìn)算法、優(yōu)化算法引起對(duì)算法的更深入思考

16、。 統(tǒng)計(jì)需要搜集、處理大量數(shù)據(jù)，概率中隨機(jī)模擬試驗(yàn)需要產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)，同時(shí)又要統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果。運(yùn)用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)來處理數(shù)據(jù)可以使學(xué)生把更多的時(shí)間與精力用在體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想，設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)處理的方法，以及探究事物的統(tǒng)計(jì)規(guī)律上。2.必要的操作試驗(yàn)不可省概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的度量，而事件發(fā)生的可能性大小的度量，直觀看不見，也無法感知，所以非常抽象。同時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小問題既有隨機(jī)性，又有隨機(jī)性中表現(xiàn)出的規(guī)律性。這都是學(xué)生理解的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的最好辦法是給學(xué)生親自動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在實(shí)踐過程中形成對(duì)隨機(jī)事件的隨機(jī)性以及隨機(jī)性中表現(xiàn)出的規(guī)律性的直接感知。所以“擲硬幣試驗(yàn)”雖然初中做過，在這里仍

17、然有要學(xué)生親自動(dòng)手試驗(yàn)的必要。試驗(yàn)中引導(dǎo)學(xué)生把注意力集中在“從中體會(huì)隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性”上，讓學(xué)生對(duì)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行解釋，這是與初中拋硬幣試驗(yàn)不同的。3.恰當(dāng)?shù)念惐群苡行Ц怕逝c頻率的關(guān)系比較抽象，我們可以用某物體長(zhǎng)度真值和測(cè)量值來類比。比如：黑板的長(zhǎng)度是客觀存在的，但未知?？梢酝ㄟ^測(cè)量來了解；而測(cè)量結(jié)果總會(huì)有誤差，為減少誤差，可以用多次測(cè)量值的平均數(shù)估計(jì)。事件的概率是客觀存在的，但未知?？梢酝ㄟ^頻率來了解；而頻率具有不確定性，估計(jì)的誤差不可避免，為減少誤差，可以增加重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)。4.明確案例的價(jià)值是關(guān)鍵3.1.2概率的意義一節(jié)，教材非常重視，課本列舉了6個(gè)案例，只有明確了它們

18、的價(jià)值，學(xué)生學(xué)完后才會(huì)有收獲。第一個(gè)案例：概率的正確解釋，是通過試驗(yàn)?zāi)M等方法澄清日常生活中對(duì)概率的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。其價(jià)值是通過兩個(gè)問題再次揭示了概率的內(nèi)含，即：頻率的穩(wěn)定值。第二、三、四個(gè)案例是應(yīng)用概率解決實(shí)際問題的幾個(gè)例子，包括游戲的公平性，決策中的概率思想，天氣預(yù)報(bào)的概率解釋等等，體現(xiàn)了概率的應(yīng)用價(jià)值。第五個(gè)和第六個(gè)案例是孟德爾的遺傳分離定律，這個(gè)內(nèi)容在高一下學(xué)期的生物課上學(xué)生已經(jīng)學(xué)過。在生物課教學(xué)的具體情況是：首先介紹孟德爾通過大量的豌豆試驗(yàn)，觀察發(fā)現(xiàn)到規(guī)律，然后講解他猜想的遺傳定律，最后是孟德爾再用另一組試驗(yàn)驗(yàn)證自己的猜想。生物課側(cè)重的是講解試驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)過程以及所得到的這個(gè)遺傳定律。我們側(cè)重的應(yīng)該是：一、這些數(shù)據(jù)體現(xiàn)的就是統(tǒng)計(jì)規(guī)律；二、概率理論是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，這里用概率的理論解釋了試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)規(guī)律；三、讓學(xué)生了解在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中，試驗(yàn)、觀察、猜想、找規(guī)律等方法十分重要，希望學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題和解決問題。5. 隨機(jī)模擬要重視新課程增加的隨機(jī)模擬這部分雖然不太可能出現(xiàn)在考卷中，但它其實(shí)是比較重要的一個(gè)內(nèi)容，值得我們認(rèn)真對(duì)待。它不僅可以使學(xué)生解決更廣泛的實(shí)際問題，體現(xiàn)信息技術(shù)的優(yōu)越性，而且還可以使學(xué)生從中進(jìn)一步體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想和概率的意義。這塊內(nèi)容的教學(xué)主要分為兩部分：第一部分是在學(xué)生學(xué)了古典概型后