高斯曲率的意義與作用

1、 高斯曲率的意義與作用1引言在曲面論中,應(yīng)用較多的是高斯曲率高斯曲率是微分幾何學(xué)發(fā)展的里程碑，開(kāi)創(chuàng)了微分幾何學(xué)的一個(gè)新紀(jì)元正是高斯這一偉大發(fā)現(xiàn)啟發(fā)我們對(duì)于抽象的曲面進(jìn)行研究，也就是對(duì)于只給定第一基本形式的曲面研究其幾何性質(zhì)同時(shí)高斯定理說(shuō)明，曲面的度量性質(zhì)本身蘊(yùn)含著一定的彎曲性質(zhì)，這是曲線所不具有的特點(diǎn)2 預(yù)備知識(shí)2.1 主曲率 2.1.1主曲率的定義 曲面上一點(diǎn)處主方向上的法曲率稱為曲面在此點(diǎn)的主曲率.由于曲面上一點(diǎn)處的主方向是過(guò)此點(diǎn)的曲率線的方向，因此主曲率也就是曲面上一點(diǎn)處沿曲率線方向的法曲率2.1.2主曲率的計(jì)算公式主曲率滿足 即2.1.3 有關(guān)主曲率的一個(gè)命題曲面上的一點(diǎn)（非臍點(diǎn)）的主

2、曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向的法曲率的最大值和最小值. 2.2 高斯映射（球面表示）設(shè)是曲面S：上一塊不大的區(qū)域，另外再做一個(gè)單位球面現(xiàn)在建立中的點(diǎn)和單位球面的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：中任取一點(diǎn)，作曲面在點(diǎn)處的單位法向量，然后把的始端平移到單位球的中心，則的另一端點(diǎn)就在單位球面上，設(shè)該點(diǎn)為，這樣對(duì)于曲面的小區(qū)域中的每一點(diǎn)，與球面上向徑為的點(diǎn)對(duì)應(yīng)因此，曲面上所給出的小區(qū)域表示到單位球面的對(duì)應(yīng)區(qū)域上也就是說(shuō)，建立了曲面的小區(qū)域到單位球面上區(qū)域的對(duì)應(yīng).我們把曲面上的點(diǎn)與球面上的點(diǎn)的這種對(duì)應(yīng)稱為曲面的球面表示，也稱高斯映射2.3 高斯定理定理 曲面的高斯曲率是曲面在保長(zhǎng)變換下的不變量高斯定理說(shuō)明,曲面本身蘊(yùn)含著

3、一定的彎曲性質(zhì),這是曲線所不具有的特點(diǎn)例如球面一定不會(huì)保持長(zhǎng)度不變而攤成一塊平面,反過(guò)來(lái)平面無(wú)論如何不可能保持長(zhǎng)度不變而彎成一個(gè)球面,因?yàn)榍蛎婧推矫娴母咚骨适遣煌? 高斯曲率的定義曲面S：的主曲率，是曲面的切平面變換的兩個(gè)特征值，分別是法曲率的最大值與最小值，也即曲面主方向?qū)?yīng)的法曲率設(shè)，為曲面上一點(diǎn)的兩個(gè)主曲率，則它們的乘積稱為曲面在這一點(diǎn)的高斯曲率，通常以表示由預(yù)備知識(shí)可知，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系便得高斯曲率 =,對(duì)于曲面的特殊參數(shù)表示，由于，因此得 4 高斯曲率的幾何意義曲面的小區(qū)域在球面表示（高斯映射）下對(duì)應(yīng)到球面的區(qū)域如果當(dāng)曲面在這塊上彎曲的程度越大時(shí)，它的對(duì)應(yīng)球面的區(qū)

4、域也就越大因而的彎曲程度可以用的面積對(duì)于本身的面積的比值來(lái)刻畫曲面在已知點(diǎn)處的彎曲程度自然就用這個(gè)比值當(dāng)收縮成點(diǎn)的極限來(lái)衡量命題 曲面在點(diǎn)鄰近的區(qū)域在單位球面上表示是，當(dāng)區(qū)域曲面上已知點(diǎn)時(shí)，的面積與區(qū)域的面積之比趨于曲面在點(diǎn)的高斯曲率的絕對(duì)值即下面給出在球面表示時(shí)高斯曲率的符號(hào)的幾何意義由于=（）其中是曲面的法向量，是球面的法向量表示這兩法向量指向一致，因此從到的旋轉(zhuǎn)方向和到的旋轉(zhuǎn)方向相同表示這兩法向量的方向相反，從而到的旋轉(zhuǎn)方向和從到的旋轉(zhuǎn)方向相反 5 高斯曲率的作用5.1 曲面的高斯曲率確定了曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)與其在該點(diǎn)的高斯曲率有關(guān)，該點(diǎn)與附近點(diǎn)的高斯曲率的比較，可

5、以反映該點(diǎn)附近的形狀變化注意到曲面的高斯曲率與同號(hào)的,而，總是正的因此的符號(hào)決定曲面在所考慮點(diǎn)的鄰近結(jié)構(gòu)分三種情形加以討論：1) 時(shí)，即時(shí)，給定點(diǎn)為橢圓點(diǎn)這時(shí)主曲率與同號(hào)，不妨設(shè)，那么對(duì)應(yīng)于主方向的一條法截線朝法向量的正側(cè)彎曲由歐拉公所有法截線的曲率都時(shí)正的因此，所有法截線都朝向量的正側(cè)彎曲，所以曲面沿所有都朝同一側(cè)彎曲當(dāng)，都是負(fù)的時(shí)候，所有的法截線都朝的負(fù)側(cè)彎曲總之，曲面在點(diǎn)的鄰近在切平面的同一側(cè)，故當(dāng)時(shí)，曲面在橢圓點(diǎn)的鄰近的形狀近似于橢圓拋物面2）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，給定點(diǎn)為雙曲點(diǎn)這時(shí)的主曲率與異號(hào)，不妨假設(shè)，那么對(duì)應(yīng)的兩條法截線中有一條朝的負(fù)側(cè)彎曲，另一條朝的正側(cè)彎曲由歐拉公式得到各個(gè)方向的法曲

6、率的變化情況當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)，從而當(dāng)從變到時(shí)，的符號(hào)改變兩次零值此時(shí)曲面在點(diǎn)的鄰近的形狀近似于雙面拋物面3） 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，該點(diǎn)為拋物點(diǎn)因此，至少有一個(gè)主曲率等于零，不妨設(shè)，那么對(duì)應(yīng)于第一主方向的法截線朝的正側(cè)彎曲，另一條法截線一般以為拐點(diǎn)因此一般第二條法截線從它的切線的一側(cè)朝另一側(cè)彎曲，曲面在點(diǎn)的鄰近的形狀近似于拋物柱面例 設(shè)環(huán)面的方程是，其中是常數(shù)，且考察環(huán)面上各種類型點(diǎn)的分布解 直接計(jì)算得 ， ，,，因此 由此可見(jiàn)，的符號(hào)由的符號(hào)而定當(dāng)=時(shí), =,這些點(diǎn)是拋物點(diǎn)分布在環(huán)面最上面和最下面的兩個(gè)平行圓上當(dāng)時(shí), ,這些點(diǎn)是橢圓點(diǎn),分布在環(huán)面的外側(cè)很顯然,曲面上的橢圓點(diǎn)集和雙曲點(diǎn)集都是開(kāi)集,它們的邊界

7、點(diǎn)必是拋物點(diǎn)5.2 運(yùn)用曲面的常高斯曲率確定曲面的第一基本形式假定曲面S的高斯曲率是常數(shù)在曲面上取測(cè)地平行坐標(biāo)系因而它的第一基本形式為，滿足條件： 根據(jù)高斯曲率的內(nèi)蘊(yùn)表達(dá)式，有所以作為u的函數(shù)，滿足二階常系數(shù)齊次方程初始條件是： 根據(jù)K的不同符號(hào)，方程（1）在初始條件（2）的解分別是： 1） ; 2) ; 3) 則常曲率曲面的第一基本形式分別為：若S有正常數(shù)高斯曲率, ；若S的高斯曲率為零，；若S有負(fù)常數(shù)高斯曲率，由上面的結(jié)論可推出：有相同的常數(shù)高斯曲率的曲面，在局部上必定可以彼此建立保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)例 考慮第一基本形式為的曲面.通過(guò)直接計(jì)算可以知道,該曲面的高斯曲率是常數(shù)當(dāng)時(shí),該抽象曲面可以定義在整個(gè)平面上;當(dāng)時(shí),該抽象曲面的定義域是： 設(shè),則,所以這個(gè)抽象曲面就是普通的平面它上面的測(cè)地線就是普通的直線設(shè),則這個(gè)抽象曲面可以看作中半徑為的球面通過(guò)從南極向球面在北極的切平面作球極投影所得到的象在的情形,在圓內(nèi)賦予度量的抽象曲面成為圓5.3 高斯曲率與可展曲面的聯(lián)系由直線的軌跡所成的曲面稱為直紋面，其參數(shù)表示為，為直紋面的導(dǎo)線的參數(shù)表示，時(shí)過(guò)導(dǎo)線上的直母線上的向量，直紋面分為兩情形：不平行于，即，這種直紋面是不可展曲面;平行于，即，這種直紋面是可展曲面由知，是可展曲面的充要條件是，如果按公式,求的高斯曲率，則當(dāng)時(shí)，必有，則故當(dāng)?shù)母咚骨蕿榱銜r(shí)，這個(gè)直紋曲面為可展曲面這