簡(jiǎn)諧振動(dòng)總結(jié)

1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（Simple harmonic motion）（SHM）（直譯簡(jiǎn)單和諧運(yùn)動(dòng)）是最基本也最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)。當(dāng)某物體進(jìn)行簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體所受的力跟位移成正比，并且總是指向平衡位置。它是一種由自身系統(tǒng)性質(zhì)決定的周期性運(yùn)動(dòng)。（如單擺運(yùn)動(dòng)和彈簧振子運(yùn)動(dòng)）實(shí)際上簡(jiǎn)諧振動(dòng)就是正弦振動(dòng)。故此在無線電學(xué)中簡(jiǎn)諧信號(hào)實(shí)際上就是正弦信號(hào)。如果質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動(dòng)圖像（x-t圖像）是一條正弦曲線，這樣的振動(dòng)叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。定義如果做機(jī)械振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦（或余弦）函數(shù)規(guī)律，這樣的振動(dòng)叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，又名簡(jiǎn)諧振動(dòng)。因此，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)常用作為其運(yùn)動(dòng)學(xué)定義。其中振

2、幅A，角頻率，周期T，和頻率f的關(guān)系分別為：、?？茖W(xué)結(jié)論振幅、周期和頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率（或周期）跟振幅沒有關(guān)系，而是由本身的性質(zhì)（在單擺中由初始設(shè)定的繩長(zhǎng)）決定，所以又叫固有頻率。一般簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期, 其中m為振子質(zhì)量，k為振動(dòng)系統(tǒng)的回復(fù)力系數(shù)。一般，若振子受重力與彈力二力等效k=k,但平衡位置為kx=mg時(shí)所在位置。單擺運(yùn)動(dòng)周期其周期（為圓周率）這個(gè)公式僅當(dāng)偏角很小時(shí)才成立。T與振幅（a5）都和擺球質(zhì)量無關(guān)，僅限于繩長(zhǎng)地球半徑。2擴(kuò)展：由此可推出，據(jù)此可利用實(shí)驗(yàn)求某地的重力加速度。周期公式證明為了使示意圖更加簡(jiǎn)潔，全部假設(shè)k=1，這樣的話以為F回=-kx（并且在此強(qiáng)調(diào)此處負(fù)號(hào)只表示方向，不表示

3、數(shù)值，所以在證明中使用數(shù)值關(guān)系時(shí)全部忽略負(fù)號(hào)），所以回復(fù)力F數(shù)值上和在圖中的線段長(zhǎng)度等于位移x，所以在兩個(gè)示意圖中都是用一條線表示的。一般簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式證明因?yàn)楹?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以看做圓周運(yùn)動(dòng)的投影，所以其周期也可以用圓周運(yùn)動(dòng)的公式來推導(dǎo)。圓周運(yùn)動(dòng)的；很明顯v無法測(cè)量到，所以根據(jù)得到。其中向心力F便可以用三角函數(shù)轉(zhuǎn)換回復(fù)力得到即（F=-kx中負(fù)號(hào)只表示方向，所以在這省略）。 所以得到；因?yàn)閤與r之間的關(guān)系是：x=rcos，所以上式繼續(xù)化簡(jiǎn)得到：。然后再將v帶入之前的圓周運(yùn)動(dòng)T中，即可得到。單擺周期公式證明首先必須明確只有在偏角不太大的情況（高中課本認(rèn)為小于5均可）下，單擺的運(yùn)動(dòng)可以近似地視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

4、。見示意圖，在偏角很小時(shí)，我們可以近似的看做圖中紅色箭頭即位移x（回復(fù)力）垂直于平衡位置。于是我們便可以得到sin。同時(shí)因?yàn)榛貜?fù)力為重力與速度平行方向上的分力即圖中重力分力2，重力分力1即L的延長(zhǎng)線。于是我們可以得到AOB與重力和它的分力所構(gòu)成的三角形相似（注意相似時(shí)的三角形方向）即可得到： 單擺周期公式證明注意：此處比例關(guān)系中的位移x雖然在k=1的假設(shè)下數(shù)值上等于回復(fù)力F，但是必須清楚在意義上G2才是真正的回復(fù)力F，因?yàn)榛貜?fù)力F為重力與速度平行方向上的分力即G25。于是根據(jù)相似我們可以得到，于是化簡(jiǎn)得到，于是得到，然后將這個(gè)轉(zhuǎn)換帶入一般簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式便得到了單擺的周期公式。運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)定義

5、：一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體在一條直徑上的投影所做的運(yùn)動(dòng)即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：若：將R記為勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，即：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅；將記為勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度，即：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圓頻率，則：；將記為 t=0 時(shí)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體偏離該直徑的角度（逆時(shí)針為正方向），即：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相位。則，在t時(shí)刻：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移x=Rcos（t+）；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度v=-Rsin（t+）；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度a=-2Rcos（t+），上述三式即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程。簡(jiǎn)單推導(dǎo)根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)示意圖在右圖的示意圖中，我們可以清晰的看出上面各個(gè)概念在途中的表示。O點(diǎn)為圓心，也為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置。對(duì)位移的推導(dǎo)使用三角函

6、數(shù)的有關(guān)知識(shí)（t+）即角度,運(yùn)用三角函數(shù)便求出了O點(diǎn)與結(jié)束位置的距離，即位移。（此圖中位移為負(fù)數(shù)，即設(shè)定左邊方向?yàn)檎较颍┧缘贸龇匠蘹=Rcos（t+）。因?yàn)樗俣燃礊?，運(yùn)用微積分的知識(shí)對(duì)位移方程進(jìn)行微分，便可得到導(dǎo)數(shù)=-Rsin（t+），即v=-Rsin（t+）。同理，加速度為，也可以寫為（二次導(dǎo)數(shù)），于是我們?cè)俅螌?duì)速度方程進(jìn)行微分，得到二次導(dǎo)數(shù)=-2Rcos（t+），即a=-2Rcos（t+）。說明1、這個(gè)運(yùn)動(dòng)是假設(shè)在沒有能量損失引至阻力的情況而發(fā)生。2、做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的加速度跟物體偏離平衡位置的位移大小成正比，方向與位移的方向相反，總指向平衡位置。嚴(yán)格推導(dǎo)右圖是用微分方程法對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的

7、物理過程的詳細(xì)推導(dǎo)，其中的表達(dá)式都用嚴(yán)格的公式給出：微分方法十個(gè)“不一定”簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的機(jī)械振動(dòng)，是物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，并且總指向平衡位置的回復(fù)力作用下的振動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)也是高中物理部分的重點(diǎn)知識(shí)之一。弄清簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)機(jī)械波、交流電、電磁波等具有非常重要的意義。筆者針對(duì)怎樣理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和規(guī)律提出以下十個(gè)“不一定”。一、物體運(yùn)動(dòng)的路線不一定都是直線例如，單擺擺球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)路線是在擺球平衡位置兩側(cè)并通過平衡位置的一段圓弧，即擺球的運(yùn)動(dòng)路線為曲線。二、物體運(yùn)動(dòng)的速度方向與位移方向不一定相同簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移指的是振動(dòng)物體偏離平衡位置的位移，位移的起

8、點(diǎn)總是在平衡位置，那么當(dāng)物體遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)位移方向與速度方向相同，靠近平衡位置時(shí)位移方向與速度方向相反。三、振動(dòng)物體所受的回復(fù)力方向與物體所受的合力方向不一定相同例如，單擺在平衡位置附近（小角度范圍內(nèi)）的擺動(dòng)既做圓周運(yùn)動(dòng)，又做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，擺球所受到的各個(gè)力的合力既要提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，又要提供其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力，即單擺振動(dòng)過程中擺球受到所有力的合力的一個(gè)分力提供向心力，另一個(gè)分力提供回復(fù)力。那么回復(fù)力方向就與擺球所受到的各力的合力方向不相同。四、物體在平衡位置不一定處于平衡狀態(tài)例如，單擺擺球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)經(jīng)過平衡位置時(shí)，由于擺球的平衡位置在圓弧上，擺球在圓弧上做圓周運(yùn)動(dòng)需要向心力，故擺球在平

9、衡位置處懸繩的拉力大于擺球的重力，即擺球在平衡位置并非處于平衡狀態(tài)。五、物體在四分之一周期內(nèi)通過的路程不一定等于振幅做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期的時(shí)間內(nèi)通過的路程是振幅的4倍，在半個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)通過的路程是振幅的2倍，但是在四分之一周期時(shí)間內(nèi)通過的路程就不一定等于振幅。雖然當(dāng)物體從平衡位置向最大位移運(yùn)動(dòng)四分之一周期時(shí)間或從最大位移向平衡位置運(yùn)動(dòng)四分之一周期時(shí)間，物體通過的路程都等于振幅，但是當(dāng)物體從平衡位置和最大位移之間的某一位置開始運(yùn)動(dòng)四分之一周期時(shí)間通過的路程就不等于振幅了。因?yàn)樽龊?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在平衡位置附近速度比在最大位移附近速度大，故物體從平衡位置和最大位移之間的某一位置向平衡位置方

10、向運(yùn)動(dòng)并通過平衡位置的四分之一周期時(shí)間內(nèi)通過的路程就大于振幅，而向最大位移方向運(yùn)動(dòng)并返回的四分之一周期時(shí)間內(nèi)通過的路程就小于振幅。六、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)快時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)不一定快簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)快慢由振動(dòng)周期或頻率反映，周期小振動(dòng)快，周期大振動(dòng)慢；而做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)快慢則由物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度反映，在某時(shí)刻瞬時(shí)速度大則運(yùn)動(dòng)快，反之則運(yùn)動(dòng)慢。同時(shí)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)快慢是由振動(dòng)系統(tǒng)的本身決定的，而做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)快慢則由振動(dòng)物體的位置和儲(chǔ)存在振動(dòng)系統(tǒng)中的能量決定。所以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振動(dòng)快，物體在某時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)不一定快。七、單擺的擺長(zhǎng)短，周期不一定小單擺振動(dòng)的周期不但與擺長(zhǎng)有關(guān)，而且還與單擺所在處重力加速度一定時(shí)擺

11、球懸點(diǎn)的加速度有關(guān)，當(dāng)擺球懸點(diǎn)的加速度為零時(shí)，擺長(zhǎng)越短，周期就越小。那么當(dāng)把擺長(zhǎng)較短的單擺放在加速下降的升降機(jī)中時(shí)，由于單擺處于失重狀態(tài)，故單擺振動(dòng)的周期也可以比放在地面上懸點(diǎn)加速度為零的擺長(zhǎng)較長(zhǎng)的單擺振動(dòng)周期大，當(dāng)單擺處于完全失重狀態(tài)時(shí)，單擺振動(dòng)周期為無窮大，單擺處于停振狀態(tài)。八、單擺擺球處在平衡位置時(shí)擺線不一定在豎直方向單擺擺球的平衡位置處在懸點(diǎn)正下方的條件是擺球懸點(diǎn)的加速度為零或有加速度但加速度在豎直方向，否則擺球的平衡位置就不在擺球懸點(diǎn)的正下方。例如，單擺懸掛在水平方向加速運(yùn)動(dòng)的小車中，擺球處在平衡位置時(shí)，懸線就不在豎直方向，且小車的加速度越大，擺球在平衡位置時(shí)懸線與豎直方向的夾角也越

12、大。九、物體每次通過同一位置時(shí)，同一物理量不一定相同由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有周期性，故描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量以及所受的回復(fù)力都在隨時(shí)間做周期性變化，這樣物體每次通過運(yùn)動(dòng)路線上的同一位置時(shí)，同一物理量也就不一定相同。其中通過同一位置時(shí)相同的物理量是位移、動(dòng)能、回復(fù)力、以及回復(fù)力產(chǎn)生的加速度，而速度、動(dòng)量這兩個(gè)物理量在物體連續(xù)通過同一位置時(shí)就不相同，這是因?yàn)樗俣?、?dòng)量是矢量，其方向與運(yùn)動(dòng)方向相同，而物體連續(xù)通過同一位直時(shí)運(yùn)動(dòng)方向是相反的，所以物體每次通過同一位置時(shí)，同一物理量不一定相同。十、運(yùn)動(dòng)物體在半個(gè)周期內(nèi)回復(fù)力做功一定為零，但回復(fù)力的沖量不一定為零做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在任意半個(gè)周期的前后瞬間，其速度大

13、小一定相同，速度方向可能是相同的，也可能是相反的。故由動(dòng)能定理和動(dòng)量定理知，物體在半個(gè)周期內(nèi)回復(fù)力做功一定為零，回復(fù)力的沖量不一定為零?；貜?fù)力定義：振子受迫使它回復(fù)平衡位置的力，是合外力平行于速度方向上的分力。如果用F表示物體受到的回復(fù)力，用x表示小球?qū)τ谄胶馕恢玫奈灰?，根?jù)胡克定律，F(xiàn)和x成正比，它們之間的關(guān)系可用下式來表示：F = -kx式中的k是比例系數(shù)（只是在彈簧振子系統(tǒng)中k恰好為勁度系數(shù)），負(fù)號(hào)的意思是：回復(fù)力的方向總跟物體位移的方向相反。負(fù)號(hào)只代表方向，不代表數(shù)值正負(fù)。阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)：在阻力作用下的振動(dòng)，當(dāng)阻力大小可以忽略時(shí)，可以說是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。性質(zhì)：受到的阻力越大，振幅越?。环粗?，受到的阻力越小，振幅越大。振動(dòng)方程：x=Ae-ntsin（wt+）.效果：振動(dòng)過程中受到阻力的作用，振幅逐漸減小，能量逐漸損失，直至振動(dòng)停止。但整個(gè)過程中振動(dòng)的頻率不變。受迫振動(dòng)和共振受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)：振動(dòng)系統(tǒng)在周期性驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)。穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，跟系統(tǒng)的固有