《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》說(shuō)課稿

1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)說(shuō)課稿1 教材分析1.1 地位與作用本節(jié)內(nèi)容為人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版必修1第三章函數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)函數(shù)與方程的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是函數(shù)零點(diǎn)概念、函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，是一節(jié)概念課新課標(biāo)教材新增了二分法，也因而設(shè)置了本節(jié)課所以本節(jié)課首先是為“用二分法求方程的近似解”打基礎(chǔ)，零點(diǎn)概念與零點(diǎn)存在性定理的是二分法的必備知識(shí)之前的教材雖然沒(méi)有設(shè)置本節(jié)內(nèi)容，但方程的根與函數(shù)的關(guān)系從來(lái)是重要且無(wú)法回避的，所以將本節(jié)課直接編入教材很有必要本節(jié)課也就不僅為二分法的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，而且為方程與函數(shù)提供了零點(diǎn)這個(gè)連接點(diǎn)，從而揭示了兩者之間的本質(zhì)聯(lián)系，這種聯(lián)系正是

2、“函數(shù)與方程思想”的理論基礎(chǔ)用函數(shù)的觀點(diǎn)研究方程，本質(zhì)上就是將局部的問(wèn)題放在整體中研究，將靜態(tài)的結(jié)果放在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中研究，這為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)與不等式等其它知識(shí)的聯(lián)系奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)從研究方法而言，零點(diǎn)概念的形成和零點(diǎn)存在性定理的發(fā)現(xiàn)，符合從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，有利于培養(yǎng)學(xué)生的概括歸納能力，也為數(shù)形結(jié)合思想提供了廣闊的平臺(tái)1.2 教學(xué)重點(diǎn)基于上述分析，確定本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是：了解函數(shù)零點(diǎn)概念，掌握函數(shù)零點(diǎn)存在性定理2 學(xué)情分析2.1 學(xué)生具備必要的知識(shí)與心理基礎(chǔ)通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型，具備一定的看圖識(shí)圖能力，這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知

3、識(shí)基礎(chǔ)方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解決方程問(wèn)題，擴(kuò)充方程的種類，這是學(xué)生樂(lè)于接受的，故而學(xué)生具備心理與情感基礎(chǔ)2.2 學(xué)生缺乏函數(shù)與方程聯(lián)系的觀點(diǎn)高一學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，常表現(xiàn)出不適，主要是數(shù)形結(jié)合與抽象思維尚不能勝任具體表現(xiàn)為將函數(shù)孤立起來(lái)，認(rèn)識(shí)不到函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的核心地位例如一元二次方程根的分布問(wèn)題，學(xué)生自然會(huì)想到韋達(dá)定理，而不是看二次函數(shù)的圖象函數(shù)與方程相聯(lián)系的觀點(diǎn)的建立，函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)的初步樹(shù)立，就成了本節(jié)課必須承載的任務(wù)2.3 直觀體驗(yàn)與準(zhǔn)確理解定理的矛盾從方程根的角度理解函數(shù)零點(diǎn)，學(xué)生并不會(huì)覺(jué)得困難而用函數(shù)來(lái)確定方程根的個(gè)數(shù)和大致范圍，則需要適應(yīng)換言之，零點(diǎn)存在性定

4、理的獲得與應(yīng)用，必須讓學(xué)生從一定量的具體案例中操作感知，通過(guò)更多的舉例來(lái)驗(yàn)證定理只為零點(diǎn)的存在提供充分非必要條件，所以定理的逆命題、否命題都不成立，在函數(shù)連續(xù)性、簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)未學(xué)習(xí)的情況下，學(xué)生對(duì)定理的理解常常不夠深入這就要求教師引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)各種成立與不成立的情況，從正面、反面、側(cè)面等不同的角度審視定理的條件與適用范圍2.4 教學(xué)難點(diǎn)基于上述分析，確定本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是：對(duì)零點(diǎn)存在性定理的準(zhǔn)確理解3 目標(biāo)分析依據(jù)新課標(biāo)中的內(nèi)容與要求，以及學(xué)生實(shí)際情況，指定教學(xué)目標(biāo)如下：3.1 知識(shí)與技能目標(biāo)：1、了解函數(shù)零點(diǎn)的概念：能夠結(jié)合具體方程（如二次方程），說(shuō)明方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)三

5、者的關(guān)系；2、理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：了解圖象連續(xù)不斷的意義及作用；知道定理只是函數(shù)存在零點(diǎn)的一個(gè)充分條件；了解函數(shù)零點(diǎn)可能不止一個(gè)；3、能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，及所在區(qū)間3.2 過(guò)程與方法目標(biāo)：1、經(jīng)歷“類比歸納應(yīng)用”的過(guò)程，感悟由具體到抽象的研究方法，培養(yǎng)歸納概括能力2、初步體會(huì)函數(shù)方程思想，能將方程求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題3.3 情感、態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo)：1、體會(huì)函數(shù)與方程的“形”與“數(shù)”、“動(dòng)”與“靜”、“整體”與“局部”的內(nèi)在聯(lián)系2、體驗(yàn)規(guī)律發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)4 過(guò)程分析4.1 教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)：零點(diǎn)概念的建構(gòu)零點(diǎn)存在性定理的探究創(chuàng)設(shè)情境，感知概念辨析討論，明確概念實(shí)例嘗試，

6、歸納定理辨析應(yīng)用，熟悉定理例題變式，深化拓展應(yīng)用與鞏固小結(jié)反思，提高認(rèn)識(shí)布置作業(yè)，獨(dú)立探究結(jié)課約10分鐘約15分鐘約12分鐘約3分鐘4.2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：（一）創(chuàng)設(shè)情境，感知概念1、實(shí)例引入解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x意圖：通過(guò)純粹靠代數(shù)運(yùn)算無(wú)法解決的方程，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，激起探求的熱情2、一元二次方程的根與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系填空：方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0根x1=-1，x2=3x1=x2=1無(wú)實(shí)數(shù)根函數(shù)y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3圖象42-2-43-112Oxy42-2-43-112Oxy42-23-112Oxy圖

7、象與x軸的交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)：(-1,0)，(3,0)一個(gè)交點(diǎn)：(1,0)沒(méi)有交點(diǎn)問(wèn)題1：從該表你可以得出什么結(jié)論？歸納：判別式000方程ax2+bx+c=0 (a0)的根兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1 = x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的圖象Oxyx1x2Oyxx1Oxy函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)：(x1,0)，(x2,0)一個(gè)交點(diǎn)：(x1,0)無(wú)交點(diǎn)問(wèn)題2：一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象之間有怎樣的關(guān)系？學(xué)生討論，得出結(jié)論：一元二次方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)意圖：通過(guò)回顧二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，為一般函數(shù)及相應(yīng)方

8、程關(guān)系作準(zhǔn)備3、一般函數(shù)的圖象與方程根的關(guān)系問(wèn)題3：其他的函數(shù)與方程之間也有類似的關(guān)系嗎？請(qǐng)舉例！師生互動(dòng)，在學(xué)生提議的基礎(chǔ)上，老師加以改善，現(xiàn)場(chǎng)在幾何畫板下展示類似如下函數(shù)的圖象：y2x4，y2x8，yln(x2)，y(x1)(x2)(x3)比較函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，從而得出一般的結(jié)論：方程f(x)0有幾個(gè)根，yf(x)的圖象與x軸就有幾個(gè)交點(diǎn)，且方程的根就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)意圖：通過(guò)各種函數(shù)，將結(jié)論推廣到一般函數(shù)，為零點(diǎn)概念做好鋪墊（二）辨析討論，深化概念4、函數(shù)零點(diǎn)概念：對(duì)于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)即興練習(xí)：函數(shù)f(x)=x(x216

9、)的零點(diǎn)為（ D ）A(0，0)，(4，0) B0，4C(4，0)，(0，0)，(4，0) D4，0，4設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)矯正“零點(diǎn)是交點(diǎn)”這一誤解說(shuō)明：函數(shù)零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是具體的自變量的取值求函數(shù)零點(diǎn)就是求方程f(x)0的根5、歸納函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系問(wèn)題4：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根有什么共同點(diǎn)和區(qū)別？（1）聯(lián)系：數(shù)值上相等：求函數(shù)的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化成求對(duì)應(yīng)方程的根；存在性一致：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)（2）區(qū)別：零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)而言，根對(duì)于方程而言以上關(guān)系說(shuō)明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，函數(shù)問(wèn)題有時(shí)可轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，同樣，有些方程問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函

10、數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)練習(xí)：求下列函數(shù)的零點(diǎn)：2-2-41O1-2234-3-1-1yx設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生熟悉零點(diǎn)的求法（即求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根）（三）實(shí)例探究，歸納定理6、零點(diǎn)存在性定理的探索問(wèn)題5：在怎樣的條件下，函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上一定有零點(diǎn)？探究：（1）觀察二次函數(shù)f(x)x22x3的圖象：在區(qū)間-2，1上有零點(diǎn)_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0（“”或“”）abcxyOd在區(qū)間(2，4)上有零點(diǎn)_；f(2)f(4)_0（“”或“”）（2）觀察函數(shù)的圖象：在區(qū)間(a，b)上_(有/無(wú))零點(diǎn)；f(a)f(b) _ 0（“”或“”）在區(qū)間(b，c

11、)上_(有/無(wú))零點(diǎn)；f(b)f(c) _ 0（“”或“”）在區(qū)間(c，d)上_(有/無(wú))零點(diǎn)；f(c)f(d) _ 0（“”或“”）意圖：通過(guò)歸納得出零點(diǎn)存在性定理7、零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根即興練習(xí)：下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)？（1）f(x)=log2x，x，2；（2）f(x)=ex-1+4x-4，x0，1意圖：通過(guò)簡(jiǎn)單的練習(xí)適應(yīng)定理的使用（四）正反例證，熟悉定理8定理辨析與靈活運(yùn)用例1 判斷下列結(jié)論

12、是否正確，若不正確，請(qǐng)使用函數(shù)圖象舉出反例：（1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，且f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（ ）（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，且f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)（ ）（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b滿足f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)（ ）請(qǐng)一位學(xué)生板書反例，其他學(xué)生補(bǔ)充評(píng)析，例如：abOxyabOxyabOxy歸納：定理不能確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；定理中的“連續(xù)不斷”是必不可少的條件；不滿足定理?xiàng)l件時(shí)依然可能有零點(diǎn)意圖：通過(guò)對(duì)定理中條件的改變，將幾種容易產(chǎn)生的誤解正面

13、給出，在第一時(shí)間加以糾正，從而促進(jìn)對(duì)定理本身的準(zhǔn)確理解9、練習(xí)：（1）已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)對(duì)應(yīng)值表：x1234567f(x)23971151226那么函數(shù)在區(qū)間1，6上的零點(diǎn)至少有（ C ）A5個(gè)B4個(gè)C3個(gè)D2個(gè)（2）方程 x 3 3x + 5=0的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（ ）A( 2，0)B(0，1)C(0，1)D(1，2)意圖：一方面促進(jìn)對(duì)定理的活用，另一方面為突破后面的例題鋪設(shè)臺(tái)階（五）綜合應(yīng)用，拓展思維10、例題講解例2：求函數(shù)f(x)lnx2x6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并確定零點(diǎn)所在的區(qū)間n，n+1(nZ)解法1（借助計(jì)算工具）：用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x、f

14、(x)的對(duì)應(yīng)值表和圖象x123456789f(x)-4.0-1.31.13.45.67.89.912.114.2由表或圖象可知，f (2)0,則f (2) f (3)0，這說(shuō)明函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有零點(diǎn)問(wèn)題6：如何說(shuō)明零點(diǎn)的唯一性？又由于函數(shù)f(x)在(0，+)內(nèi)單調(diào)遞增，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn)解法2（估算）：估計(jì)f(x)在各整數(shù)處的函數(shù)值的正負(fù)，可得如下表格：x1234f(x)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)解法3（函數(shù)交點(diǎn)法）：將方程lnx2x6=0化為lnx=6-2x，分別畫出g(x)=lnx與h(x)=6-2x的草圖，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1繼而比較g(2)、

15、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，確定交點(diǎn)所在的區(qū)間，即零點(diǎn)的區(qū)間 6Oxy2134g(x)h(x)由圖可知f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)意圖：通過(guò)例題分析，能根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，使用多種方法確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)解法3作為選講內(nèi)容，視學(xué)生基礎(chǔ)而定練習(xí) 求方程2-x =x的解的個(gè)數(shù)，并確定解所在的區(qū)間n，n+1(nZ)意圖：一方面與引例相呼應(yīng)，又作為例題方法的鞏固，也為下一節(jié)課作鋪墊（六）總結(jié)整理，提高認(rèn)識(shí)（1）一個(gè)關(guān)系：函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系：函數(shù)方程零點(diǎn)根數(shù) 值存在性個(gè) 數(shù)（2）兩種思想：函數(shù)方程思想；數(shù)形結(jié)合思想（3）三種題型：求函數(shù)零點(diǎn)、判斷零點(diǎn)

16、個(gè)數(shù)、求零點(diǎn)所在區(qū)間（七）布置作業(yè)，獨(dú)立探究1函數(shù)f(x)(x4)(x4)(x2)在區(qū)間-5，6上是否存在零點(diǎn)？若存在，有幾個(gè)？2利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個(gè)根：（1）2x(x2)3；（2）ex144x3結(jié)合上課給出的圖象，寫出并證明下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間：（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)3(x2)(x3)(x4)x思考題：方程2-x =x在區(qū)間_內(nèi)有解，如何求出這個(gè)解的近似值？請(qǐng)預(yù)習(xí)下一節(jié)設(shè)計(jì)意圖：為下一節(jié)“用二分法求方程的近似解”的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備5.4 板書設(shè)計(jì)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、零點(diǎn)概念：練習(xí)：2、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系3、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的條件例2：例1反例：xyOxyOxyO5 教法分析新課標(biāo)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，本節(jié)課在概念的形成和深化、定理的概括和應(yīng)用方面，都給予自主探究、辨析實(shí)踐、動(dòng)手畫圖及交流討