廣西壯族自治區(qū)柳州市2019屆高三數學3月模擬考試試題理含解析

1、柳州市2019屆高三畢業(yè)班3月份模擬考試理科數學一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據題意求出集合，再求出即可【詳解】，故選B【點睛】本題考查集合的交集運算，解題的關鍵是正確求出集合，屬于基礎題2.設為虛數單位，則復數的虛部為（ ）A.B. C. -1D. 1【答案】D【解析】【分析】根據復數的乘除運算求出復數的代數形式，然后可得復數的虛部【詳解】由題意得，所以復數的虛部為1故選D【點睛】解答本題容易出現(xiàn)的錯誤是認為復數的虛部為，解題的關鍵是得到復數的

2、代數形式和熟記相關的概念，屬于基礎題3.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：因為所以選C考點：比較大小【此處有視頻，請去附件查看】4.在某次高三聯(lián)考數學測試中，學生成績服從正態(tài)分布，若在內的概率為0.75，則任意選取一名學生，該生成績高于115的概率為（ ）A. 0.25B. 0.1C. 0.125D. 0.5【答案】C【解析】【分析】根據正態(tài)曲線的對稱性求解即可得到所求概率【詳解】由題意得，區(qū)間關于對稱，所以，即該生成績高于115的概率為故選C【點睛】本題考查根據正態(tài)曲線的對稱性求在給定區(qū)間上的概率，求解的關鍵是把所給區(qū)間用已知區(qū)間表示，并根據曲線的對稱性進行求

3、解，考查數形結合的應用，屬于基礎題5.圓關于直線對稱的圓的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出已知圓的圓心關于直線的對稱點的坐標，即得所求圓的圓心，再結合圓的半徑不變即可求出圓的方程【詳解】由題意得，圓方程即為，圓心坐標為，半徑為1設圓心關于直線的對稱點的坐標為，則，解得，所求圓的圓心坐標為，所求圓的方程為故選D【點睛】確定圓的條件有兩個：一個是求出圓心的坐標，另一個是確定圓的半徑解答本題的關鍵是根據點與點關于直線的對稱求出圓心的坐標，然后可得圓的標準方程6.如圖所示的程序框圖，運行程序后，輸出的結果為（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】由題設

4、當時，；當時，；當時，；當時，運算程序結束，輸出，應選答案B。7.等差數列中，若，則的值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】由題意得，所以，所以，進而可得所求結果【詳解】，故選A【點睛】本題考查等差數列中下標和性質的應用，解題的關鍵是進行適當的變形，以得到能運用性質的形式本題也可轉化為等差數列的首項和公差后進行求解，屬于基礎題8.已知菱形的邊長為2，為的中點，則的值為（ ）A. 4B. -3C. D. 【答案】B【解析】【分析】結合圖形可得，然后根據數量積的定義求解即可【詳解】菱形的邊長為2，為的中點， 故選B【點睛】本題考查向量數量積的運算，解題的關鍵是選擇適當

5、的基底，然后將所有向量用同一基底表示出來，再根據定義求解，屬于基礎題9.關于函數，有下列敘述：（1）其圖像關于直線對稱；（2）其圖像可由圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫剑唬?）其圖像關于點對稱；（4）其值域是.則敘述正確的個數是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】對給出的四個結論分別進行分析后可得正確結論的個數，進而得到答案【詳解】對于（1），在函數中，令，得，不是函數的最值，故（1）不正確；對于（2），由圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮傻玫膱D像，故（2）正確；對于（3），當時，可得，可得函數的圖像關于點對稱，故（3）錯誤；對于（4），由題意可得函數的值域為

6、，故（4）正確綜上可得（2）（4）正確故選B【點睛】解答本題的關鍵是結合三角函數的有關知識對給出的結論逐一進行判斷，解題時注意轉化思想的運用，如把函數圖象的對稱軸和最值聯(lián)系起來，把對稱中心和函數的零點聯(lián)系起來，綜合考查運用知識解決問題的能力10.在高三下學期初，某校開展教師對學生的家庭學習問卷調查活動，已知現(xiàn)有3名教師對4名學生家庭問卷調查，若這3名教師每位至少到一名學生家中問卷調查，又這4名學生的家庭都能且只能得到一名教師的問卷調查，那么不同的問卷調查方案的種數為（ ）A. 36B. 72C. 24D. 48【答案】A【解析】【分析】分為兩步進行求解，即先把四名學生分為1,1,2三組，然后再

7、分別對應3名任課老師，根據分步乘法計數原理求解即可【詳解】根據題意，分2步進行分析：先把4名學生分成3組，其中1組2人，其余2組各1人，有種分組方法；將分好的3組對應3名任課教師，有種情況；根據分步乘法計數原理可得共有種不同的問卷調查方案故選A【點睛】解答本題的關鍵是讀懂題意，分清是根據分類求解還是根據分布求解，然后再根據排列、組合數求解，容易出現(xiàn)的錯誤時在分組時忽視平均分組的問題考查理解和運用知識解決問題的能力，屬于基礎題11.已知雙曲線的左、右焦點為、，雙曲線上的點滿足恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由是的邊上的中線得到，于是可得

8、，再根據，可得，進而得到所求范圍【詳解】是的邊上的中線，當且僅當三點共線時等號成立又，又，故離心率的取值范圍為故選C【點睛】解答本題時注意兩點：一是注意數形結合在解題中的應用，特別是由題意得到；二是根據題意得到間的關系，再根據離心率的定義求解，屬于基礎題12.如圖，在正方體中，棱長為1，點為線段上的動點（包含線段端點），則下列結論錯誤的是（ ）A. 當時，平面B. 當為中點時，四棱錐的外接球表面為C. 的最小值為D. 當時，平面【答案】C【解析】【分析】結合圖形，對給出的四個選項分別進行分析討論后可得錯誤的結論【詳解】對于，連結，則，設到平面的距離為，則，解得，.當時，為與平面的交點平面平面，

9、平面，平面，故A正確又由以上分析可得，當時，即為三棱錐的高，平面，所以D正確對于B，當為中點時，四棱錐為正四棱錐，設平面的中心為，四棱錐的外接球為，所以，解得，故四棱錐的外接球表面積為，所以B正確對于C，連結，則，由等面積法得的最小值為，的最小值為所以C不正確故選：C.【點睛】由于本題涉及的知識點及內容較多，所以在解題時要根據所求分別進行分析、判斷，解題時注意空間中位置關系及數量關系的靈活運用，考查運用知識綜合解決問題的能力及識圖、判斷能力，難度較大二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若實數、滿足約束條件，則的最大值為_【答案】11【解析】【分析】畫出不等式組表示的平面

10、區(qū)域，由得，然后平移直線，根據的幾何意義判斷出最優(yōu)解，進而可得所求最值【詳解】由約束條件作出可行域如圖陰影部分所示由，得平移直線，由圖形可得，當直線經過可行域內的點時，直線在軸上的截距最大，此時取得最大值由，可得，所以故答案為：11【點睛】利用線性規(guī)劃求最值體現(xiàn)了數形結合思想的運用，解題的關鍵有兩個：一是準確地畫出不等式組表示的可行域；二是弄清楚目標函數中的幾何意義，根據題意判斷是截距型、斜率型、還是距離型，然后再結合圖形求出最優(yōu)解后可得所求14.如圖，在一個幾何體的三視圖中，主視圖和俯視圖都是邊長為2的等邊三角形，左視圖是等腰直角三角形，那么這個幾何體的體積為_【答案】1【解析】【分析】根據

11、三視圖得到幾何體的直觀圖，再根據直觀圖求出幾何體的體積即可【詳解】由三視圖可得，該幾何體為一個三棱錐，高為，底面為邊長為2的正三角形，因此幾何體的體積為故答案為：1【點睛】在由三視圖還原空間幾何體時，一般以主視圖和俯視圖為主，結合左視圖進行綜合考慮熱悉常見幾何體的三視圖，能由三視圖得到幾何體的直觀圖是解題關鍵求解幾何體的表面積或體積時要結合題中的數據及幾何體的形狀進行求解15.已知正項等比數列滿足，若存在兩項，使得，則的最小值為_【答案】4【解析】【分析】由可得，然后由 可得所求最小值【詳解】由得，又，解得， ，當且僅當時等號成立故答案為：4【點睛】運用基本不等式求最值時，要注意使用的條件，即

12、“一正、二定、三相等”，且三個條件缺一不可當條件不滿足時，需要利用“拆”、“湊”等方法進行適當的變形，使之滿足能使用不等式的形式考查知識間的綜合運用，屬于基礎題16.已知函數與的圖像上存在關于原點對稱的對稱點，則實數的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】將問題轉化為方程，即在上有解求解，然后根據導數的幾何意義并結合兩函數的圖象的相對位置可得所求范圍【詳解】函數與的圖像上存在關于原點對稱的對稱點，方程，即在上有解，方程在有解設，且為的切線，設切點為，由得，則有，解得 由圖象可得，要使直線和的圖象有公共點，則，解得所以實數的取值范圍是故答案為：【點睛】解得本題的關鍵有兩個：一是將兩函數圖象上有對稱

13、點的問題轉化為方程有解的問題處理；二是解題時要利用數形結合的方法，以提高解題的直觀性考查導數幾何意義及變換思想的運用，具有綜合性和難度三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：60分17.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角；（2）若，的中線，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理及條件可得，變形后得到，于是，（2）由的中線可得，兩邊平方后得到，又根據余弦定理得，于是，所以可得三角形的面積【詳解】（1） .，又在中，又，（2）由可得：，即，又由余

14、弦定理，由兩式得，的面積【點睛】本題考查正余弦定理在三角形中的應用及三角形的面積公式，解題的關鍵是根據需要進行適當的變形，逐步達到求解的目的，屬于基礎題18.某中學的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標準制定了該校所在區(qū)域空氣質量指數與空氣質量等級對應關系如下表（假設該區(qū)域空氣質量指數不會超過300）：空氣質量指數空氣質量等級1級優(yōu)2級良3級輕度污染4級中度污染5級重度污染6級嚴重污染該社團將該校區(qū)在2018年11月中10天的空氣質量指數監(jiān)測數據作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如下圖，把該直方圖所得頻率估計為概率.（1）以這10天的空氣質量指數監(jiān)測數據作為估計2018年11月的空氣質量情況，則2018年11月

15、中有多少天的空氣質量達到優(yōu)良？（2）從這10天的空氣質量指數監(jiān)測數據中，隨機抽取三天，求恰好有一天空氣質量良的概率；（3）從這10天的數據中任取三天數據，記表示抽取空氣質量良的天數，求的分布列和期望.【答案】（1）11月中平均有9天的空氣質量達到優(yōu)良；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖得到11月中10天的空氣質量優(yōu)良的頻率，即為概率，然后進行估計可得30天中空氣優(yōu)良的天數（2）根據古典概型概率公式和組合數的計算可得所求概率（3）先判斷出隨機變量的所有可能取值，然后分別求出對應的概率，進一步可得分布列和期望【詳解】（1）由頻率分布直方圖，知這10天中1級優(yōu)1天，2級良2天

16、，3-6級共7天.所以這10天中空氣質量達到優(yōu)良的概率為，因為，所以11月中平均有9天的空氣質量達到優(yōu)良（2）記“從10天的空氣質量指數監(jiān)測數據中，隨機抽取三天，恰有一天空氣質量優(yōu)良”為事件，則，即恰好有一天空氣質量良的概率（3）由題意得的所有可能取值為0，1，2，；所以的分布列為：012所以【點睛】解得此類應用題的關鍵在于讀懂題意，并從統(tǒng)計圖表中得到解題的條件和信息，然后再根據要求進行求解求分布列時首先要得到隨機變量的所有可能取值，然后再根據概率類型求出相應的概率，列成表格的形式即可本題考查概率與統(tǒng)計的結合，屬于基礎題19.如圖，菱形的對角線與相交于點，平面，四邊形為平行四邊形.（1）求證：

17、平面平面；（2）若，點在線段上，且，求平面與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據條件先證得，再由得，于是平面，進而可得結論成立（2）由題意得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，再求出兩法向量的夾角的余弦值，進而可得所求正弦值【詳解】（1）證明：四邊形為菱形，平面，平面，又四邊形為平行四邊形，平面平面，平面平面（2）平面，.，四邊形為正方形建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，令，得同理可求得平面的一個法向量,，平面與平面所成角的正弦值為【點睛】（1）用向量法解決空間角問題的關鍵是建立適當的空間直角坐標系，然后得到相關點的

18、坐標，求出直線的方向向量或平面的法向量，然后利用向量的運算進行求解（2）向量法求二面角大小時，可分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小20.如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點為橢圓上任意一點，關于原點的對稱點為，有，且的最大值.（1）求橢圓的標準方程；（2）若是關于軸的對稱點，設點，連接與橢圓相交于點，問直線與軸是否交于一定點.如果是，求出該定點坐標；如果不是，說明理由.【答案】（1）；（2）定點.【解析】【分析】（1）由對稱可得，故又根據的最大值得到，進而得到，所以可得到橢圓的方程（2）由題意可設直線的

19、方程為，結合由直線方程與橢圓方程組成的方程組可得直線的方程為，令得，將，代入上式整理得，然后代入兩根和與兩根積可得，從而得直線與軸交于定點【詳解】（1）因為點為橢圓上任意一點，關于原點的對稱點為，所以，又，所以，又的最大值為，知當為上頂點時，最大，所以，所以，所以所以橢圓的標準方程為（2）由題知直線的斜率存在，設直線的方程為由消去并整理得因為直線與橢圓交于兩點，所以，解得設，則，且，由題意得，直線的方程為，令得， 將，代入上式整理得將代入上式，得，所以直線與軸交于定點【點睛】（1）解答解析幾何問題的方法是把題目信息坐標化，然后通過代數運算達到求解的目的，由于在解題中需要用到大量的計算，所以采取

20、相應的措施以減少計算量，如“設而不求”、“整體代換”等方法的利用（2）解決定點問題時，可根據題意選擇參數，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數無關，故得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點21.已知函數在區(qū)間上為增函數，.（1）求實數的取值范圍；（2）當取最大值時，若直線：是函數的圖像的切線，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）的最小值為-1.【解析】【分析】（1）根據在上恒成立可得實數的取值范圍（2）由題意得，設切點坐標為，根據導數的幾何意義求得，又由，得，從而得到，然后再利用導數求出函數的最小值即可【詳解】（1），又函數 在區(qū)間上為增函數，在上恒成立，在

21、上恒成立令，則當時，取得最小值，且，實數的取值范圍為（2）由題意的，則，設切點坐標為，則切線的斜率，又，令，則，故當時，單調遞減；當時，單調遞增當時，有最小值，且，的最小值為【點睛】本題考查導數的幾何意義和導數在研究函數性質中的作用，其中在研究函數的性質中，單調性是解題的工具和基礎，而正確求導并判斷導函數的符號是解題的關鍵，考查計算能力和轉化意識的運用，屬于基礎題（二）選考題：共10分.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），將曲線上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標縮短為原來的，得到曲線，在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的極坐標方程及直線的直角坐標方程；（2）設點為曲線：上的任意一點，求點到直線的距離的最大值.【答案