動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最值

1、.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最值最值問(wèn)題有四種情形：定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的最值，動(dòng)點(diǎn)在圓上或直線上，就是點(diǎn)到圓的最近距離，和點(diǎn)到直線的最近距離；三角形兩邊之和大于第三邊的問(wèn)題，當(dāng)兩邊成一直線最大；幾條線段之和構(gòu)成一條線段最??；還有就是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)最小問(wèn)題。一、定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)所在圓的最大或最小值，動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)定圓上運(yùn)動(dòng)，其實(shí)質(zhì)是圓外一點(diǎn)到圓的最大或最小距離，就是定點(diǎn)與圓心所在直線與圓的交點(diǎn)的兩個(gè)距離。 方法：證明動(dòng)點(diǎn)在圓上或者去找不變的特殊三角形，證明兩個(gè)三角形相似，求出某些邊的值。1如圖，ABC、EFG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M當(dāng)EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最小值是（ ）ABCD

2、提示：點(diǎn)M在以AC為直徑的圓上2（2015咸寧）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BFAE交CD于點(diǎn)F，垂足為G，連結(jié)CG下列說(shuō)法：AGGE；AE=BF；點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為；CG的最小值為1其中正確的說(shuō)法是（把你認(rèn)為正確的說(shuō)法的序號(hào)都填上）提示：G在以AB為直徑的圓上：正確答案是：3、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm,正方形AEFG的邊長(zhǎng)為1cm，如果正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，那么C、F兩點(diǎn)之間的最小距離為 4、如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，A=60,M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿MN所在直線翻折得到AMN，連接AC，則AC長(zhǎng)度的最小值是 5、如圖

3、，等腰直角ACB，AC=BC=，等腰直角CDP，且PB=，將CDP繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn).（1）求證：AD=PB（2）若CPB=135，求BD；（3）PBC= 時(shí)，BD有最大值，并畫(huà)圖說(shuō)明； PBC= 時(shí)，BD有最小值，并畫(huà)圖說(shuō)明.分析：在ABD中有：BDAB+AD，當(dāng)BD=AB+AD時(shí)BD最大，此時(shí)AB與AD在一條直線上，且AD在BA的延長(zhǎng)線上，又ACB是等腰直角三角形，CAB=45，由（1）知PBC=CAD=180-45=135BDAB-AD，當(dāng)BD=AB-AD時(shí)BD最小，此時(shí)，AB與AD在一條直線上，且AD在線段AB上，此時(shí)CAD=45，所以PBC=CAD=456、如圖，ABC和ADE都是等腰直角三

4、角形，ACB=ADE=90,BAE=135,AD=1，AC=，F(xiàn)為BE中點(diǎn).（1）求CF的長(zhǎng)（2）將ADE繞A旋轉(zhuǎn)一周，求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；（3）ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，求線段CF的范圍.提示：本題根據(jù)中點(diǎn)構(gòu)造三角形相似，BOFBAE,且7、如圖，AB=4，O為AB中點(diǎn)，O的半徑為1，點(diǎn)P是O上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰PBC（點(diǎn)P，B，C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校﹦t線段AC的取值范圍 AP3 提示：發(fā)現(xiàn)定等腰直角AOC與等腰直角OBE，從而得到相似。BOPBEC CE= AE= 在ACE中，AE-CEACAE+CE8、如圖，ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，O為ABD外接

5、圓，過(guò)點(diǎn)A作AEBC交O于E，連接DE，BE.則ADE的周長(zhǎng)的最小值為 2+ 9、如圖，正方形ABCD，AB=4，E為形外一點(diǎn)，且AED=900，連CE，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，求BF得最大值。連AC,取DC中點(diǎn)G，取AC中點(diǎn)H，則FGHEDA,又AD=4，GFH=DEA=90，點(diǎn)F在以GH為直徑的圓上，BF的最大值為二、定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)所在定直線的最小值，動(dòng)點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，其實(shí)質(zhì)是點(diǎn)到直線的最小距離。方法：1在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，4)、P(1，0)，B為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊構(gòu)造ABC，使點(diǎn)C在x軸上，BAC90M為BC的中點(diǎn)，則PM的最小值為_(kāi)取特殊位置考慮：當(dāng)B在原點(diǎn)時(shí)，OC=10，此

6、時(shí)M（5,0）當(dāng)C在原點(diǎn)時(shí)，B（0,5），此時(shí)M（0，），所以點(diǎn)M在直線上運(yùn)動(dòng)PM PM=OM=AM，點(diǎn)M在OA的垂直平分線上。2、在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3,0），B（3,0），C（0，-），E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊向左側(cè)作正BEF，則OF的最小值為 提示：點(diǎn)F在如圖所示的直線AF上運(yùn)動(dòng)。那兩個(gè)涂色的三角形始終是全等的FAO=303、如圖，點(diǎn)D在等邊ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且AF=BE，連接EF，以EF為邊構(gòu)造等邊EFG，連接DG，若BD=2，則DG的最小值是 考慮特殊位置：當(dāng)當(dāng)E與B重合時(shí)，F(xiàn)與A重合，此時(shí)BGAC，當(dāng)E與C重合時(shí)，F(xiàn)與B重合，F(xiàn)G

7、AC，所有點(diǎn)G在過(guò)點(diǎn)B且與AC平行的直線上，DBG=60，當(dāng)DG垂直于過(guò)B與AC平行的直線垂直時(shí)，DG最小是過(guò)E作EHAC，則有EFHEGB EBG=EHF=60點(diǎn)G在平行于AC的直線GB上運(yùn)動(dòng)。4、如圖，OA=3，OAB=60，P為射線BO上一動(dòng)點(diǎn)，E為OB中點(diǎn)，以AP為邊作等邊APC,則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中CE的最小值為 易證：APHACB（H為y軸負(fù)半軸上的那個(gè)點(diǎn)）AC=BC，點(diǎn)C在AB的垂直平分線上.三、根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，最大值就是讓第三邊等于其他兩邊的和，最小值就是第三邊等于其他兩邊之差1、15、ACD中，AD8，CD，BCAC于C，AC=2BC，則BD的最

8、大值是_.提示：過(guò)C作CECD使CE=2CD，連接AC，DE，則有BCDACE，則有 又AEDE+AD=13 BD=6.52、如圖，AB=4，O為AB中點(diǎn)，O的半徑為1，點(diǎn)P是O上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰PBC（點(diǎn)P，B，C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校﹦t線段AC的取值范圍 AP3 提示：發(fā)現(xiàn)定等腰直角AOC與等腰直角OBE，從而得到相似。BOPBEC CE= AE= 在ACE中，AE-CEACAE+CE5、如圖，等腰直角ACB，AC=BC=，等腰直角CDP，且PB=，將CDP繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn).（1）求證：AD=PB（2）若CPB=135，求BD；（3）PBC= 時(shí)，BD有最大值，并畫(huà)圖說(shuō)明； PBC=

9、時(shí)，BD有最小值，并畫(huà)圖說(shuō)明.分析：在ABD中有：BDAB+AD，當(dāng)BD=AB+AD時(shí)BD最大，此時(shí)AB與AD在一條直線上，且AD在BA的延長(zhǎng)線上，又ACB是等腰直角三角形，CAB=45，由（1）知PBC=CAD=180-45=135BDAB-AD，當(dāng)BD=AB-AD時(shí)BD最小，此時(shí)，AB與AD在一條直線上，且AD在線段AB上，此時(shí)CAD=45，所以PBC=CAD=45四、由三角形第三邊小于兩邊之和推廣可以得到，最小值問(wèn)題，就是要兩條線段的和或多條線段的和構(gòu)成一條線段，理由是兩點(diǎn)之間線段最短。1、如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

10、60得到BN，連AM、CM、EN.（1）求證：ABMENB；（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最??？ 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小？并說(shuō)明理由.（3）當(dāng)AM+BM+CM的值最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).2（2015天津）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中點(diǎn)A，B，D均在格點(diǎn)上，點(diǎn)E、F分別為線段BC、DB上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=DF（）如圖，當(dāng)BE=時(shí)，計(jì)算AE+AF的值等于（）當(dāng)AE+AF取得最小值時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出線段AE，AF，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置如何找到的（不要求證明）取格點(diǎn)H，K，連接BH，CK，相交于點(diǎn)P，連接AP，與BC相交，得點(diǎn)E，取格點(diǎn)M

11、，N連接DM，CN，相交于點(diǎn)G，連接AG，與BD相交，得點(diǎn)F，線段AE，AF即為所求3、已知拋物線的頂點(diǎn)為P，直線分別交x，y軸于點(diǎn)M，N（1）若點(diǎn)P在直線MN上，求n的值； （2）是否存在過(guò)（0，2）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的下方），使AB為定長(zhǎng)，若存在，求出AB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，當(dāng)四邊形MABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，求n的值【意圖】本題綜合考查運(yùn)用初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容和重要的思想方法解決問(wèn)題的能力【考點(diǎn)】拋物線的解析式求法，坐標(biāo)的方法，直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等,坐標(biāo)系中定值和最值問(wèn)題第24題圖1【解析】(1)配方P（n，n）

12、代入， 得n=(2)如圖1，設(shè)過(guò)（0，2）的直線為，設(shè)A()，B()聯(lián)立，消元得,要使AB為定長(zhǎng)，則的值與n的取值無(wú)關(guān)，44k=0k=1存在直線y=x2，使AB為定長(zhǎng)，且AB=第24題圖2(3)如圖2，易求M(3，0)，N(0，)，平移AB，使A點(diǎn)于M點(diǎn)重合，則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G剛好落在y軸上，因?yàn)锳B=，所以G（0，3）作點(diǎn)G關(guān)于直線y=x2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H(5，2)過(guò)G作GFy軸，交直線AB于F，連FH，所以FH=FG=5，又FGA=AFH=45,連接NH交直線y=x2為點(diǎn)R（2，0）可證明當(dāng)點(diǎn)B與R重合時(shí)，四邊形MABN的周長(zhǎng)最小將 R（2，0）代入中，得（舍去）n=1 五、利用對(duì)稱(chēng)求最值1如圖，A

13、OB30，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM1，ON3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MPPQQN的最小值是_2、已知拋物線的頂點(diǎn)為P，直線分別交x，y軸于點(diǎn)M，N（1）若點(diǎn)P在直線MN上，求n的值； （2）是否存在過(guò)（0，2）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的下方），使AB為定長(zhǎng)，若存在，求出AB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，當(dāng)四邊形MABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，求n的值【意圖】本題綜合考查運(yùn)用初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容和重要的思想方法解決問(wèn)題的能力【考點(diǎn)】拋物線的解析式求法，坐標(biāo)的方法，直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等,坐標(biāo)系中定值和最值問(wèn)題第24題圖1

14、【解析】(1)配方P（n，n）代入， 得n=(2)如圖1，設(shè)過(guò)（0，2）的直線為，設(shè)A()，B()聯(lián)立，消元得,要使AB為定長(zhǎng)，則的值與n的取值無(wú)關(guān)，44k=0k=1存在直線y=x2，使AB為定長(zhǎng)，且AB=(3)如圖2，易求M(3，0)，N(0，)，平移AB，使A點(diǎn)于M點(diǎn)重合，則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G剛好落在y軸上，因?yàn)锳B=，所以G（0，3）作點(diǎn)G關(guān)于直線y=x2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H(5，2)過(guò)G作GFy軸，交直線AB于F，連FH，所以FH=FG=5，又FGA=AFH=45,連接NH交直線y=x2為點(diǎn)R（2，0）第24題圖2可證明當(dāng)點(diǎn)B與R重合時(shí)，四邊形MABN的周長(zhǎng)最小將 R（2，0）代入中，得（舍去）n=1

15、 六、其他類(lèi)最值1、如圖，在ABC中，C90，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BEAD交AD的延長(zhǎng)線于E若 AC6，BC8，則的最大值為( B ) ABCD提示：比值構(gòu)造相似三角形，于是過(guò)E作EFBC于F，則有ACDEFD，而AC=6，所以只要EF最大就比值最大，當(dāng)E在以AB為直徑的半圓弧中點(diǎn)時(shí)，EF最大是22如圖，在O中，BC是弦，AD過(guò)圓心O，ADBCE是O上一點(diǎn)F是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EF=AE若AD=9，BC=6設(shè)線段CF長(zhǎng)度的最小值和最大值分別為m，n，則mn=( )A100 B90 C80 D703如圖，O的半徑為2，弦AB的長(zhǎng)為，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，ACAP交直線PB于點(diǎn)C，則ABC的面積的最大值是（ B ）ABCD4、ABC中BC=，BAC=600，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CE交AB于P,則的最大值為過(guò)D作DHCP交AB于H，則有BH=HP=AP，當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)，此時(shí)在優(yōu)弧BC中點(diǎn)，其值為9，P到BD的高也最大，此時(shí)為6，故SPBD最大值為反比例函數(shù)問(wèn)題：1、如圖，矩形OABC的邊OA在x軸上，雙曲線與BC交于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E，矩形OABC的面積為4，