從數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)角度審視小學(xué)數(shù)學(xué)競賽的訓(xùn)練與輔導(dǎo)之模擬練習(xí)題解答

1、數(shù)形結(jié)合思想模擬練習(xí)1：1.柳卡問題每天中午有一艘輪船由哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛。輪船在途中均要航行七天七夜。且均沿同一航線航行。試問今天中午從哈佛開出的一艘輪船在到達(dá)紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約開來的同一公司的輪船?（這是十九世紀(jì)在一次世界科學(xué)會議期間,法國數(shù)學(xué)家柳卡向在場的數(shù)學(xué)家們提出的一個問題,它難倒了在場的所有數(shù)學(xué)家,連柳卡本人也沒有徹底解決。后來有一位叫斯圖姆的數(shù)學(xué)家通過圖解法,才使問題最終得到解決,你能想出來是怎樣解決的嗎？）答案如下圖13艘。分析與解： 2.甲、乙二人上午8時同時從東村騎車到西村去，甲每小時比乙快6千米，中午12點(diǎn)甲到達(dá)西村后立即返

2、回東村，在距西村15千米處遇到乙。問：東、西兩村相距多遠(yuǎn)？答案60千米分析與解：兩人相遇時甲比乙多走30千米，此時已走了306=5（時），是下午1點(diǎn)。說明甲每小時走15千米，所以東、西兩村相距15（12-8）=60（千米）。4小時后甲比乙多行64=24（千米），剛好是甲返回15千米所行時間里與乙相遇的路程，則這段時間里乙行了24-15=9（千米），兩者剛好相差6千米，說明剛好是1小時。說明15和9分別是兩者的速度。所以東、西兩村相距15（12-8）=60（千米）。3.甲、乙二人分別從A，B兩地同時出發(fā)，兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；兩人相向而行，6分鐘可相遇。已知乙每分鐘行50米，求A，B兩

3、地的距離。答案780米分析與解：先根據(jù)題意畫出草圖，由圖可知甲26分鐘行的路程等于甲、乙各6分鐘相遇的路程加上乙26分鐘行的路程。則甲20分鐘行的路程等于乙32分鐘行的路程。則甲速為50 （26+6）（26-6）=80（米）A，B兩地距離為（80+50）6=780（米）。設(shè)甲每分鐘走x米。由A，B兩地距離可得（x+50）6=（x-50）26解得x=80（米）。所以A，B兩地距離為（80+50）6=780（米）。4.某人沿公路前進(jìn)，迎面來了一輛汽車，他問司機(jī)：“后面有騎自行車的人嗎？”司機(jī)回答：“10分鐘前我超過一個騎自行車的人?！边@人繼續(xù)走了10分鐘，遇到了這個騎自行車的人。如果自行車的速度是

4、人步行速度的3倍，那么，汽車速度是人步行速度的多少倍？答案7倍分析與解：如圖：汽車與自行車的速度差等于自行車與行人的速度和，以行人的速度為1，則自行車的速度為3，汽車的速度為32+1=7。5.某人沿著電車道旁的便道以4.5千米/時的速度步行，每7.2分鐘有一輛電車迎面開過，每12分鐘有一輛電車從后面追過。如果電車按相等的時間間隔發(fā)車，并以同一速度不停地往返運(yùn)行，那么電車的速度是多少？電車發(fā)車的時間間隔是多少？答案18千米/時；9分。分析與解：如圖：提示：與案例2類似，由7.2，12=36，假設(shè)此人向前走36分鐘，再向回走36分鐘，共遇到同方向的車367.2+3612=8（輛），兩車間隔（36+

5、36）8=9（分）。電車速度為4.57.2（9-7.2）=18（千米/時）。（注7.2（9-7.2）表示人行7.2分鐘的路程=車行1.8分鐘的路程。）6.鐵路旁有一條小路，一列長110米的火車以30千米/時的速度向南駛?cè)ィ?點(diǎn)時追上向南行走的一名工人，15秒后離他而去，8點(diǎn)6分迎面遇到一個向北行走的農(nóng)民，12秒后離開這個農(nóng)民。問：工人與農(nóng)民何時相遇？答案8點(diǎn)30分分析與解：如圖：則火車每分鐘行30100060=500（米），8點(diǎn)時工人與農(nóng)民相距（500+50）6=3300（米），兩人相遇還需3300（60+50）=30（分），即8點(diǎn)30分兩人相遇。7.小紅從家到火車站趕乘火車，每小時行4千米，

6、火車開時她還離車站1千米；每小時行5千米，她就早到車站12分鐘。小紅家離火車站多少千米？答案9千米分析與解：如圖：根據(jù)追及問題或用盈虧問題的思想分析可得：（51260+1）（5-4）=2（小時）。則小紅家距車站42+1=9（千米）。設(shè)小紅出發(fā)時離火車開還有x時。由到車站的距離可列方程解得x=2。則小紅家距車站4219（千米）。模擬練習(xí)2：1.+22.+23.+24.+25.68+34+17+8.5+4.25+2.125+1.0625+6821366.+17.+9（1）模擬練習(xí)3：1.一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周。那么，可供21頭牛吃幾周？設(shè)1頭牛一

7、天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，后者的總草量是150份，前者是原有的草加 20天新長出的草，后者是原有的草加10天新長出的草。答案12周分析與解：如圖：設(shè)1頭牛1周吃的草為1份。則牧場每周新長草（239276）（96）15（份）。則草地原有草（2715）672（份）可供21頭牛吃72（2115）12（周）。2.一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17頭牛吃30天或供19頭牛吃24天。有一群牛，吃了6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了2天將草吃完，這群牛原來有多少頭？答案40頭分析與解：如圖：設(shè)1頭牛1天吃的

8、草為1份。則牧場每天新長草（17301924）（3024）9（份）。則草地原有草（179）30240（份）這群牛8天應(yīng)吃掉草2409842320（份），所以這群牛有320840（頭）。3.經(jīng)測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長速度是一定的，為使人類有不斷發(fā)展的潛力，地球最多能養(yǎng)活多少億人？答案70億分析與解：如圖：設(shè)1億人生活1年消耗的資源為1份。則地球每年新生成資源（80300100100）（300100）70（份）。當(dāng)新生成的資源不少于每年消耗掉的資源時，地球上的資源才不至于減少。所以地球最多能養(yǎng)活70億人。4.有一水池，池底有

9、泉水不斷涌出。用10部抽水機(jī)20時可以把水抽干；用15部同樣的抽水機(jī)，10時可以把水抽干。那么，用25部這樣的抽水機(jī)多少小時可以把水抽干？答案5時分析與解：如圖：設(shè)1部抽水機(jī)1時抽出的水為1份。則水池中每小時涌出泉水（10201510）（2010）5（份）。則水池原有水（105）20100（份），25部抽水機(jī)抽干需100（255）5（時）。5.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。如果同時開放3個檢票口，那么40分鐘檢票口前的隊(duì)伍恰好消失；如果同時開放4個檢票口，那么25分鐘隊(duì)伍恰好消失。如果同時開放8個檢票口，那么隊(duì)伍多少分鐘恰好消失？答案10分分析與解：如圖：設(shè)1個檢

10、票口1分鐘通過的旅客為1份。則每分鐘新來旅客（340425）（4025）（份）。則原有旅客（3）40（份），開8個檢票口需（8）10（分）。6.兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的，一只每個白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用5個晝夜到達(dá)井底，另一只蝸牛恰好用6個晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？答案15米分析與解：如圖：每夜下劃（205155）（65）10（分米）。則井深（2010）5150（分米）15（米）。7.兩位頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級梯級

11、，女孩可走24級梯級，結(jié)果男孩走了2分鐘到達(dá)另一端，女孩走了3分鐘到達(dá)另一端。問：該扶梯共多少級？答案54級分析與解：如圖：自動扶梯每分鐘走24（18020）27（12020）（32）54（級）。則自動扶梯共有27（12020）54254（級）。8.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那么需多少分鐘？答案12分分析與解：如圖：旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。設(shè)1個檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份，則每分

12、鐘新來旅客（430-520）（30-20）=2（份）。假設(shè)讓2個檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為（4-2）30=60（份）或（5-2）20=60（份）。同時打開7個檢票口時，讓2個檢票口專門通過新來的旅客，其余的檢票口通過原來的旅客，需要60（7-2）=12（分）。9.一個水池裝一個進(jìn)水管和三個同樣的出水管。先打開進(jìn)水管，等水池存了一些水后，再打開出水管。如果同時打開2個出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時打開3個出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？答案40分分析與解：如圖：設(shè)1個出水管1分鐘排出的水為1份。則每分鐘進(jìn)水

13、量 答：出水管比進(jìn)水管晚開40分鐘。模擬練習(xí)4：1.（學(xué)區(qū)選拔賽題10）如左下圖，由邊長為1cm的正六邊形排成一長條形鏈子。其中每個黑色六邊形與6個白色六邊形相鄰。若鏈子上有366個白色六邊形，則此鏈子有（ ）個黑色六邊形。答案91個分析與解：根據(jù)圖形分析可得規(guī)律：每增加一個黑色六邊形，則需增加4個白色六邊形，即可得若鏈子上有n個黑色六邊形，則此鏈子共有2+4n個白色六邊形。根據(jù)題意分析反思考可得：其中左邊第一個黑色六邊形與6個白色六邊形相鄰即每增加一個黑色六邊形，則需增加4：若鏈子上有366個白色六邊形，則鏈子共有黑色六邊形（366-2）4=91個。點(diǎn)評：此題考查了平面圖形，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀

14、察能力和空間想象能力。解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律：多一個黑色六邊形，多4個白色六邊形。 2.（學(xué)區(qū)選拔賽題14）如右上圖，是由相同長度小棒搭成的三角形圖形，圖1的三角形邊長是由一根小棒構(gòu)成，圖2的三角形邊長是由二根小棒構(gòu)成，圖3的三角形邊長是由三根小棒構(gòu)成，問當(dāng)三角形的邊長由15根小棒構(gòu)成時的圖形共需小棒（ ）根。答案360根分析與解：根據(jù)圖形分析可得規(guī)律：邊長是1根小棒的三角形根數(shù)是13=3（根），邊長是2根小棒的三角形根數(shù)是（1+2）3=9（根），邊長是3根小棒的三角形根數(shù)是（1+2+3）3=18（根），可得若邊長是n根小棒的三角形根數(shù)是（1+2+3+n）3=（1+n）n23（根），則邊長是15

15、根小棒的三角形根數(shù)是（1+15）1523=360（根）。3.將長為30厘米，寬為10厘米的長方形白紙，按如下中圖的方法粘貼起來，粘貼部分的寬為3厘米，求20張白紙粘貼后的總面積是多少？答案5430平方厘米分析與解：根據(jù)圖形分析可得規(guī)律：最后一張白紙最右邊除去3cm后，從每張左起到粘貼處左邊長各為27cm，則20張白紙粘貼后的長為（303）203543（cm），所以面積為543105430（平方厘米）。 4.左上圖是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的，求它的表面積。答案48平方厘米分析與解：如果一面一面去數(shù)，那么雖然可以得到答案，但太麻煩，而且容易出錯。仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，這個立體的上面與下面、左

16、面與右面、前面與后面的面積分別相等。則如上圖所示，可求得表面積為（978）2=48（厘米2）。5.有30個邊長為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色。求被涂成紅色的表面積。答案56平方厘米分析與解：方法同題4，可求得表面積為（1010）216=56（厘米2）6.用四條直線最多能將一個圓分成幾塊？用100條直線呢？答案11塊，5051塊分析與解：4條直線時，我們可以試著畫，100條直線就不可能再畫了，所以必須尋找到規(guī)律。如下圖所示，一個圓是1塊；1條直線將圓分為2塊，即增加了1塊；2條直線時，當(dāng)2條直線不相交時，增加了1塊，當(dāng)2條直線相交時，增加了2塊。由此看出，要想

17、分成的塊盡量多，應(yīng)當(dāng)使后畫的直線盡量與前面已畫的直線相交。再畫第3條直線時，應(yīng)當(dāng)與前面2條直線都相交，這樣又增加了3塊（見左下圖）；畫第4條直線時，應(yīng)當(dāng)與前面3條直線都相交，這樣又增加了4塊（見右下圖）。所以4條直線最多將一個圓分成11234=11（塊）。由上面的分析可以看出，畫第n條直線時應(yīng)當(dāng)與前面已畫的（n1）條直線都相交，此時將增加n塊。因?yàn)橐婚_始的圓算1塊，所以n條直線最多將圓分成1（123n）=1n（n+1）2（塊）。當(dāng)n=100時，可分成1100（1001）2=5051（塊）。模擬練習(xí)5：1.1，2，3，4，5，6號六名運(yùn)動員進(jìn)行乒乓球單打循環(huán)賽。到現(xiàn)在為止，1，2，3，4，5號運(yùn)

18、動員已參加比賽的場數(shù)正好等于他們的編號數(shù)。問：6號運(yùn)動員已經(jīng)賽了幾場？答案3場2.有A、B、C、D、E、F6個人參加會議，見面時每兩個人都要握一次手。現(xiàn)知道A握了5次，B握了4次，C握了3次，D握了2次，E握了1次，請問F握了幾次？答案3場3.有A、B、C、D、E五支球隊(duì)，每兩隊(duì)之間都要賽一場。至今為止，A、D賽了4場，B、C賽了3場。請問：E賽了幾場？答案2場或4場函數(shù)與方程思想模擬練習(xí)1：1.某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米3，灰磚30米3，那么，紅磚缺40米3，灰磚剩40米3。問：計劃修建住宅多少座？答案6座分析與解：用直

19、接設(shè)元法。設(shè)計劃修建住宅x座，則紅磚有（80x-40）米3，灰磚有（30x+40）米3。根據(jù)紅磚量是灰磚量的2倍，列出方程80x-40=（30x+40）2，x=6（座）?；蛴瞄g接設(shè)元法。設(shè)有灰磚x米3，則紅磚有2x米3。根據(jù)修建住宅的座數(shù)，列出方程。（x-40）80=（2x+40）30，x=220（米3）。由灰磚有220米3，推知修建住宅（220-40）30=6（座）。同理，也可設(shè)有紅磚x米3。50個。2.教室里有若干學(xué)生，走了10個女生后，男生是女生人數(shù)的2倍，又走了9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍。問：最初有多少個女生？答案15個分析與解：設(shè)最初有x個女生，則男生最初有（x-10）2個。根

20、據(jù)走了10個女生、9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍，可列方程x-10=（x-10）2-95，x=15（個）。3.甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行李的重量都超過了可免費(fèi)攜帶行李的重量，需另付行李費(fèi)，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一個人帶150千克的行李，除免費(fèi)部分外，應(yīng)另付行李費(fèi)8元。求每人可免費(fèi)攜帶的行李重量。答案30千克分析與解：設(shè)每人可免費(fèi)攜帶x千克行李。一方面，三人可免費(fèi)攜帶3x千克行李，三人攜帶150千克行李超重（150-3x）千克，超重行李每千克應(yīng)付4（150-3x）元；另一方面，一人攜帶150千克行李超重（150-x）千克，超重行李每千克應(yīng)付8（150-x

21、）元。根據(jù)超重行李每千克應(yīng)付的錢數(shù)，可列方程4（150-3x）=8（150-x），x=30（千克）。4.大、小兩個水池都未注滿水。若從小池抽水將大池注滿，則小池還剩5噸水；若從大池抽水將小池注滿，則大池還剩30噸水。已知大池容積是小池的1.5倍，問：兩池中共有多少噸水？ 答案80噸分析與解：設(shè)小池注滿水為x噸，則大池注滿水為1.5x噸。由兩池共有水量，可列方程1.5x+5=x+30。解得x=50。兩池共有水50+30=80（噸）。5.一群小朋友去春游，男孩每人戴一頂黃帽，女孩每人戴一頂紅帽。在每個男孩看來，黃帽子比紅帽子多5頂；在每個女孩看來，黃帽子是紅帽子的2倍。問：男孩、女孩各有多少人？1

22、4個男孩，8個女孩。答案14個男孩，8個女孩分析與解：設(shè)有x個男孩。因?yàn)槊總€人看不到自己的帽子，根據(jù)男孩看的情況，有女孩（x-5-1）個。再根據(jù)女孩看的情況，可列方程x=（x-5-l）-12。得x=14。6.教室里有若干學(xué)生，走了10個女生后，男生人數(shù)是女生的1.5倍，又走了10個女生后，男生人數(shù)是女生的4倍。問：教室里原有多少個學(xué)生？答案50人分析與解：設(shè)原有女生x個。根據(jù)男生人數(shù)可列方程（x-10）1.5=（x-20）4。解得x=26。男生有（26-20）4=24（個），共有學(xué)生26+24=50（個）。7.一位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)剩下的羊中，公羊與

23、母羊的只數(shù)比是97；過了一會跑走的公羊又回到了羊群，卻又跑走了一只母羊，牧羊人又?jǐn)?shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)公羊與母羊的只數(shù)比是75。這群羊原來有多少只？答案49只分析與解：設(shè)這群羊原有x只。由原有公羊只數(shù)可得方程模擬練習(xí)2：1 求不定方程5x+3y=68的所有整數(shù)解。答案分析與解：容易看出，當(dāng)y=1時，x=（68-31）5=13，即x=13，y=1是一個解。因?yàn)閤=13，y=1是一個解，當(dāng)x減小3，y增大5時，5x減少15，3y增大15，方程仍然成立，所以對于x=13，y=1，x每減小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整數(shù)解有5個：只要找到不定方程的一個解，其余解可通過對這個解的加、減一定數(shù)值得到

24、。限于我們學(xué)到的知識，尋找第一個解的方法更多的要依賴“拼湊”。2用100元錢去買3元一個和7元一個的兩種商品，錢正好用完，共有幾種買法？答案5種分析與解：容易看出，各買10個是一種買法。7個3元的商品可以換3個7元的商品，可得下面的5種買法：。3五年級一班的43名同學(xué)去劃船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少條？答案4條大船，3條小船分析與解：設(shè)大船x條，小船y條。可列方程7x+5y=43，由x、y一奇一偶易得x=4，y=3。模擬練習(xí)3：1.有一個兩位數(shù)，把數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)之和是970。求原來的兩位數(shù)。答案79分析

25、與解：設(shè)原來的兩位數(shù)為x，則（100+x）+（10x+1）=970。得x=79。2.有一個三位數(shù)，將數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個四位數(shù)，將數(shù)碼3加在它的后面也可以得到一個四位數(shù)，這兩個四位數(shù)之差是2351，求原來的三位數(shù)。答案372分析與解：設(shè)原來的三位數(shù)為x，則（10x+3）-（1000+x）=2351。解得x=372。3.一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的5倍比原數(shù)大6，求這個兩位數(shù)。答案24或69分析與解：設(shè)這個兩位數(shù)為，則有（a+b）5-（10a+b）=6，4b-5a=6。當(dāng)b=4，a=2或b=9，a=6時，4b-5a=6成立，所以這個兩位數(shù)是24或69。4.一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的6倍比原數(shù)小9，求這個兩位數(shù)。答案63分析與解：設(shè)這個兩位數(shù)為，則有（10a+b）-（a+b）6=9，得4a-5b=9。則a=6，b=3，所求兩位數(shù)為63。5.一個三位數(shù)，抹去它的首位數(shù)之后剩下的兩