第六節(jié)(直接證明與間接證明

1、第六節(jié)直接證明和間接證明知識(shí)能否憶起一、 直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч?順推證法)執(zhí)果索因框圖表示文字語(yǔ)言因?yàn)樗曰蛴傻靡C只需證即證二、間接證明反證法：假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法小題能否全取1(教材習(xí)題改編)用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角

2、至少有一個(gè)不大于60”時(shí)，應(yīng)假設(shè)()A三個(gè)內(nèi)角都不大于60B三個(gè)內(nèi)角都大于60C三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60D三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60解析：選B假設(shè)為“三個(gè)內(nèi)角都大于60”2設(shè)alg 2lg 5，bex(x0)，則a與b大小關(guān)系為()AabBabCab Dab解析：選Aalg 2lg 5lg 101，bex1，則ab.3命題“對(duì)于任意角，cos4sin4cos 2”的證明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”過程應(yīng)用了()A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合使用 D間接證明法解析：選B因?yàn)樽C明過程是“從左往右”，即由條件結(jié)論4用反證法證明命題“

3、如果ab，那么”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是_解析：“如果ab，那么”若用反證法證明，其假設(shè)為 .答案： 5如果abab，則a、b應(yīng)滿足的條件是_解析：abab()2()0a0，b0且ab.答案：a0，b0且ab1.證明方法的合理選擇(1)當(dāng)題目條件較多，且都很明確時(shí)，由因?qū)Ч^容易，一般用綜合法(2)當(dāng)題目條件較少 ，可逆向思考時(shí)，執(zhí)果索因，使用分析法解決但在證明過程中，注意文字語(yǔ)言的準(zhǔn)確表述2使用反證法的注意點(diǎn)(1)用反證法證明問題的第一步是“反設(shè)”，這一步一定要準(zhǔn)確，否則后面的部分毫無(wú)意義；(2)應(yīng)用反證法證明問題時(shí)必須導(dǎo)出矛盾綜合法典題導(dǎo)入例1(2011大綱全國(guó)卷)設(shè)數(shù)列an滿足a10且1.(1)

4、求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，記Snk，證明：Sn1.自主解答(1)由題設(shè)1，得是公差為1的等差數(shù)列又1，故n.所以an1.(2)證明：由(1)得bn，Snk1bc，且abc0，求證0Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析：選Cab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.6不相等的三個(gè)正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，并且x是a，b的等比中項(xiàng)，y是b，c的等比中項(xiàng)，則x2，b2，y2三數(shù)()A成等比數(shù)列而非等差數(shù)列B成等差數(shù)列而非等比數(shù)列C既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列解析：選B由已知條件，

5、可得由得代入，得2b，即x2y22b2.故x2，b2，y2成等差數(shù)列7設(shè)a2，b2，則a，b的大小關(guān)系為_解析：a2，b2兩式的兩邊分別平方，可得a2114，b2114，顯然，.ab.答案：ab8(2012黃岡質(zhì)檢)在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到A為鈍角的結(jié)論，則三邊a，b，c應(yīng)滿足_解析：由余弦定理cos A0，所以b2c2a20，即a2b2c2.答案：a2b2c29(2012肇慶模擬)已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點(diǎn)，其中nN*，設(shè)cnanbn，則cn與cn1的大小關(guān)系為_解析：由條件得cnanbnn，cn隨n的增大而減小cn1cn.答

6、案：cn1cn10若abcd0且adbc，求證：.證明：要證，只需證()2()2，即ad2bc2，因adbc，只需證，即adbc，設(shè)adbct，則adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，故adbc成立，從而成立11求證：a，b，c為正實(shí)數(shù)的充要條件是abc0，且abbcca0和abc0.證明：必要性(直接證法)：a，b，c為正實(shí)數(shù)，abc0，abbcca0，abc0，因此必要性成立充分性(反證法)：假設(shè)a，b，c是不全為正的實(shí)數(shù)，由于abc0，則它們只能是兩負(fù)一正，不妨設(shè)a0，b0，c0.又abbcca0，a(bc)bc0，且bc0，a(bc)0.又a0，bc0.abc0這與abc0

7、相矛盾故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a，b，c均為正實(shí)數(shù)12設(shè)f(x)ex1.當(dāng)aln 21且x0時(shí)，證明：f(x)x22ax.證明：欲證f(x) x22ax，即ex1 x22ax，也就是exx22ax10.可令u(x)exx22ax1，則u(x)ex2x2a.令h(x)ex2x2a，則h(x)ex2.當(dāng)x(，ln 2)時(shí)，h(x)0，函數(shù)h(x)在(，ln 2上單調(diào)遞減，當(dāng)x(ln 2，)時(shí)，h(x)0，函數(shù)h(x)在ln 2，)上單調(diào)遞增所以h(x)的最小值為h(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.因?yàn)閍ln 21，所以h(ln 2) 22ln 22(ln 21)0，即h(l

8、n 2)0.所以u(píng)(x)h(x)0，即u(x)在R上為增函數(shù)故u(x)在(0，)上為增函數(shù)所以u(píng)(x)u(0)而u(0)0，所以u(píng)(x)exx22ax10.即當(dāng)aln 21且x0時(shí)，f(x)x22ax.1已知函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意的x1，x2D(x1x2)，都有f，則稱yf(x)為D上的凹函數(shù)由此可得下列函數(shù)中的凹函數(shù)為()Aylog2x ByCyx2 Dyx3解析：選C可以根據(jù)圖象直觀觀察；對(duì)于C證明如下：欲證f，即證2.即證(x1x2)20.顯然成立故原不等式得證2(2012邯鄲模擬)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：

9、“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是_(填序號(hào))解析：若a，b，則ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，則ab1，故推不出；對(duì)于，即ab2，則a，b中至少有一個(gè)大于1，反證法：假設(shè)a1且b1，則ab2與ab2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1.答案：3已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)若f(c)0，且0xc時(shí)，f(x)0.(1)證明：是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)；(2)試比較與c的大小解：(1)證明：f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(x)0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2.f(c)0，x1c是f(x)0的根又x1x2，x2，是f(x)0的一個(gè)

10、根即是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)(2)假設(shè)c，0，由0xc時(shí)，f(x)0，知f0，這與f0矛盾，c.又c，c.1已知非零向量a，b且ab，求證：.證明：abab0，要證，只需證|a|b|ab|，只需證|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需證|a|22|a|b|b|22a22b2，只需證|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，上式顯然成立，故原不等式得證2已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點(diǎn)(，an1)(nN*)在函數(shù)yx21的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足b11，bn1bn2an，求證：bnbn2b.解：(1)由已知得an1an1，則an1an1，又a11，所