2004考研數(shù)學(xué)試題詳細(xì)解析--1new

1、1 2004 年數(shù)學(xué)一試題分析、詳解和評(píng)注年數(shù)學(xué)一試題分析、詳解和評(píng)注 一、填空題填空題（本題共 6 小題，每小題 4 分，滿(mǎn)分 24 分. 把答案填在題中橫線(xiàn)上） （1）曲線(xiàn) y=lnx 上與直線(xiàn)垂直的切線(xiàn)方程為 .1 yx1 xy 【分析分析】 本題為基礎(chǔ)題型，相當(dāng)于已知切線(xiàn)的斜率為 1，由曲線(xiàn) y=lnx 的導(dǎo)數(shù)為 1 可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)。 【詳解詳解】 由，得 x=1, 可見(jiàn)切點(diǎn)為，于是所求的切線(xiàn)方程為1 1 )(ln x xy)0 , 1 ( ， 即 .) 1(10 xy1 xy 【評(píng)注評(píng)注】 本題也可先設(shè)切點(diǎn)為，曲線(xiàn) y=lnx 過(guò)此切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，得，)ln,( 00 xx1 1 0

2、 0 x y xx 1 0 x 由此可知所求切線(xiàn)方程為， 即 .) 1(10 xy1 xy 本題比較簡(jiǎn)單，類(lèi)似例題在一般教科書(shū)上均可找到本題比較簡(jiǎn)單，類(lèi)似例題在一般教科書(shū)上均可找到. （2）已知，且 f(1)=0, 則 f(x)= . xx xeef )( 2 )(ln 2 1 x 【分析分析】 先求出的表達(dá)式，再積分即可。)(x f 【詳解詳解】 令，則，于是有te x txln ， 即 t t tf ln )(. ln )( x x xf 積分得 . 利用初始條件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函數(shù)為 f(x)= .Cxdx x x xf 2 )(ln 2 1ln )( 2 )(ln

3、2 1 x 【評(píng)注評(píng)注】 本題屬基礎(chǔ)題型，已知導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)一般用不定積分。 完全類(lèi)似的例題見(jiàn)完全類(lèi)似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P89 第第 8 題題, P90 第第 11 題題. （3）設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線(xiàn)積分的值為 .L2 22 yx L ydxxdy2 2 3 【分析分析】 利用極坐標(biāo)將曲線(xiàn)用參數(shù)方程表示，相應(yīng)曲線(xiàn)積分可化為定積分。 【詳解詳解】 正向圓周在第一象限中的部分，可表示為2 22 yx . 2 0: ,sin2 ,cos2 y x 于是 dydxxdy L sin2sin22cos2cos22 2 0 =. 2 3 sin2 2 0 2 d 【評(píng)注評(píng)注

4、】 本題也可添加直線(xiàn)段，使之成為封閉曲線(xiàn)，然后用格林公式計(jì)算，而在添加的線(xiàn)段上用參數(shù)法 化為定積分計(jì)算即可. 完全類(lèi)似例題見(jiàn)完全類(lèi)似例題見(jiàn)數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P143 例例 10.11， 考研數(shù)學(xué)大串講考研數(shù)學(xué)大串講P122 例例 5、例、例 7 . 2 （4）歐拉方程的通解為 .)0(024 2 2 2 xy dx dy x dx yd x 2 21 x c x c y 【分析分析】 歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換化為常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程即可。 t ex 【詳解詳解】 令，則 ， t ex dt dy xdt dy e dx dt dt dy dx dy t

5、1 ， 111 2 2 22 2 22 2 dt dy dt yd xdx dt dt yd xdt dy xdx yd 代入原方程，整理得 ，023 2 2 y dt dy dt yd 解此方程，得通解為 . 2 212 21 x c x c ececy tt 【評(píng)注評(píng)注】 本題屬基礎(chǔ)題型，也可直接套用公式，令，則歐拉方程 t ex ，)( 2 2 2 xfcy dx dy bx dx yd ax 可化為 ).( 2 2 t efcy dt dy b dt dy dt yd a 完全類(lèi)似的例題見(jiàn)完全類(lèi)似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P171 例例 6.19, 數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集數(shù)學(xué)題型

6、集粹與練習(xí)題集P342 第六題第六題.， 考研數(shù)考研數(shù) 學(xué)大串講學(xué)大串講P75 例例 12. （5）設(shè)矩陣，矩陣 B 滿(mǎn)足，其中為 A 的伴隨矩陣，E 是單位矩 100 021 012 AEBAABA * 2 * A 陣，則 .B 9 1 【分析分析】 可先用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)EAAA * 【詳解詳解】 已知等式兩邊同時(shí)右乘 A，得 ， 而，于是有AABAAABA * 23A ， 即 ，ABAB 63ABEA)63( 再兩邊取行列式，有 ，363ABEA 而 ，故所求行列式為2763 EA. 9 1 B 【評(píng)注評(píng)注】 先化簡(jiǎn)再計(jì)算是此類(lèi)問(wèn)題求解的特點(diǎn)，而題設(shè)含有伴隨矩陣，一般均應(yīng)先利用公式 * A

7、進(jìn)行化簡(jiǎn)。EAAAAA * 3 完全類(lèi)似例題見(jiàn)完全類(lèi)似例題見(jiàn)數(shù)學(xué)最后沖刺數(shù)學(xué)最后沖刺P107 例例 2，P118 例例 9 （6）設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= .DXXP e 1 【分析分析】 已知連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布，求其滿(mǎn)足一定條件的概率，轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算即可。 【詳解詳解】 由題設(shè)，知，于是 2 1 DX =DXXPdxeXP x 1 1 =. 1 1 e e x 【評(píng)注評(píng)注】 本題應(yīng)記住常見(jiàn)指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應(yīng)在考試時(shí)再去推算。 完全類(lèi)似例題見(jiàn)完全類(lèi)似例題見(jiàn)數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)P35 第第 5 題題. 二、選擇題二、選擇題（本題共 8 小

8、題，每小題 4 分，滿(mǎn)分 32 分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求， 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)） （7）把時(shí)的無(wú)窮小量，使排在后面的是前一 0 xdttdttdtt xxx 0 3 00 2 sin,tan,cos 2 個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是 (A) . (B) . (C) . (D) . B , 【分析分析】 先兩兩進(jìn)行比較，再排出次序即可. 【詳解詳解】 ，可排除(C),(D)選項(xiàng)，0 cos 2tan lim cos tan limlim 2 0 0 2 0 00 2 x xx dtt dtt x x x xx 又 xx x x dtt dtt x x

9、 x xx tan2 2 1 sin lim tan sin limlim 2 3 0 0 0 3 00 2 =，可見(jiàn)是比低階的無(wú)窮小量，故應(yīng)選(B). 2 0 lim 4 1 x x x 【評(píng)注評(píng)注】 本題是無(wú)窮小量的比較問(wèn)題，也可先將分別與進(jìn)行比較，再確定相互的高低次序., n x 完全類(lèi)似例題見(jiàn)完全類(lèi)似例題見(jiàn)數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)P28 第第 9 題題. （8）設(shè)函數(shù) f(x)連續(xù)，且則存在，使得, 0)0( f 0 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.) 0 , ( (C) 對(duì)任意的有 f(x)f(0) . (D) 對(duì)任意的有 f(x)f(0) .

10、C ), 0(x) 0 , (x 【分析分析】 函數(shù) f(x)只在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，因此可排除(A),(B)選項(xiàng)，再利用導(dǎo) 數(shù)的定義及極限的保號(hào)性進(jìn)行分析即可。 【詳解詳解】 由導(dǎo)數(shù)的定義，知 4 ，0 )0()( lim)0( 0 x fxf f x 根據(jù)保號(hào)性，知存在，當(dāng)時(shí)，有0), 0() 0 , (x 0 )0()( x fxf 即當(dāng)時(shí)，f(x)f(0). 故應(yīng)選(C).) 0 , (x), 0(x 【評(píng)注評(píng)注】 題設(shè)函數(shù)一點(diǎn)可導(dǎo)，一般均應(yīng)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行討論。 完全類(lèi)似例題見(jiàn)完全類(lèi)似例題見(jiàn)數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)P28 第第 10 題題. （9）設(shè)為正

11、項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 1n n a (A) 若=0，則級(jí)數(shù)收斂. n n na lim 1n n a （B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級(jí)數(shù)發(fā)散. n n nalim 1n n a (C) 若級(jí)數(shù)收斂，則. 1n n a0lim 2 n n an (D)若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. B 1n n a n n nalim 【分析分析】 對(duì)于斂散性的判定問(wèn)題，若不便直接推證，往往可用反例通過(guò)排除法找到正確選項(xiàng). 【詳解詳解】 取，則=0，但發(fā)散，排除(A)，(D)； nn an ln 1 n n na lim 11 ln 1 nn n nn a 又取，則級(jí)數(shù)收斂，但，排除(C), 故應(yīng)

12、選(B). nn an 1 1n n a n n an2lim 【評(píng)注評(píng)注】 本題也可用比較判別法的極限形式， ，而級(jí)數(shù)發(fā)散，因此級(jí)數(shù)也發(fā)散，故應(yīng)選(B).0 1 limlim n a na n n n n 1 1 n n 1n n a 完全類(lèi)似的例題見(jiàn)完全類(lèi)似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P213 例例 8.13. （10）設(shè) f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 tt y dxxfdytF 1 )()()2( F (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析分析】 先求導(dǎo)，再代入 t=2 求即可。關(guān)鍵是求導(dǎo)前應(yīng)先交換積分次序，使得被積函數(shù)中不含有)2( F

13、 變量 t. 【詳解詳解】 交換積分次序，得 5 = tt y dxxfdytF 1 )()( txt dxxxfdxdyxf 111 ) 1)()( 于是，從而有 ，故應(yīng)選(B).) 1)()(ttftF)2()2(fF 【評(píng)注評(píng)注】 在應(yīng)用變限的積分對(duì)變量 x 求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意被積函數(shù)中不能含有變量 x: )( )( )()()()()( xb xa xaxafxbxbfdttf 否則，應(yīng)先通過(guò)恒等變形、變量代換和交換積分次序等將被積函數(shù)中的變量 x 換到積分號(hào)外或積分線(xiàn)上。 完全類(lèi)似例題見(jiàn)完全類(lèi)似例題見(jiàn)數(shù)學(xué)最后沖刺數(shù)學(xué)最后沖刺P184 例例 12，先交換積分次序再求導(dǎo)，先交換積分次序再求導(dǎo)

14、. （11）設(shè) A 是 3 階方陣，將 A 的第 1 列與第 2 列交換得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 則滿(mǎn)足 AQ=C 的可逆矩陣 Q 為 (A) . (B) . (C) . (D) . 101 001 010 100 101 010 110 001 010 100 001 110 D 【分析分析】 本題考查初等矩陣的的概念與性質(zhì)，對(duì) A 作兩次初等列變換，相當(dāng)于右乘兩個(gè)相應(yīng)的初等矩陣， 而 Q 即為此兩個(gè)初等矩陣的乘積。 【詳解詳解】由題設(shè)，有 ， ，BA 100 001 010 CB 100 110 001 于是， . 100 001 110 100 110 001

15、 100 001 010 CAA 可見(jiàn)，應(yīng)選(D). 【評(píng)注評(píng)注】 涉及到初等變換的問(wèn)題，應(yīng)掌握初等矩陣的定義、初等矩陣的性質(zhì)以及與初等變換的關(guān)系。 完全類(lèi)似例題見(jiàn)完全類(lèi)似例題見(jiàn)數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P196 例例 2.2 （12）設(shè) A,B 為滿(mǎn)足 AB=O 的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有 (A)A 的列向量組線(xiàn)性相關(guān)，B 的行向量組線(xiàn)性相關(guān). (B)A 的列向量組線(xiàn)性相關(guān)，B 的列向量組線(xiàn)性相關(guān). (C)A 的行向量組線(xiàn)性相關(guān)，B 的行向量組線(xiàn)性相關(guān). (D) A 的行向量組線(xiàn)性相關(guān)，B 的列向量組線(xiàn)性相關(guān). A 【分析分析】A,B 的行列向量組是否線(xiàn)性相關(guān)，可從 A,B

16、 是否行（或列）滿(mǎn)秩或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解 進(jìn)行分析討論. 【詳解詳解 1】 設(shè) A 為矩陣，B 為矩陣，則由 AB=O 知，nmsn . nBrAr)()( 又 A,B 為非零矩陣，必有 r(A)0,r(B)0. 可見(jiàn) r(A)n, r(B)e 時(shí)， 所以單調(diào)減少，從而，即, 0)( t )(t)()( 2 e ， 22 2 2lnln ee e 故 .)( 4 lnln 2 22 ab e ab 【證法證法 2】 設(shè)，則x e xx 2 2 4 ln)( ， 2 4ln 2)( ex x x , 2 ln1 2)( x x x 所以當(dāng) xe 時(shí)， 故單調(diào)減少，從而當(dāng)時(shí)，, 0

17、)( x )(x 2 exe ，0 44 )()( 22 2 ee ex 即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加. 2 exe)(x 8 因此當(dāng)時(shí)， 2 exe)()(ab 即 ，a e ab e b 2 2 2 2 4 ln 4 ln 故 .)( 4 lnln 2 22 ab e ab 【評(píng)注評(píng)注】 本題也可設(shè)輔助函數(shù)為或 2 2 22 ),( 4 lnln)(exaeax e axx ，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可。 2 2 22 ),( 4 lnln)(ebxexb e xbx 完全類(lèi)似的例題見(jiàn)完全類(lèi)似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P347 例例 13.31 及及 P344 的的解題提示解題提示, 考研數(shù)學(xué)大串講

18、考研數(shù)學(xué)大串講P65 例例 13. （16） （本題滿(mǎn)分（本題滿(mǎn)分 11 分）分） 某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘，以增大阻力，使飛 機(jī)迅速減速并停下. 現(xiàn)有一質(zhì)量為 9000kg 的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為 700km/h. 經(jīng)測(cè)試，減速傘打開(kāi)后，飛機(jī)所受的總阻 力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為 問(wèn)從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少？).100 . 6 6 k 注注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小時(shí). 【分析分析】 本題是標(biāo)準(zhǔn)的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可。 【詳解詳解 1】 由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量 m=9000kg，著陸

19、時(shí)的水平速度. 從飛機(jī)接觸跑道開(kāi)始hkmv/700 0 記時(shí)，設(shè) t 時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為 x(t)，速度為 v(t). 根據(jù)牛頓第二定律，得 .kv dt dv m 又 ， dx dv v dt dx dx dv dt dv 由以上兩式得 ，dv k m dx 積分得 由于，故得，從而.)(Cv k m tx0)0(,)0( 0 xvv 0 v k m C ).()( 0 tvv k m tx 當(dāng)時(shí)， 0)(tv).(05 . 1 100 . 6 7009000 )( 6 0 km k mv tx 所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為 1.05km. 【詳解詳解 2】 根據(jù)牛頓第二定律，得 ,kv d

20、t dv m 所以 .dt m k v dv 兩端積分得通解，代入初始條件解得， t m k Cev 0 0 vv t 0 vC 故 .)( 0 t m k evtv 9 飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為 ).(05 . 1 )( 0 0 0 0 km k mv e k mv dttvx t m k 或由，知，故最長(zhǎng)距離為當(dāng)時(shí)， t m k ev dt dx 0 ) 1()( 0 0 0 t m k tt m k e m kv dtevtxt ).(05 . 1 )( 0 km m kv tx 【詳解詳解 3】 根據(jù)牛頓第二定律，得 , dt dx k dt xd m 2 2 ，0 2 2 dt dx m

21、 k dt xd 其特征方程為 ，解之得，0 2 m k m k 21 , 0 故 . 21 t m k eCCx 由 ， 0 0 2 000 , 0ve m kC dt dx vx t t m k ttt 得 于是 , 0 21 k mv CC).1 ()( 0 t m k e k mv tx 當(dāng)時(shí)，t).(05 . 1 )( 0 km k mv tx 所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為 1.05km. 【評(píng)注評(píng)注】 本題求飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離，可理解為或的極限值，這種條件應(yīng)引起注意.t0)(tv 完全類(lèi)似的例題見(jiàn)完全類(lèi)似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)最后沖刺數(shù)學(xué)最后沖刺P98-99 例例 10-11. （17） （本

22、題滿(mǎn)分（本題滿(mǎn)分 12 分）分） 計(jì)算曲面積分 ,) 1(322 233 dxdyzdzdxydydzxI 其中是曲面的上側(cè).)0(1 22 zyxz 【分析分析】 先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應(yīng)用高斯公式求解，而在添加的曲面上應(yīng)用直接 投影法求解即可. 【詳解詳解】 取為 xoy 平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域， 1 1 22 yx 1 則 dxdyzdzdxydydzxI 1 ) 1(322 233 10 .) 1(322 1 233 dxdyzdzdxydydzx 由高斯公式知 dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx )(6) 1(322 222

23、33 1 =rdzrzdrd r )(6 2 0 1 0 1 0 2 2 =.2)1 ()1 ( 2 1 12 2322 1 0 drrrrr 而 ， 1 233 22 1 33) 1(322 yx dxdydxdyzdzdxydydzx 故 .32I 【評(píng)注評(píng)注】 本題選擇時(shí)應(yīng)注意其側(cè)與圍成封閉曲面后同為外側(cè)（或內(nèi)側(cè)） ，再就是在上直接投影 1 1 積分時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)(取下側(cè)，與 z 軸正向相反，所以取負(fù)號(hào)). 1 完全類(lèi)似的例題見(jiàn)完全類(lèi)似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P325 例例 12.21， 數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P148 例例 10.17（2）, 數(shù)學(xué)一臨考演

24、習(xí)數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)P38 第第 19 題題. （18） （本題滿(mǎn)分（本題滿(mǎn)分 11 分）分） 設(shè)有方程，其中 n 為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實(shí)根，并證明當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)01 nxxn n x1 收斂. 1n n x 【分析分析】 利用介值定理證明存在性，利用單調(diào)性證明惟一性。而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可用比較法判定。 【證證】 記 由，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，方 . 1 )(nxxxf n n 01)0( n f0) 1 ( nfn 程存在正實(shí)數(shù)根01 nxxn).1 , 0( n x 當(dāng) x0 時(shí)，可見(jiàn)在上單調(diào)增加, 故方程存在惟一正0)( 1 nnxxf n n )(xfn), 0 01 nxxn

25、實(shí)數(shù)根. n x 由與知01 nxxn0 n x ，故當(dāng)時(shí)，. nn x x n n n 11 0 1 ) 1 (0 n xn 而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂. 1 1 n n 1 1n n x 【評(píng)注評(píng)注】 本題綜合考查了介值定理和無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性，題型設(shè)計(jì)比較新穎，但難度并不大，只要基本 概念清楚，應(yīng)該可以輕松求證。 完全類(lèi)似例題見(jiàn)完全類(lèi)似例題見(jiàn)數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P91 例例 6.15(有關(guān)根的存在性與惟一性證明有關(guān)根的存在性與惟一性證明), 收斂性證明用收斂性證明用 比較法很簡(jiǎn)單比較法很簡(jiǎn)單. 11 （19） （本題滿(mǎn)分（本題滿(mǎn)分 12 分）分） 設(shè) z=z

26、(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值.0182106 222 zyzyxyx),(yxzz 【分析分析】 可能極值點(diǎn)是兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，先求出一階偏導(dǎo)，再令其為零確定極值點(diǎn)即可，然后 用二階偏導(dǎo)確定是極大值還是極小值，并求出相應(yīng)的極值. 【詳解詳解】 因?yàn)?，所以0182106 222 zyzyxyx ，02262 x z z x z yyx .0222206 y z z y z yzyx 令 得 0 , 0 y z x z , 0103 , 03 zyx yx 故 . ,3 yz yx 將上式代入，可得0182106 222 zyzyxyx 或 3 , 3 , 9 z y x .

27、 3 , 3 , 9 z y x 由于 ，02)(222 2 2 2 2 2 x z z x z x z y , 022226 22 yx z z x z y z yx z y x z ，02)(222220 2 2 2 2 2 y z z y z y z y y z y z 所以 ， 6 1 )3 , 3 , 9( 2 2 x z A 2 1 )3 , 3 , 9( 2 yx z B 3 5 )3 , 3 , 9( 2 2 y z C 故，又，從而點(diǎn)(9,3)是 z(x,y)的極小值點(diǎn)，極小值為 z(9,3)=3.0 36 1 2 BAC0 6 1 A 類(lèi)似地，由 ， 6 1 )3, 3,

28、9( 2 2 x z A 2 1 )3, 3, 9( 2 yx z B 3 5 )3, 3, 9( 2 2 y z C 可知，又，從而點(diǎn)(-9, -3)是 z(x,y)的極大值點(diǎn)，極大值為0 36 1 2 BAC0 6 1 A z(-9, -3)= -3. 【評(píng)注評(píng)注】 本題討論由方程所確定的隱函數(shù)求極值問(wèn)題，關(guān)鍵是求可能極值點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意 x,y,z 滿(mǎn)足原方程。 12 完全類(lèi)似的例題見(jiàn)完全類(lèi)似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P277 例例 10.31. （20） （本題滿(mǎn)分（本題滿(mǎn)分 9 分）分） 設(shè)有齊次線(xiàn)性方程組 )2( , 0)( , 02)2(2 , 0)1 ( 21 21 21 n

29、xannxnx xxax xxxa n n n 試問(wèn) a 取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解. 【分析分析】 本題是方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同的齊次線(xiàn)性方程組，可考慮對(duì)系數(shù)矩陣直接用初等行變 換化為階梯形，再討論其秩是否小于 n，進(jìn)而判斷是否有非零解；或直接計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式，根據(jù)題設(shè)行 列式的值必為零，由此對(duì)參數(shù) a 的可能取值進(jìn)行討論即可。 【詳解詳解 1】 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣 A 作初等行變換，有 . 00 002 1111 2222 1111 B ana aa a annnn a a A 當(dāng) a=0 時(shí)， r(A)=1n，故方程組有非零解，其同解方程組為 , 0 21 n x

30、xx 由此得基礎(chǔ)解系為 ,) 0 , , 0 , 1 , 1( 1 T ,) 0 , , 1 , 0 , 1( 2 T ,) 1 , 0 , 0 , 1(, 1 T n 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù)., 1111 nn kkx 11 , n kk 當(dāng)時(shí)，對(duì)矩陣 B 作初等行變換，有0a . 100 0012 000 2 ) 1( 100 0012 1111 n nn a n a B 可知時(shí)，故方程組也有非零解，其同解方程組為 2 ) 1( nn annAr1)( , 0 , 03 , 02 1 31 21 n xnx xx xx 由此得基礎(chǔ)解系為 ， T n), 2 , 1 ( 于是方程

31、組的通解為 ，其中 k 為任意常數(shù).kx 13 【詳解詳解 2】 方程組的系數(shù)行列式為 . 1 ) 2 ) 1( ( 2222 1111 n a nn a annnn a a A 當(dāng)，即 a=0 或時(shí)，方程組有非零解.0A 2 ) 1( nn a 當(dāng) a=0 時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣 A 作初等行變換，有 ， 00000 0000 1111 2222 1111 nnnn A 故方程組的同解方程組為 , 0 21 n xxx 由此得基礎(chǔ)解系為 ,) 0 , , 0 , 1 , 1( 1 T ,) 0 , , 1 , 0 , 1( 2 T ,) 1 , 0 , 0 , 1(, 1 T n 于是方程組的通解為

32、 其中為任意常數(shù)., 1111 nn kkx 11 , n kk 當(dāng)時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣 A 作初等行變換，有 2 ) 1( nn a ana aa a annnn a a A 00 002 1111 2222 1111 ， 100 0012 0000 100 0012 1111 nn a 故方程組的同解方程組為 , 0 , 03 , 02 1 31 21 n xnx xx xx 由此得基礎(chǔ)解系為 ， T n), 2 , 1 ( 于是方程組的通解為 ，其中 k 為任意常數(shù).kx 14 【評(píng)注評(píng)注】 矩陣 A 的行列式也可這樣計(jì)算：A =+，矩陣的特征 annnn a a A 2222 1111 aE

33、 nnnn 2222 1111 nnnn 2222 1111 值為，從而 A 的特征值為 a,a, 故行列式 2 ) 1( , 0 , 0 nn 2 ) 1( , nn a.) 2 ) 1( ( 1 n a nn aA 類(lèi)似例題見(jiàn)類(lèi)似例題見(jiàn)數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P228 例例 4.4 和和 P234 例例 4.12. （21） （本題滿(mǎn)分（本題滿(mǎn)分 9 分）分） 設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求 a 的值，并討論 A 是否可相似對(duì)角化. 51 341 321 a A 【分析分析】 先求出 A 的特征值，再根據(jù)其二重根是否有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，確定 A 是否可相似對(duì) 角

34、化即可. 【詳解詳解】 A 的特征多項(xiàng)式為 51 341 0)2(2 51 341 321 aa AE =).3188)(2( 51 341 011 )2( 2 a a 當(dāng)是特征方程的二重根，則有 解得 a= -2.2, 03181622a 當(dāng) a= -2 時(shí)，A 的特征值為 2,2,6, 矩陣 2E-A=的秩為 1，故對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征 321 321 321 2 向量有兩個(gè)，從而 A 可相似對(duì)角化。 若不是特征方程的二重根，則為完全平方，從而 18+3a=16，解得 2a3188 2 . 3 2 a 當(dāng)時(shí)，A 的特征值為 2，4，4，矩陣 4E-A=秩為 2，故對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的 3 2

35、a 1 3 2 1 301 323 4 特征向量只有一個(gè)，從而 A 不可相似對(duì)角化。 【評(píng)注評(píng)注】 n 階矩陣 A 可對(duì)角化的充要條件是：對(duì)于 A 的任意重特征根，恒有 i k i .)( ii kAErn 而單根一定只有一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。 原題見(jiàn)原題見(jiàn)考研數(shù)學(xué)大串講考研數(shù)學(xué)大串講P224 例例 20.，完全類(lèi)似的例題還可參見(jiàn)，完全類(lèi)似的例題還可參見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P462 例例 5.12 及及解題解題 提示提示. 15 (22)（本題滿(mǎn)分（本題滿(mǎn)分 9 分）分） 設(shè) A,B 為隨機(jī)事件，且，令 2 1 )(, 3 1 )(, 4 1 )(BAPABPAP ; , , 0 , 1 不發(fā)生 發(fā)生 A A X . , , 0 , 1 不發(fā)生 發(fā)生 B B Y 求：（I）二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布； （II）X 和 Y 的相關(guān)系數(shù). XY 【分析分析】 先確定(X,Y)的可能取值，再求在每一個(gè)可能取值點(diǎn)上的概率，而這可利用隨機(jī)事件的運(yùn)算性質(zhì) 得到，即得二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；利用聯(lián)合概率分布可求出邊緣概率分布，進(jìn)而可計(jì)算出相關(guān)系數(shù)。 【詳解詳解】 （I） 由