數(shù)列的極限PPT課件.ppt

1、一、數(shù)列極限的定義,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),1.2 數(shù)列的極限,一、數(shù)列極限的定義,引例,如何用漸近的方法求圓的面積S？ 用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.,A1,A2,A3,A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正24邊形面積,An表示圓內(nèi)接正62n-1邊形面積, , .,得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積: A1， A2，An， 構(gòu)成一列有次序的數(shù),考慮當n時, An的變化趨勢 n越大,內(nèi)接正多邊形與圓的差別越小，從而把An作為圓面積的近似值也越精確. 無論n取多大,只要取定, An終究只是多邊形的面積,還不是圓的面積 當n無限增大時,即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增

2、加,在這個過程中,從圖形上看,內(nèi)接正多邊形將無限接近于圓;從數(shù)值上看,內(nèi)接正多邊形的面積無限接近于一個確定的數(shù)值,這個數(shù)值就是所要求的圓面積.,數(shù)列,如果按照某一法則, 對每一nN, 對應(yīng)著一個確定的實數(shù)xn, 則得到一個序列 x1, x2, x3, , xn , , 這一序列叫做數(shù)列, 記為xn, 其中第n項xn叫做數(shù)列的一般項.,數(shù)列舉例:,2, 4, 8, , 2n , ;,1, -1, 1, , (-1)n+1, .,數(shù)列xn可以看作數(shù)軸上的一個動點, 它依次取數(shù)軸上的點x1, x2, x3, , xn , .,數(shù)列的幾何意義,數(shù)列,如果按照某一法則, 對每一nN, 對應(yīng)著一個確定的實

3、數(shù)xn, 則得到一個序列 x1, x2, x3, , xn , , 這一序列叫做數(shù)列, 記為xn, 其中第n項xn叫做數(shù)列的一般項.,數(shù)列xn可以看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù): xn=f(n), nN .,數(shù)列與函數(shù),數(shù)列,如果按照某一法則, 對每一nN, 對應(yīng)著一個確定的實數(shù)xn, 則得到一個序列 x1, x2, x3, , xn , , 這一序列叫做數(shù)列, 記為xn, 其中第n項xn叫做數(shù)列的一般項.,下面以一個具體的例子來分析它的具體含義：,當n無限增大時, xn無限接近于常數(shù)a等價于n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù),數(shù)列極限的精確定義,設(shè)xn為一數(shù)列 如

4、果存在常數(shù)a 對于任意給定的正數(shù)e 總存在正整數(shù)N 使得當nN 時 不等式 |xna |e 都成立 則稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限 或者稱數(shù)列xn收斂于a 記為,如果不存在這樣的常數(shù)a 就說數(shù)列xn沒有極限, 0, NN 當nN時 有|xna| .,極限定義的簡記形式,例如:,牢記-N定義,注意, 0, NN 當nN時 有|xna| .,數(shù)列極限的幾何意義,存在 NN 當nN時 點xn一般落在 鄰域(a-,a+)外:,當nN時 點xn全都落在鄰域(a-, a+)內(nèi):,任意給定a的鄰域(a-,a+), 0, NN 當nN時 有|xna| ., 0, NN 當nN時 有|xna| .,(1) 0; (

5、2) 要使|xn-a|g(); (3) 取N=g(); (4) 則當 nN時有|xn-a| .,用“-N”定義證明 的主要步驟:,例1,證, 0, NN 當nN時 有|xna| .,用定義證明 的步驟: 1. 0; 2. 由|xn-a|g() 3. 取N=g(); 4. 則當 nN時有|xn-a| ,例2,分析:,證明, 0, NN 當nN時 有|xna| .,放大法使不等式更容易解出n,用定義證明 的步驟: 1. 0; 2. 由|xn-a|g() 3. 取N=g(); 4. 則當 nN時有|xn-a| ,例3 設(shè)|q|1, 證明等比數(shù)列 1, q , q2, , qn-1, 的極限是0.,

6、0, NN 當nN時 有|xna| .,證,例4,證,放大法使不等式更容易解出n, 0, NN 當nN時 有|xna| .,分子或分母有理化是常用的方法,用定義證明 的步驟: 1. 0; 2. 由|xn-a|g() 3. 取N=g(); 4. 則當 nN時有|xn-a| ,對于某一正數(shù)0 如果存在正整數(shù)N 使得當nN時 有|xna| 0 是否有xna (n),討論, 0, NN 當nN時 有|xna| .,思考,說明,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),定理1(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂 那么它的極限唯一,證.略(反證法).,收斂數(shù)列的有界性,有界數(shù)列,例:,數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點xn都落在閉區(qū)間-M

7、,M上.,定理2(收斂數(shù)列的有界性) 收斂的數(shù)列必定有界.,證,設(shè)數(shù)列xn收斂于a 根據(jù)數(shù)列極限的定義 對e =1, NN+, 當nN 時, 有 |xn-a|N時 |xn|=|(xn -a)+a| | xn-a|+|a|1+|a| 取M=max|x1| |x2| |xN | 1+|a| 那么nN+, 有|xn|M 這就證明了數(shù)列xn是有界的,說明: 收斂必定有界,但有界不一定收斂.如數(shù)列(-1)n+1有界,但發(fā)散. 無界數(shù)列必定發(fā)散.,定理3(收斂數(shù)列的保號性) 如果數(shù)列xn收斂于a, 且a0(或a0) 那么存在正整數(shù)N 當nN時 有xn0(或xn0),推論 如果數(shù)列xn從某項起有xn0(或x

8、n0) 且數(shù)列xn收斂于a 那么a0(或a0),(用反證法),就a0的情形證明,從而,證明,注: 在數(shù)列xn中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序 這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列.,定理4(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列xn收斂于a那么它的任一子數(shù)列也收斂 且極限也是a,例如 數(shù)列xn 1 1 1 1 (1)n1 的一個子數(shù)列為x2n 1 1 1 (1)2n1 ,1 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 2 數(shù)列的兩個子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何? 3 發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？,4 如何判斷數(shù)列1 1 1 1 (1)N1 是發(fā)散的？,定理4(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列xn收斂于a那么它的任一子數(shù)列也收斂 且極限也是a,討論,是,發(fā)散