山東專用2021新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何7.2空間幾何體的表面積與體積學(xué)案含解析

1、第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積課標(biāo)要求考情分析了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式1.本節(jié)內(nèi)容是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容，涉及空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算等內(nèi)容2命題形式主要以選擇題、填空題為主，主要考查空間幾何體表面積與體積的計(jì)算，同時(shí)著重考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征等內(nèi)容，解題要求有較強(qiáng)的空間想象能力和計(jì)算能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想.知識(shí)點(diǎn)一空間幾何體的表面積1多面體的表面積多面體的各個(gè)側(cè)面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓臺(tái)、圓柱、圓錐的轉(zhuǎn)化當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí)，得到圓柱；當(dāng)圓臺(tái)的上

2、底面半徑為零時(shí)，得到圓錐，由此可得：s圓柱側(cè)知識(shí)點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積公式1思考辨析判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)錐體的體積等于底面面積與高之積()(2)兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方()(3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差()(4)已知球o的半徑為r，其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a，則ra()解析：(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確(2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確2小題熱身(1)一個(gè)球的表面積是16，那么這個(gè)球的體積為(b)a b c16 d24(2)正三棱柱abca1b1c1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，d為bc中點(diǎn)，則三棱錐ab1

3、dc1的體積為(c)a3 b c1 d(3)已知a，b，c，d是球o上不共面的四點(diǎn)，且abbcad1，bdac，bcad，則球o的體積為(a)abc2d4(4)一直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為6 cm,8 cm, 10 cm，繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為 cm2.(5)已知圓錐的頂點(diǎn)為s，母線sa，sb互相垂直，sa與圓錐底面所成的角為30，若sab的面積為8，則該圓錐外接球的表面積是64.解析：(1)設(shè)球的半徑為r，則由4r216，解得r2，所以這個(gè)球的體積為r3.(2)由題意可知adbc，由面面垂直的性質(zhì)定理可得ad平面db1c1，又ad2sin60，所以vab1dc1adsb1dc121

4、，故選c(3)由題，abbc1，ac，所以ab2bc2ac2，所以cba，即bcab，又bcad，所以bc平面abd，因?yàn)閍bad1，bd，所以ab2ad2bd2，所以abad，此時(shí)可將點(diǎn)a，b，c，d看成棱長(zhǎng)為1的正方體上的四個(gè)頂點(diǎn)，球o為正方體的外接球，設(shè)球o的半徑為r，故2r，所以r，則球o的體積vr3，故選a(4)旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以 cm為半徑的兩個(gè)同底面的圓錐，其表面積為s68(cm2)(5)由sab的面積為8，可得sa28，解得sa4.取圓錐底面圓的圓心為o，連接so，ao，由sa與圓錐底面所成的角為30，可得圓錐的底面半徑ao2，圓錐的高so2.設(shè)圓錐的外接球的半徑為r，球心

5、為o，則o在so的延長(zhǎng)線上，連接ao，則ao2ao2oo2，即r2(2)2(r2)2，解得r4，所以該圓錐的外接球的表面積是4r264.考點(diǎn)一空間幾何體的表面積【例1】(1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為o1，o2，過直線o1o2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()a12b12 c8d10(2)如圖，在直角梯形abcd中，adab4，bc2，沿中位線ef折起，使得aeb為直角，連接ab，cd，求所得的幾何體的表面積和體積【解析】(1)因?yàn)檫^直線o1o2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2()222

6、12.(2)如圖，過點(diǎn)c作cm平行于ab，交ad于點(diǎn)m，作cn平行于be，交ef于點(diǎn)n，連接mn.由題意可知abcm，benc都是矩形，amdm2，cn2，fn1，abcm2，所以saeb222，s梯形abcd(24)26，s梯形befc(23)25，s梯形aefd(34)27，在直角三角形cmd中，cm2，md2，所以cd2.又因?yàn)閐ffc，所以sdfc2，所以這個(gè)幾何體的表面積為2657146.v1vabemcnsabeam2224，v2vcmnfdsmnfdbe(12)222，所以所求幾何體體積為v1v2426.【答案】(1)b(2)見解析方法技巧(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；

7、組合體的表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.1已知a，b是球o的球面上兩點(diǎn)，aob90，c為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐oabc體積的最大值為36，則球o的表面積為(c)a36b64c144d256解析：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)c位于垂直于面aob的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐oabc的體積最大，設(shè)球o的半徑為r，此時(shí)voabcvcaobr2rr336，故r6，則球o的表面積為s4r2144.2已知圓錐的頂點(diǎn)為s，母線sa，sb所成角的余弦值為.sa與圓錐底面所成角為45.若sab的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為40.解析：如圖所示，設(shè)s在底面的射影為s，連接as，ss.sab的面

8、積為sasbsinasbsa2sa25，sa280，sa4.sa與底面所成的角為45，sas45，assacos4542.底面周長(zhǎng)l2as4，圓錐的側(cè)面積為4440.考點(diǎn)二空間幾何體的體積命題方向1直接利用公式求體積【例2】(2019全國(guó)卷)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3d打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1挖去四棱錐oefgh后所得的幾何體，其中o為長(zhǎng)方體的中心，e，f，g，h分別為所在棱的中點(diǎn)，abbc6 cm，aa14 cm.3d打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_g.【解析】由題易得長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1的體積為

9、664144(cm3)，四邊形efgh為平行四邊形，如圖所示，連接ge，hf，易知四邊形efgh的面積為矩形bcc1b1面積的一半，即6412(cm2)，所以v四棱錐oefgh31212(cm3)，所以該模型的體積為14412132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為1320.9118.8(g)【答案】118.8命題方向2等體積法求體積【例3】如圖所示，已知三棱柱abca1b1c1的所有棱長(zhǎng)均為1，且aa1底面abc，則三棱錐b1abc1的體積為()abcd【解析】易知三棱錐b1abc1的體積等于三棱錐ab1bc1的體積，又三棱錐ab1bc1的高為，底面積為，故其體積為.【答案】a命題方

10、向3割補(bǔ)法求體積【例4】已知e，f分別是棱長(zhǎng)為a的正方體abcda1b1c1d1的棱aa1，cc1的中點(diǎn)，則四棱錐c1b1edf的體積為_【解析】連接ef，b1d設(shè)b1到平面c1ef的距離為h1，d到平面c1ef的距離為h2，則h1h2b1d1a由題意得，v四棱錐c1b1edfv三棱錐b1c1efv三棱錐dc1efsc1ef(h1h2)a3.【答案】a3方法技巧空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.1(方向1)如圖，

11、正三棱柱abca1b1c1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，d為bc的中點(diǎn)，則三棱錐ab1dc1的體積為(c)a3bc1d解析：如題圖，因?yàn)閍bc是正三角形，且d為bc中點(diǎn)，則adbc又因?yàn)閎b1平面abc，ad平面abc，故bb1ad，且bb1bcb，bb1，bc平面bcc1b1，所以ad平面bcc1b1，所以ad是三棱錐ab1dc1的高所以v三棱錐ab1dc1sb1dc1ad1.2(方向2)如圖，直三棱柱abca1b1c1的各條棱長(zhǎng)均為2，d為棱b1c1上任意一點(diǎn)，則三棱錐da1bc的體積是.解析：vda1bcvb1a1bcva1b1bcsb1bc.3(方向3)如圖，在abc中，ab8，bc10，

12、ac6，db平面abc，且aefcbd，bd3，fc4，ae5.求此幾何體的體積解：方法1：如圖，取cmanbd，連接dm，mn，dn，用“分割法”把原幾何體分割成一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐則v幾何體v三棱柱v四棱錐由題知三棱柱abcndm的體積為v186372.四棱錐dmnef的體積為v2s梯形mnefdn(12)6824，則幾何體的體積為vv1v2722496.方法2：用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使aabbcc8，所以v幾何體v三棱柱sabcaa24896.考點(diǎn)三球的接、切問題【例5】(2019全國(guó)卷)已知三棱錐pabc的四個(gè)頂點(diǎn)在球o的球面上，papbpc，abc是邊長(zhǎng)為2的正

13、三角形，e，f分別是pa，ab的中點(diǎn)，cef90，則球o的體積為()a8b4c2d【解析】因?yàn)辄c(diǎn)e，f分別為pa，ab的中點(diǎn)，所以efpb，因?yàn)閏ef90，所以efce，所以pbce.取ac的中點(diǎn)d，連接bd，pd，易證ac平面bdp，所以pbac，又accec，ac，ce平面pac，所以pb平面pac，所以pbpa，pbpc，因?yàn)閜apbpc，abc為正三角形，所以papc，即pa，pb，pc兩兩垂直，將三棱錐pabc放在正方體中如圖所示因?yàn)閍b2，所以該正方體的棱長(zhǎng)為，所以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以三棱錐pabc的外接球的半徑r，所以球o的體積vr33，故選d【答案】d方法技巧一個(gè)多面體的頂點(diǎn)都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.求多面體的外接球的半徑的基本方法有三種：第一種，當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直時(shí)，可還原為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)就是外接球的直徑；第二種，當(dāng)棱錐或棱柱比較特殊時(shí)，在球內(nèi)畫出棱錐或棱柱，利用底面的外接圓為球的截面圓，借助底面三角形或四邊形求出截面圓的半徑，再利用勾股定理求出球的半徑；第三種，過兩個(gè)多邊形(多邊形所在平面不平行)的外心作兩個(gè)多邊形所在平面的垂線，垂線的交點(diǎn)即為外接球的球心，再通過相關(guān)關(guān)系求半徑.已知正三棱錐sabc的