空間向量的坐標(biāo)表示

1、空間向量的坐標(biāo)表示本周重點(diǎn)：空間右手直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，夾角公式，距離公式。本周難點(diǎn)：向量坐標(biāo)的確定以及夾角公式，距離公式的應(yīng)用。知識(shí)要點(diǎn)：一、空間直角坐標(biāo)系中空間向量的直角坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系O一xyz中,以 為單位正交基底, 對(duì)空間任一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)向量 ,存在唯一一組有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使 ，則在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y,z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo). 向量 的坐標(biāo)為(x,y,z)。（1）空間直角坐標(biāo)系是在仿平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，選取空間任意一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底 （ 按右手系排列）建立的坐標(biāo)系，做題選擇坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)注意

2、點(diǎn)O的任意性，原點(diǎn)O的選擇要便于解決問題，既有利于作圖直觀性，又要盡可能使各點(diǎn)的坐標(biāo)為正。（2）空間任一點(diǎn)P的坐標(biāo)確定的辦法如下：作P在XOY平面上的射影點(diǎn) ，求出 在XOY平面內(nèi)的坐標(biāo)（x，y，0），求出 并確定符號(hào)即z，得坐標(biāo)P（x，y，z）。二、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) 則 (1) + =(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2) - =(a1-b1,a2-b2,a3-b3); (3) =a1b1+a2b2+a3b3.(4) / 或 .(5) a1b1+a2b2+a3b3=0.(6)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則 三、夾角和距離公式：1、向量 與 的夾角：設(shè) 則

3、 . 注意：（1）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出： ，其中的范圍是 (2) 用此公式求異面直線所成角等角度時(shí)，要注意這些角度與的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。2、兩點(diǎn)距離公式：設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)，則 兩點(diǎn)間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量 的坐標(biāo)表示，然后再用模長公式推出。3、平面的法向量：如果表示向量 的有向線段所在的直線垂直于平面,則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作 .如果 ,那么向量 叫做平面的法向量四、利用向量的坐標(biāo)理論完成解題的程序：建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，對(duì)空間圖形中的向量 進(jìn)行量化處理，用坐標(biāo)(x,y,z)進(jìn)行表示.利用坐

4、標(biāo)運(yùn)算與圖形的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)，完成解題過程.重點(diǎn)例題講解：例1已知空間三點(diǎn)A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）。設(shè) （）求 （）若向量 與 互相垂直，求k的值。分析：（）利用數(shù)量積定義求cos ，再求 ；（）先求出 與 坐標(biāo)表示，利用數(shù)量積為0求k解：（） ， （） ， ， 例2已知ABC中，A(2,-5,3), , ,求其余頂點(diǎn)、向量 的坐標(biāo)及A的大小.解：設(shè)B（x,y,z），C（x1,y1,z1）， 解得 B(6,-4,5). 解得 C(9,-6,10). =(-7,1,-7). .點(diǎn)評(píng)：在求角時(shí)，如果不是特殊角，應(yīng)考慮用反三角函數(shù)來表示.例3如圖所示，M、N

5、、P分別是正方體ABCDA1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中點(diǎn)。求證：A1P平面DMN。 分析：證明A1P與平面DMN垂直有兩種方法：一是證明A1P與平面DMN內(nèi)兩條相交直線垂直；二是證明A1P與平面DMN的法向量平行。證明：（法一）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則D（0，0，0），A1（2，0，2），P（0，1，0），M（0，2，1），N（1，2，0）向量 即直線A1PDM，A1PDN，又DMDN=DA1P平面DMN（法二）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，各點(diǎn)、向量的示法同法一，設(shè)平面DMN的法向量為 =（1，x，y） 由（1），（2）解得 又 面DMN即直線A1P面DMN

6、點(diǎn)評(píng)：（1）利用向量坐標(biāo)解決立體幾何中的平行、垂直、求角、求距離等問題，關(guān)鍵是建立正確的空間直角坐標(biāo)系，難點(diǎn)是正確表達(dá)已知點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）對(duì)空間任意一點(diǎn)A求其坐標(biāo)的一般方法：過A作z軸的平行線交平面xOy于B，過B分別作x,y軸的平行線，分別交y,x軸于C、D，則由 的長度和方向便可求得點(diǎn)A的坐標(biāo).例4如圖為直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分別是A1B1，A1A的中點(diǎn)；（）求 的長；（）求 的值；（）求證：A1BC1M。解：（）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0）， C1（0，0，2）， A（1，0，0），A1（1，0，2），

7、B（0，1，0）， B1（0，1，2） （） （） 反饋練習(xí)：1下列各組向量不平行的是（ ）A =（1，0，0）， =（-3，0，0）B =（0，1，0）， =（1，0，1）C =（0，1，-1）， =（0，-1，1） D =（1，0，0）， =（0，0，0）2已知 =（-3，2，5）， =（1，x，-1）且 ，則x的值為（ ）A3 B4 C5 D63已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若 ，且 ，則x+y的值是（ ）A-3或1 B3或-1 C-3 D14已知 =（1-t，1-t,t）， =（2，t，t），則 的最小值是（ ）A B C D 5已知向量 =（3，5，-1）， =（2

8、，2，3）， =（4，-1，-3），則下列向量的坐標(biāo)是 2 =_ _。 _ _。 _ _。 _ _。6、已知：點(diǎn)A(1,-2,0)和向量 =(-3,4,12)，若向量 ，且| |等于 的二倍. 則點(diǎn)B的坐標(biāo)_。7、設(shè) ABCD的兩邊是向量 ，則 ABCD的面積是_。8已知向量 =（1，1，0）， =（-1，0，2）且k + 與2 - 互相垂直，則k=_。9已知ABC三頂點(diǎn)A(0,0,3),B(4,0,0),C(0,8,-3)，試求：三角形三邊長；三角形三內(nèi)角；三角形三中線長；角A的平分線所在向量為 （D在BC上），求 與x軸，y軸，z軸的夾角余弦.10如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、DC的中點(diǎn)(1)求AE與D1F所成的角；(2)證明AE平面A1D1F.11已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，求當(dāng) 取最小值時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。參考答案1B 2C 3A 4C 5(6,10,-2) (1,8,5)(16,0,-23) (3m+2n,5m+2n,-m+3n)6、(-5,6,24)或(7,-10,-24). 7、 8、 9、 . . ， 10、設(shè)已知正方體的棱長為1，且 ，以 為坐標(biāo)向量，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則