2012中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)直角三角形問題(二)

1、2012中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)直角三角形問題(二)例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B(2,n)在這條拋物線上（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)PE到點(diǎn)D，使得EDPE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C、D也隨之運(yùn)動(dòng)）當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長(zhǎng)；若點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一個(gè)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位（當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)）過Q作x軸

2、的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)QF到點(diǎn)M，使得FMQF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN（當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、N也隨之運(yùn)動(dòng)）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10北京24”，拖動(dòng)點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，兩個(gè)等腰直角三角形的邊有三個(gè)時(shí)刻可以共線思路點(diǎn)撥1這個(gè)題目最大的障礙，莫過于無圖了2把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來，用含有t的式子表示這些線段的長(zhǎng)3點(diǎn)C的坐標(biāo)始終可以表示為(3t,2t)，代入拋物線的解析式就可以計(jì)算此刻OP的長(zhǎng)4當(dāng)兩個(gè)等腰直角三角形有邊共線時(shí)，會(huì)產(chǎn)生新的等腰直角三角

3、形，列關(guān)于t的方程就可以求解了滿分解答(1) 因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過原點(diǎn)，所以 解得，（舍去）因此所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）(2) 如圖4，設(shè)OP的長(zhǎng)為t，那么PE2t，EC2t，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3t, 2t)當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，解得如圖1，當(dāng)兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)P、Q重合此時(shí)3t10解得如圖2，當(dāng)兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，PQN是等腰直角三角形，PQPE此時(shí)解得如圖3，當(dāng)兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，PQC是等腰直角三角形，PQPD此時(shí)解得 圖1 圖2 圖3考點(diǎn)伸展在本題情境下，如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切，求t的值如圖5，當(dāng)P、Q重合時(shí)，兩圓內(nèi)切

4、，如圖6，當(dāng)兩圓外切時(shí)， 圖4 圖5 圖6例4 如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成ABC，設(shè)（1）求x的取值范圍；（2）若ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面積？圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“09嘉興24”，拖動(dòng)點(diǎn)B在AN上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；CAB和ACB可以成為直角，CBA不可能成為直角；觀察函數(shù)的圖象，可以看到，圖象是一個(gè)開口向下的“U”形，當(dāng)AB等于1.5時(shí)，面積達(dá)到最大值思路點(diǎn)撥1根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三

5、邊列關(guān)于x的不等式組，可以求得x的取值范圍2分類討論直角三角形ABC，根據(jù)勾股定理列方程，根據(jù)根的情況確定直角三角形的存在性3把ABC的面積S的問題，轉(zhuǎn)化為S2的問題AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部?jī)煞N情況滿分解答（1）在ABC中，所以 解得（2）若AC為斜邊，則，即，此方程無實(shí)根若AB為斜邊，則，解得，滿足若BC為斜邊，則，解得，滿足因此當(dāng)或時(shí)，ABC是直角三角形（3）在ABC中，作于D，設(shè)，ABC的面積為S，則如圖2，若點(diǎn)D在線段AB上，則移項(xiàng)，得兩邊平方，得整理，得兩邊平方，得整理，得所以（）當(dāng)時(shí)（滿足），取最大值，從而S取最大值 圖2 圖3如圖3，若點(diǎn)D在線段MA上，