相似三角形專題

1、【一】知識梳理【1】比例定義：四個(gè)量a,b,c,d中，其中兩個(gè)量的比等于另兩個(gè)量的比，那么這四個(gè)量成比例形式：a:b=c:d，性質(zhì)：基本性質(zhì)： ac=bd1、可以把比例式與等積式互化。2、可以驗(yàn)證四個(gè)量是否成比例注：比例式有順序性的，比例線段沒有負(fù)的，比例數(shù)有正有負(fù)4，比例中項(xiàng)： 【2】黃金分割 定義：如圖點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)注意：如圖ABC，A=36，AB=AC，這是一個(gè)黃金三角形，【3】平行線推比例上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右全比上=全比上，全比下=全比下 下比上=下比上【4】相似三角形1、相似三角形的

2、判定AA相似：A=D, B=E ABCDEFS A S ABCDEFS S S ABCDEF 平行相似： DEBC ADEABC2、相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)周長的比都等于相似比相似三角形的面積比等于相似比的平方3、相似三角形的常見圖形A型圖 X型圖 K型圖母子圖 一般母子圖 AC2=ADAB 母子圖中的射影定理 AC2=ADAB BC2=BDAB CD2=ADBD【二】題型1、求線段的比求a比b的方法：求a,b的長度，設(shè)k法，利用三角形相似的性質(zhì)，平行推比例線段比例分配【例題1】如圖，直線l1l2l3，直線

3、AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)AC與DF相較于點(diǎn)H，且AH=2，HB=1，BC=5則 的值為 【例題2】如圖，已知在ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，DEBC，EFAB，且ADDB = 35，那么CFCB等于 （1） （2）【例題3】如圖，點(diǎn)D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，且AB=3AD，點(diǎn)P是ABC的外接圓上的一點(diǎn)，且ADP=ACB則PB:PD= 【例題4】如圖，已知AD為ABC的角平分線，DEAB交AC于E，如果，那么（ ）A B C D （3） （4）【例題5】 已知，則= ，則= 【例題6】如圖，將矩形紙片ABCD(

4、ADDC)的一角沿著過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)E重合，折痕交AB于點(diǎn)F.若BE:EC=m:n，則AF:FB= .【例題7】如圖所示,將矩形ABCD折疊,使點(diǎn)B落在邊AD上,點(diǎn)B與點(diǎn)F重合,折痕為AE,此時(shí),矩形EDCF與矩形ABCD相似,則= .【例題8】如圖，RtABC內(nèi)接于O，,A=90，AB=4，AC=3，D為弧AB的中點(diǎn)，則= （6） （7） （8）【例題9】在RtABC中，ACB=90，CD為AB的中線，ANCD，交BC于N,若CD=3，AN=4，則tanCAN= 2、相似三角形的性質(zhì)與判定【例題1】如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與ABC相似的

5、是（ ）【例題2】如圖，已知ABC，P是邊AB上的一點(diǎn)，連結(jié)CP，以下條件中不能確定ACP與ABC相似的是（ ）A ACP=B， B APC=ACB C AC2=AP.AB D 【例題3】已知四邊形ABCD與四邊形A/B/C/D/，且AB:BC:CD:DA=20：15：9：8，若四邊形A/B/C/D/為26，則A/B/的長為 【例題4】 如圖，矩形ABCD中，由8個(gè)面積均為1的小正方形組成的L型模板如圖放置，則矩形ABCD的周長為 【例題5】如圖，P為ABCD的邊AD上一點(diǎn)，E,F分別為PB,PC的中點(diǎn)，PEF的面積為3，則平行四邊形的面積是 已知兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)高的比為3:10，面積差為

6、100，則大三角形的面積為 【例題6】如圖，將邊長為6的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB的中點(diǎn)E處，折痕為FH，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q出，EQ與BC相較于點(diǎn)G，則EBG的周長為 （4） （5） （6）【例題7】如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點(diǎn)，CD是水平的，在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上已知鐵塔底座寬CD=12 m，塔影長DE=18 m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時(shí)刻，小明站在點(diǎn)E處，影子在坡面上小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m和1m，那么塔高AB為多少?點(diǎn)撥：同一時(shí)刻、同一地點(diǎn)，物高與影長的比是 定值【例題8】如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D

7、是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，BE=DB，作EFDE并截取EF=DE，連結(jié)AF并延長交射線BM于點(diǎn)C設(shè)BE=x，BC=y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是 3、相似三角形討論方法1、固定一個(gè)角，按AA討論，2、按夾相等角得兩邊的比值相等討論【例題1】直線y=-x+1分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后得到COD，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)（1）寫出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與COD相似？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，

8、請說明理由【例題2】已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-5，0）和點(diǎn)B,其中點(diǎn)B在第一象限，且OA=OB，tanBAO=（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)。（2）求二次函數(shù)的解析式。（3）過點(diǎn)B作直線BC平行于x軸，直線BC與二次函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為C，連結(jié)AC，如果點(diǎn)P在x軸上，且ABC和PAB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。【例題3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長是4，點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，以每秒2個(gè)單位長度的速度在線段AB上來回運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BCO的方向，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)

9、時(shí)間為t秒（I）當(dāng)t1時(shí)，求PQ所在直線的解析式.（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與OAP相似，求t的值.（3）在P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，若OPQ的面積為6，請直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)【例題4】如圖，拋物線y=ax2+bx+c的開口向上，頂點(diǎn)M在第三象限，拋物線與x軸交于A、B 兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0）（1）試用含a的式子表示b，c；（2）連接AM、CM、CB，試說明OCB與四邊形AMCO的面積之比是一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值；（3）連接AC，若ACM=90，解決下列問題：求拋物線解析式并證明MAO=ACB；yOBCAx

10、y=ax2+bx+cM線段AM上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似？若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，說明理由【例題5】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P（1，1）為圓心的P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PF，過點(diǎn)PEPF交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t0）（1）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；（2）在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)OE=a，OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b；（3）作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)F，經(jīng)過M、E和F三點(diǎn)的拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)Q，連接QE在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中

11、，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由【例題6】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點(diǎn)C作CHx軸于點(diǎn)H.（1）直接填寫： ， ，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；（2）在軸上是否存在點(diǎn)D，使得ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；ABHCABHC（備用圖）（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQAC于點(diǎn)Q，當(dāng)PCQ與ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 【例題7】如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx3與x軸、y軸分

12、別交于A，B兩點(diǎn)，直線ykx8與直線AB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)C，過D作DEx軸于點(diǎn)E（1，0），點(diǎn)P（t ，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)若點(diǎn)T 為直線DE上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以O(shè),B, T為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè),B, P為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，則相應(yīng)的點(diǎn)P（t0）的坐標(biāo)為 .【例題8】如圖，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻在以原來的速度沿AO返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QD軸，垂足為D。點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.(1) 當(dāng)點(diǎn)

13、P從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，求面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;(2) 當(dāng)線段PQ與拋物線的對稱軸沒有公共點(diǎn)時(shí)，請直接寫出t的取值范圍;(3）當(dāng)t為何值時(shí)，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似;(4) 如圖2： FE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)F，交折線QCCOOP于點(diǎn)E，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，請你直接寫出點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長4、 求線段長的方法1、 勾股定理2、相似 3、直角三角形邊角關(guān)系 4、方程注意：方程可以根據(jù)勾股定理、相似、邊角關(guān)系得到【例題1】如圖，在ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=如果將ABC沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊AC的中點(diǎn)處，直線l與邊BC交于點(diǎn)D，那么BD的長為 【例題2】已知A

14、B是半圓O的直徑，D為AC的中點(diǎn)，sinBAC=，AB=10，EA與O相切于A，E、D、B在一條直線上，求AE的長【例題3】已知矩形ABCD，AD=3，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC邊上，且BF=2CF,AF分別與DE,DB相較于G,H，求GH【例題4】如圖所示，在ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D，CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時(shí)，則EP+BP= 【例題5】如圖示我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解周脾算經(jīng)時(shí)給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tanADE的值為 【例

15、題5】如圖以ABC的邊BC上一點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過A,C兩點(diǎn)且與BC邊交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為CE的下半圓的中點(diǎn)，連接AD，交線段EO與點(diǎn) F，AC=CF=4，DF=（1）求證：AC是O的切線：（2）求O的半徑r和sinC【例題6】如圖：正方形ABCD中，過點(diǎn)D作DP交AC于點(diǎn)M、交AB于點(diǎn)N，交CB的延長線于點(diǎn)P，若MN=1，PN=3，則DM的長為_【例題7】如圖D是ABC的邊AC上一點(diǎn)，BD=8，sinCBD=，過點(diǎn)A作AEBC于E,CD=2AD,求AE的長1、求點(diǎn)到x軸或y軸的距離 2、兩個(gè)函數(shù)組成方程組 3、設(shè)出橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)然后代入解析式 4方程求坐標(biāo)的方法【例題1】已知拋物線與直線交于A,B

16、，在x軸上試找一點(diǎn)P，使APB=45，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 【例題2】已知拋物線y=mx2+4x+2m與x軸交于點(diǎn)A(,0), B(,0),且. 拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為E. 若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 方法：方程【例題3】如圖，二次函數(shù)y=的圖象與y軸交于點(diǎn)C，與直線y=交于A,B,在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使SABC=SABP ，在P的坐標(biāo)為 【例題4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一塊含60角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A（-1，0）拋物線經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把頂點(diǎn)E放在線段AB上（點(diǎn)E是不與A，B兩點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)），并使ED所在直線經(jīng)過點(diǎn)C此時(shí)，EF所在直線與（2）中的拋物線交于第一象限的點(diǎn)M當(dāng)AE=2時(shí)