（浙江專用）202x版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題8 立體幾何 8.5 空間向量及其應(yīng)用

1、高考數(shù)學(xué)（浙江專用）,8.5空間向量及其應(yīng)用,考點(diǎn)一空間角,考點(diǎn)清單,1.兩條異面直線所成的角的范圍是. 當(dāng)=時(shí),這兩條異面直線互相垂直. 2.斜線AO與它在平面內(nèi)的射影所成的角叫做直線和平面所成的角(或夾角). 3.斜線和平面所成的角,是這條斜線和這個平面內(nèi)的任一條直線所成角中最小的角.如果直線和平面垂直,那么就說直線和平面所成的角為90;如果直線和平面平行或在平面內(nèi),那么就說直線和平面所成的角為0.,考向基礎(chǔ),4.直線和平面所成角的范圍為. 5.斜線和所交平面所成的角的范圍為. 6.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱.這兩個半平面叫做二面角的面.棱為l

2、,兩個面分別為、的二面角記為-l-. 7.一個平面垂直于二面角的棱l,且與兩個半平面的交線分別是射線OA、OB,則AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角,相交成直二面角的兩個平面互相垂直.,8.空間角公式 (1)異面直線所成角公式:設(shè)a、b分別為異面直線l1、l2的方向向量,為l1、l2所成的角,則cos =|cos |=. (2)線面角公式:設(shè)l為平面的斜線,a為l的方向向量,n為平面的法向量,為l與所成的角,則sin =|cos|=. (3)面面角公式:設(shè)n1、n2分別為平面、的法向量,二面角為,則=或=-(需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)),其中cos=.,【知識拓展】

3、 設(shè)二面角-l-兩個平面的法向量分別為n1,n2,在兩個半平面內(nèi)各取一點(diǎn)A,B(兩點(diǎn)都不在直線l上),二面角記為,則有如下結(jié)論:若n1和n2 同號,則cos =cos, 若n1和n2異號,則cos =-cos.,考向突破,考向一求異面直線所成的角,例1在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為() A.B. C.D.,解析建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2), 所以=(-1,0,2),=(-1,2,1), 故cos=. 所以異面直線BC1與AE所成角的余

4、弦值為.,答案B,考向二求直線與平面所成的角,例2(2018浙江杭州高三教學(xué)質(zhì)檢,19)如圖,在三棱錐A-BCD中,BAC=BAD=DAC=60,AC=AD=2,AB=3. (1)證明:ABCD; (2)求CD與平面ABD所成角的正弦值.,解析(1)證明:AB=AB,BAC=BAD=60,AC=AD, ABCABD,BC=BD,(2分) 如圖,取CD的中點(diǎn)E,連接AE,BE,則AECD,BECD, 又AEBE=E, CD平面ABE,(5分),AB平面ABE,ABCD.(7分) (2)解法一:在ABD中,根據(jù)余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos 60=7, BD=, DE=1, B

5、E=,AE=, AB2=BE2+AE2,AEBE.(9分) 設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h,CD與平面ABD所成的角為, VA-BCD=VC-ABD,即CDSABE=hSABD,(11分) h=,(13分),sin =, 故CD與平面ABD所成角的正弦值為.(15分) 解法二:在ABD中,根據(jù)余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos 60=7, BD=, DE=1,BE=,AE=, AB2=BE2+AE2,AEBE.(9分) 以EB,EC,EA所在直線分別為x軸,y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.,則A(0,0,),B(,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0), =(,0,-

6、),=(0,-2,0),=(0,-1,-).(11分) 設(shè)平面ABD的法向量為m=(x,y,z).,則取m=(1,-,),(13分) 設(shè)CD與平面ABD所成的角為,則sin =|cos|= . 故CD與平面ABD所成角的正弦值為.(15分),考向三求二面角,例3(2018浙江名校協(xié)作體期初聯(lián)考,17)如圖,棱長為3的正方體的頂點(diǎn)A在平面內(nèi),三條棱AB,AC,AD都在平面的同側(cè).若頂點(diǎn)B,C到平面的距離分別為,則平面ABC與平面所成銳二面角的余弦值為 .,解析分別以AB,AC,AD所在直線為x,y,z軸,則A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,3),平面ABC的一個法

7、向量為m=(0,0,1).設(shè)平面的單位法向量為n=(x,y,z),其中x2+y2+z2=1.由條件知|cos|=,得|x|=,同理,由| |cos|=,得|y|=,由x2+y2+z2=1,得|z|=,則平面ABC與平面 所成銳二面角的余弦值為|cos|=|z|=.,答案,考點(diǎn)二空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,考向基礎(chǔ) 1.空間向量及運(yùn)算 (1)設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);a=(a1,a2,a3);ab=a1b1+a2b2+a3b3;ab(b0)a1=b1,a2=b2,a3=b

8、3;aba1b1+a2b2+a3b3=0. (2)設(shè)A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),則=-=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 這就是說,一個向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo). 2.兩個向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式 (1)已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則|a|=;|b|= ,ab=a1b1+a2b2+a3b3,cos=.,(2)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則|= 或者dAB=|,其中dAB表示A與B兩點(diǎn)間的 距離,這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式. 3.若a,b均為非零向量,則向量a

9、在向量b上的射影為|a|cos=. 4.設(shè)n是平面M的一個法向量,AB、CD是M內(nèi)的兩條相交直線,則n=0,n=0,由此可求出法向量n(向量及已知). 5.利用空間向量證明線面平行:只要在平面內(nèi)找到一條直線的方向向量b,已知直線的方向向量為a,問題轉(zhuǎn)化為證明a=b即可.或者已,知直線上的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),在平面內(nèi)找出兩點(diǎn)C、D,寫成坐標(biāo)形式,=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),只需證明x1=x2且y1=y2且z1=z2. 6.利用空間向量證明兩條異面直線垂直:在兩條異面直線上各取一個方向向量a、b,只要證明ab,即ab=0即可. 7.證明線面垂直:已知直線l,平面,要證l,只要在l上

10、取一個非零向量p,在內(nèi)取兩個不共線的向量a、b,問題轉(zhuǎn)化為證pa且pb,也就是ap=0且bp=0. 8.證明面面平行、面面垂直,最終都要轉(zhuǎn)化為證明線線平行、線線垂直.,方法1求直線與平面所成角的方法 1.按定義作出線面角(即找到斜線在平面內(nèi)的射影),解三角形. 2.求平面的法向量,利用直線所在的方向向量與平面的法向量所成的銳角和直線與平面所成角互余求線面角. 3.利用等體積法求點(diǎn)到面的距離,由距離與斜線段長的比值等于線面角的正弦值求線面角.,方法技巧,例1(2017浙江名校(鎮(zhèn)海中學(xué))交流卷二,19)如圖,DC平面ABC,DEBC,ABC=120,AB=BC=CD=2DE=2. (1)已知F為

11、線段EA的中點(diǎn),線段BC上一點(diǎn)M滿足CM=CB,求證:FM 平面ACD; (2)求直線BD與平面AEB所成角的正弦值.,解析(1)證明:取AD的中點(diǎn)N,連接FN,NC, 則FNDE,且FN=DE, FNBC,且FN=CB,FNCM, 四邊形FMCN為平行四邊形,FMNC, 又FM平面ACD,NC平面ACD,FM平面ACD. (2)取AC的中點(diǎn)O,連接OB,ON,易知OA、OB、ON兩兩垂直,以O(shè)為原點(diǎn),OA所在直線為x軸,OB所在直線為y軸,ON所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則 A(,0,0),B(0,1,0),E,D(-,0,2),故=(,-1,0),=,=(-,-1,2),設(shè)平面AB

12、E的法向量為 n=(x,y,z), 則 即 取y=2,則x=,z=1,故n=, cos=-,故直線BD與平面AEB所成角的正弦值為.,方法2求二面角的方法 二面角的平面角的作法是重點(diǎn),構(gòu)造平面角主要有以下方法: (1)根據(jù)定義; (2)利用二面角的棱的垂面; (3)利用兩同底等腰三角形底邊上的兩條中線; (4)射影法,利用面積射影定理S射=S斜cos ; (5)向量法,利用組成二面角的兩個半平面的法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ).,例2(2017浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷四,19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAB底面ABCD,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,PA=PB,點(diǎn)M在線段PC上(不

13、含端點(diǎn)),且BM平面PAC. (1)求證:AP平面BCP; (2)求二面角B-AC-P的正弦值.,解析(1)證明:BM平面PAC,BMAP. 側(cè)面PAB底面ABCD,且BCAB,側(cè)面PAB底面ABCD=AB,BC側(cè)面ABCD, BC側(cè)面PAB,BCAP. 又BC與BM是平面BCP內(nèi)兩相交直線, AP平面BCP. (2)設(shè)AB的中點(diǎn)為O,CD的中點(diǎn)為N,連接OP、ON,則ONAB.由平面PAB平面ABCD,且POAB,得PO底面ABCD,POON.分別以O(shè)B、ON、OP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.,由AP平面BCP,得APBP,又PA=PB,AB=2,OP=1. 則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),P(0,0,1).平面ABC的一個