小學(xué)奧數(shù)幾何(燕尾模型)

1、燕尾定理例題精講燕尾定理：在三角形中，相交于同一點(diǎn)，那么，上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)楹偷男螤詈芟笱嘧拥奈舶?，所以這個(gè)定理被稱(chēng)為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過(guò)一道例題 證明燕尾定理： 如右圖，是上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你說(shuō)明：【解析】 三角形與三角形同高，分別以、為底，所以有；三角形與三角形同高，；三角形與三角形同高，所以；綜上可得， . 【例 1】 （2009年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題）如圖，三角形的面積是，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)則四邊形的面積等

2、于 【解析】 方法一：連接，根據(jù)燕尾定理，, 設(shè)份，則份，份，份，如圖所標(biāo)所以方法二：連接，由題目條件可得到，所以，而所以則四邊形的面積等于【鞏固】如圖，已知，三角形的面積是，求陰影部分面積.【解析】 題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實(shí)際上是比例的關(guān)系，由此我們可以初步判斷這道題不應(yīng)該通過(guò)面積公式求面積. 又因?yàn)殛幱安糠质且粋€(gè)不規(guī)則四邊形，所以我們需要對(duì)它進(jìn)行改造，那么我們需要連一條輔助線，(法一)連接，因?yàn)?，三角形的面積是30，所以，根據(jù)燕尾定理，, 所以，所以陰影部分面積是 (法二)連接，由題目條件可得到，所以， ， 而所以陰影部分的面積為【鞏固】如圖，三角形的面積是，

3、在上，點(diǎn)在上，且,，與 交于點(diǎn)則四邊形的面積等于 【解析】 連接，根據(jù)燕尾定理，, 設(shè)份，則份,份，份，份，所以【鞏固】如圖，已知，與相交于點(diǎn),則被分成的部分面積各占 面積的幾分之幾？【解析】 連接,設(shè)份，則其他部分的面積如圖所示，所以份，所以四部分按從小到大各占面積的【鞏固】(年香港圣公會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)如圖所示，在中，與相交于點(diǎn)，若的面積為，則的面積等于 【解析】 方法一：連接由于，所以，由蝴蝶定理知，所以方法二：連接設(shè)份，根據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積，所以【鞏固】如圖，三角形的面積是，與相交于點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出這部分的面積各是多少?【解析】 連接，設(shè)份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標(biāo)出如圖所示，所以

4、,【鞏固】如圖，在上，在上，且,，與交于點(diǎn)四邊形的面積等于，則三角形的面積 【解析】 連接,根據(jù)燕尾定理，, 設(shè)份，則份，份，份， 份,份,如圖所標(biāo),所以份,份所以【鞏固】三角形中，是直角，已知，那么三角形(陰影部分)的面積為多少？【解析】 連接的面積為根據(jù)燕尾定理，；同理設(shè)面積為1份，則的面積也是1份，所以的面積是份，而的面積就是份，也是4份，這樣的面積為份，所以的面積為【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，是的中點(diǎn)陰影部分的面積是多少平方厘米?【解析】 設(shè)份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米.【例 2】 如圖所示，在四邊形中，四邊形的面積是，那么平行四邊形的面積為_(kāi) 【解析】 連接,

5、根據(jù)燕尾定理,設(shè),則其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以.【例 3】 是邊長(zhǎng)為厘米的正方形，、分別是、邊的中點(diǎn)，與交于，則四邊形的面積是_平方厘米 【解析】 連接、，設(shè)份，根據(jù)燕尾定理得份，份，則份，份，所以【例 4】 如圖，正方形的面積是平方厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形 的面積是_平方厘米 【解析】 連接,根據(jù)沙漏模型得,設(shè)份，根據(jù)燕尾定理份，份，因此份，所以(平方厘米).【例 5】 如圖所示，在中，是的中點(diǎn)，那么 【解析】 連接由于，所以，根據(jù)燕尾定理，【鞏固】在中， ，求？ 【解析】 連接因?yàn)?，根?jù)燕尾定理，即；又，所以則，所以【鞏固】在中， ，求？【解析】 題目求的是邊的比值，一般來(lái)說(shuō)可以

6、通過(guò)分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過(guò)三角形的面積比來(lái)做橋梁，但題目沒(méi)告訴我們邊的長(zhǎng)度，所以應(yīng)該通過(guò)面積比而得到邊長(zhǎng)的比本題的圖形一看就聯(lián)想到燕尾定理，但兩個(gè)燕尾似乎少了一個(gè)，因此應(yīng)該補(bǔ)全，所以第一步要連接連接因?yàn)?，根?jù)燕尾定理，即；又，所以則，所以【例 6】 （2009年清華附中入學(xué)測(cè)試題）如圖，四邊形是矩形，、分別是、上的點(diǎn)，且，與相交于，若矩形的面積為，則與的面積之和為 【解析】 (法1)如圖，過(guò)做的平行線交于，則，所以，即，所以且，故，則所以兩三角形面積之和為(法2)如上右圖，連接、根據(jù)燕尾定理，而，所以，則，所以兩個(gè)三角形的面積之和為15【例 7】 如右圖，三角形中，求【解析】

7、根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】如右圖，三角形中，求.【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【鞏固】如圖，,則 【解析】 根據(jù)燕尾定理有,所以【鞏固】如右圖，三角形中，求.【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力

8、量！【例 8】 (2008年“學(xué)而思杯”六年級(jí)數(shù)學(xué)試題)如右圖，三角形中，且三角形的面積是，則三角形的面積為_(kāi)，三角形的面積為_(kāi)，三角形的面積為_(kāi) 【分析】 連接、由于，所以，故；根據(jù)燕尾定理，所以，則，；那么；同樣分析可得，則，所以，同樣分析可得，所以，【鞏固】 如右圖，三角形中，且三角形的面積是，求三角形的面積【解析】 連接BG，份根據(jù)燕尾定理，得(份)，(份)，則(份)，因此,同理連接AI、CH得,所以三角形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是19【鞏固】(2009年第七屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級(jí))如圖，中，那么的面積是陰影三角形面積的 倍 【分析】 如圖，連接根據(jù)燕尾定理

9、，所以，那么，同理可知和的面積也都等于面積的，所以陰影三角形的面積等于面積的，所以的面積是陰影三角形面積的7倍【鞏固】如圖在中，,求的值【解析】 連接BG,設(shè)1份，根據(jù)燕尾定理,得(份)，(份),則(份)，因此,同理連接AI、CH得,所以【點(diǎn)評(píng)】如果任意一個(gè)三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有對(duì)稱(chēng)法作輔助線.【鞏固】如圖在中，,求的值【解析】 連接BG,設(shè)1份，根據(jù)燕尾定理,得(份)，(份),則(份)，因此,同理連接AI、CH得,所以【鞏固】如右圖，三角形中，且三角形

10、的面積是，求角形 的面積【解析】 連接BG，12份根據(jù)燕尾定理，得(份)，(份)，則(份)，因此,同理連接AI、CH得,所以三角形ABC的面積是,所以三角形GHI的面積是【例 9】 兩條線段把三角形分為三個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，如圖所示， 三個(gè)三角形的面積 分別是，則陰影四邊形的面積是多少？【解析】 方法一：遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點(diǎn)標(biāo)注字母，方便后面的計(jì)算.再看這道題，出現(xiàn)兩個(gè)面積相等且共底的三角形設(shè)三角形為，和交于，則，再連結(jié)所以三角形的面積為3.設(shè)三角形的面積為，則，所以，四邊形的面積為方法二：設(shè)，根據(jù)燕尾定理,得到，再根據(jù)向右下飛的燕子，有，解得四邊形的面積為

11、【鞏固】右圖的大三角形被分成5個(gè)小三角形，其中4個(gè)的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積是 【解析】 方法一：整個(gè)題目讀完，我們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何與邊長(zhǎng)相關(guān)的條件，也沒(méi)有任何與高或者垂直有關(guān)系的字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個(gè)比例關(guān)系：，解得.方法二：回顧下燕尾定理，有，解得.【例 10】 如圖，三角形被分成個(gè)三角形，已知其中個(gè)三角形的面積，問(wèn)三角形的面積是多少?【解析】 設(shè)，由題意知根據(jù)燕尾定理,得,所以，再根據(jù)，列方程解得,所以所以三角形ABC的面積是【例 11】 三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中

12、點(diǎn)，求陰影部分的面積【解析】 令BE與CD的交點(diǎn)為M，CD與EF的交點(diǎn)為N，連接AM，BN在中，根據(jù)燕尾定理，,所以由于S，所以在中，根據(jù)燕尾定理，設(shè)(份)，則(份)，(份)，(份)，所以,，因?yàn)?F為BC中點(diǎn),所以,所以(平方厘米)【例 12】 如右圖，中，是的中點(diǎn)，、是邊上的四等分點(diǎn)，與交于，與交于，已知的面積比四邊形的面積大平方厘米，則的面積是多少平方厘米？【解析】 連接、根據(jù)燕尾定理，所以；再根據(jù)燕尾定理，所以，所以，那么，所以根據(jù)題意，有，可得(平方厘米)【鞏固】(2007年四中分班考試題)如圖，中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，若的面積為1，那么四邊形的面積是_ 【解析】 由于

13、點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，如果能求出、三段的比，那么所分成的六小塊的面積都可以求出來(lái)，其中當(dāng)然也包括四邊形的面積連接、根據(jù)燕尾定理，而，所以，那么，即那么，另解：得出后，可得，則【例 13】 如圖，三角形的面積是，三角形被分成部分，請(qǐng)寫(xiě)出這部分的面積各是多少? 【解析】 設(shè)BG與AD交于點(diǎn)P，BG與AE交于點(diǎn)Q，BF與AD交于點(diǎn)M，BF與AE交于點(diǎn)N連接CP，CQ，CM，CN根據(jù)燕尾定理，設(shè)(份)，則(份)，所以同理可得，,而，所以，同理，,所以，,【鞏固】如圖，的面積為1，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，那么四邊形的面積是多少？ 【解析】 連接、根據(jù)燕尾定理，所以，那么，類(lèi)似

14、分析可得又，可得那么，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知四邊形的面積也為，那么四邊形周?chē)膱D形的面積之和為，所以四邊形的面積為【例 14】 如右圖，面積為的中，求陰影部分面積【解析】 設(shè)交于，交于，交于連接， ， ， ， 同理 ， ， ，又， ， 同理 ， 同理 個(gè)小陰影三角形的面積均為 陰影部分面積【例 15】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點(diǎn),求陰影部分面積. 【解析】 三角形在開(kāi)會(huì)，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI與CD的交點(diǎn)為M，AF與CD的交點(diǎn)為N，BI與AF的交點(diǎn)為P,BI與CE的交點(diǎn)為Q,連接AM、BN、CP求：在中，根

15、據(jù)燕尾定理，設(shè)(份)，則(份),(份),(份),所以，所以,所以,同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是面積的求：在中，根據(jù)燕尾定理,所以,同理在中，根據(jù)燕尾定理,所以所以同理另外兩個(gè)五邊形面積是面積的所以【例 16】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點(diǎn),求中心六邊形面積.【解析】 設(shè)深黑色六個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別為N、R、P、S、M、Q，連接CR在中根據(jù)燕尾定理，,所以,同理,所以同理根據(jù)容斥原理，和上題結(jié)果【例 17】 （年數(shù)學(xué)解題能力大賽六年級(jí)初試試題）正六邊形，的面積是平方厘米，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米【解析】 （方法一）因?yàn)榭瞻椎拿娣e等于面積的倍，所以關(guān)鍵求的面積，根據(jù)燕尾定理可得，但在用燕尾定理時(shí)，需要知道的長(zhǎng)度比，連接,過(guò)作的平行線，交于，根據(jù)沙漏模型得,再根據(jù)金字塔模型得,因此,在中，設(shè)份，則份,份，所以，因此（平方厘米）（方法二）既然給的圖形是特殊的正六