固體物理電子教案：1.5晶體的對(duì)稱性

1、第五節(jié) 晶體的對(duì)稱性,本節(jié)主要內(nèi)容,1.5.1 對(duì)稱性與對(duì)稱操作,1.5.2 晶系和布拉維原胞,1.5.1 對(duì)稱性與對(duì)稱操作,對(duì)稱操作所依賴的幾何要素,1.對(duì)稱操作與線性變換,經(jīng)過某一對(duì)稱操作，把晶體中任一點(diǎn) 變?yōu)?可以用線性變換來表示,1.5 晶體的對(duì)稱性,對(duì)稱性,經(jīng)過某種動(dòng)作后，晶體能夠自身重合的特性,對(duì)稱操作,使晶體自身重合的動(dòng)作,對(duì)稱素,操作前后，兩點(diǎn)間的距離保持不變,O點(diǎn)和X點(diǎn)間距與O點(diǎn)和 點(diǎn)間距相等,I為單位矩陣，即,或者說A為正交矩陣，其矩陣行列式,2.簡(jiǎn)單對(duì)稱操作(旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、中心反映、鏡象、旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱,1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(Cn,對(duì)稱素為線,若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后自身重合，則此軸

2、稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸,下面我們計(jì)算與轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的變換矩陣,當(dāng)OX繞Ox1轉(zhuǎn)動(dòng)角度時(shí)，圖中,若OX在Ox2x3平面上投影的長(zhǎng)度為R，則,晶體中允許有幾度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸呢,設(shè)B1ABA1是晶體中某一晶面上的一個(gè)晶列，AB為這一晶列上相鄰的兩個(gè)格點(diǎn),若晶體繞通過格點(diǎn)A并垂直于紙面的u軸順時(shí)針轉(zhuǎn)角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過格點(diǎn)B也有一轉(zhuǎn)軸u,是 的整數(shù)倍,相反若逆時(shí)針轉(zhuǎn) 角后能自身重合，則,是 的整數(shù)倍,晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸只能是1，2，3，4，6度軸,綜合上述證明得,正五邊形沿豎直軸每旋轉(zhuǎn)720恢復(fù)原狀，但它不能重復(fù)排列充滿一個(gè)平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸中不存在五次軸，只有1

3、，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸,2)中心反映(i，對(duì)稱素為點(diǎn),取中心為原點(diǎn)，經(jīng)過中心反映后，圖形中任一點(diǎn),變?yōu)?3)鏡象(m，對(duì)稱素為面,如以x3=0面作為對(duì)稱面，鏡象是將圖形的任何一點(diǎn),變?yōu)?4)旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱,若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后，再經(jīng)過中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸,旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸只能有1，2，3，4，6度軸,旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸用 表示,旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱素。如,正四面體既無四度軸也無對(duì)稱心,1，2，3，4，6 度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作,1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作,3)中心反映：i,4)鏡象反映：m,C1，C2，C3，C4，C6 （用

4、熊夫利符號(hào)表示,S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號(hào)表示,點(diǎn)對(duì)稱操作,2)旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作,1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作,獨(dú)立的對(duì)稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4,立方體對(duì)稱性,1)立方軸C4,3個(gè)立方軸,4個(gè)3度軸,2)體對(duì)角線C3,3)面對(duì)角線C2,6個(gè)2度軸,與4度軸正交的對(duì)稱面,與2度軸正交的對(duì)稱面,所有點(diǎn)對(duì)稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。一個(gè)晶體的全部對(duì)稱操作構(gòu)成一個(gè)群，每個(gè)操作都是群的一個(gè)元素。對(duì)稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演點(diǎn)對(duì)稱操作構(gòu)成的群，稱作點(diǎn)群,理論證明，所有晶體只有3

5、2種點(diǎn)群，即只有32種不同的點(diǎn)對(duì)稱操作類型。這種對(duì)稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱性。所以又稱宏觀對(duì)稱性,如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面,5）n度螺旋軸：若繞軸旋轉(zhuǎn)2/n角以后，再沿軸方向平移l(T/n)，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中T是軸方向的周期， l是小于n的整數(shù)。 n只能取1、2、3、4、6,6）滑移反映面：若經(jīng)過某面進(jìn)行鏡象操作后，再沿平行于該面的某個(gè)方向平移T/n后，晶體能自身重合，則稱此面為滑移反映面。 T是平行方向的周期， n可取2或4,點(diǎn)對(duì)稱操作加上平移操作構(gòu)成空間群。全部晶體構(gòu)有230種空間群，即有230種對(duì)稱類型,1.5.2 晶系和布拉維原胞,根據(jù)不同的點(diǎn)對(duì)稱性，將晶體分為7大晶系，14種布拉維晶格,7大晶系的特征及布拉維晶格如下所述,1.三斜晶系,2.單斜晶系,3.三角晶系,簡(jiǎn)單三斜(1,簡(jiǎn)單單斜(2,底心單斜(3,三角(4,4.正交晶系,簡(jiǎn)單正交(5)，底心正交(6)體心正交(7)，面心正交(8,5.四角系： (正方晶系,簡(jiǎn)單四角(9)，體心四角(10,6.六角晶系,六角(11,7.立方晶系,簡(jiǎn)立方(12)，體心立方(13)，面心立方(14,簡(jiǎn)單三斜(1,簡(jiǎn)單單斜(2,底心單斜(3,1.三斜晶系,2.單斜晶系,3.三角晶系,三角(4,4.正交晶系,簡(jiǎn)單正交