第一講線段、角的計(jì)算與證明問題

1、第一講線段、角的計(jì)算與證明問題(【前言】中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分差不多上基本上一些簡(jiǎn)單題或者中檔題，目的在于考察基礎(chǔ)。第二部分往往確實(shí)是開始拉分的中，難題了。 大伙研究今年的北京一模就會(huì)發(fā)明， 第二部分，或者叫難度開始提上來的部分，差不多上基本上以線段，角的計(jì)算與證明開始的。城鄉(xiāng)18 個(gè)區(qū)縣的一模題中，有11 個(gè)區(qū)第二部分第一道題基本上標(biāo)準(zhǔn)的梯形，四邊形中線段角的計(jì)算證明題。剩下的 7 個(gè)區(qū)縣題那么將線段角問題與旋轉(zhuǎn)，動(dòng)態(tài)問題結(jié)合，放在了更有難度的倒數(shù)第二道乃至壓軸題當(dāng)中。能夠說，線段角問題確實(shí)是中考數(shù)學(xué)有難度題的排頭兵。 對(duì)這些題輕松掌握的意義不僅僅在于獲得分?jǐn)?shù)，更重要的是

2、關(guān)于整個(gè)做題過程中士氣，軍心的妨礙。在那個(gè)專題中，我們對(duì)各區(qū)縣一模真題進(jìn)行總結(jié)歸納, 分析研究，來探究線段，角計(jì)算證明問題的解題思路。第一部分真題精講【例 1】 2017，崇文，一模如圖，梯形 abcd 中， ad bc ， bdcd，bdcab 的長(zhǎng)、【思路分析】線段，角的計(jì)形中，利用三角形全等相似, 直等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察的。因此這就別好的理解， 同時(shí)熟知梯形的輔ab,的是 ad,bc 以及 bdc是等的 ab 也放在條件當(dāng)中去考察.輕易發(fā)明我們將 ab帶入到了一個(gè)有大量條件的直角三角形當(dāng)中【解析】90， ad3，bc8 、求算證明差不多基本上放在梯角三角形性質(zhì)以及勾股定理要求我們對(duì)梯形的性質(zhì)

3、有特助線做法。 這道題中未知的是腰直角三角形 , 因此要把未知做 ae,df 垂直于 bc,那么特別. 因此有解如下 .作 aebc 于 e，dfbc 于 fae df ，ad bc， 四邊形 aefd 是矩形、ef ad 3，ae df bdcd，dfbc， df 是 bdc 的 bc 邊上的中線、bdc 90， df1 bcbf42ae4，be bfef 431在 rt abe 中， ab2ae2be2ab421217【例 2】 2017，海淀，一模：如圖，在直角梯形 abcd 中，ad bc ， dcb90 ，ac bd 于點(diǎn) o， dc2, bc 4 ，求 ad 的長(zhǎng) .adobc【思

4、路分析】這道題給出了梯形兩對(duì)角線的關(guān)系. 求梯形上底 . 關(guān)于這種對(duì)角線之間或者和其他線段角有特別關(guān)系( 例如對(duì)角線平分某角) 的題 , 一般思路是將對(duì)角線提出來構(gòu)造一個(gè)三角形 . 關(guān)于此題來說 , 直截了當(dāng)將ac向右平移 , 構(gòu)造一個(gè)以d 為直角頂點(diǎn)的直角三角形. 如此就將 ad轉(zhuǎn)化成了直角三角形中斜邊被高分成的兩條線段之一, 而另一條線段bc是的 . 因此問題迎刃而解 .adobce【解析】過點(diǎn) d 作 de / / ac 交 bc 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e . bdeboc . acbd 于點(diǎn) o , boc 90 . bde 90 . ad / / bc ，四邊形aced 為平行四邊形. ad

5、ce .bde90 ,dcb90 ， dc2bc ce . dc2, bc 4， ce1. ad1此題還有許多別的解法，例如直截了當(dāng)利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余關(guān)系，證明 acd和 dbc相似，從而利用比例關(guān)系直截了當(dāng)求出cd。有興趣的考生能夠多發(fā)散思維去研究。【例 3】 2017，東城，一模如圖，在梯形 abcd 中， ad bc ， b 90，ad =2，bc 5 ，e 為 dc 中點(diǎn)， tanc4、3求 ae 的長(zhǎng)度ad、ebc【思路分析】 這道題是東城的解答題第二部分第一道，確實(shí)是我們所謂提難度的門檻題。乍看之下仿佛直截了當(dāng)過d做垂線之類的方法不行. 那該怎么樣做輔助線呢?答案就隱藏在

6、 e是中點(diǎn)那個(gè)條件中 . 在梯形中 , 一腰中點(diǎn)是特別特別的 . 一方面中點(diǎn)本身是多對(duì)全等三角形的公共點(diǎn) , 另一方面中點(diǎn)和其他底, 腰的中點(diǎn)連線確實(shí)是一些三角形的中線,利用中點(diǎn)的比例關(guān)系就能夠?qū)l件代入 . 比如這道題 , 過中點(diǎn) e 做 bc的垂線 , 那么這條垂線與ad延長(zhǎng)線 ,bc 就構(gòu)成了兩個(gè)全等的直角三角形. 同時(shí)這兩個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角的正切值是差不多給出的.因此得解 .admebfc【解析】過點(diǎn) e 作 bc 的垂線交于bc 點(diǎn) f ，交 ad 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)m .在梯形 abcd 中， ad bc ， e 是 dc 的中點(diǎn)，mmfc ，dece在 mde 和 fce 中，m

7、mfcdemcefdece mde fce . ef me ，dm cf ad2，bc 5 ， dmcf3.2在 rtfce 中， tan c4ef ，3cf efme 2 .2在 rtame 中， ae22236522【總結(jié)】以上三道真題, 基本上在梯形中求線段長(zhǎng)度的問題. 這些問題一般基本上要靠做出精妙的輔助線來解決. 輔助線的總體思路確實(shí)是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合, 從而達(dá)到利用求未知的目的. 一般來說 , 梯形的輔助線要緊有以下5 類 :過一底的兩端做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形+一矩形平移一腰，分梯形為平行四邊形+三角形延長(zhǎng)梯形兩腰交于一點(diǎn)構(gòu)造三角形平移對(duì)角線，轉(zhuǎn)

8、化為平行四邊形+三角形連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)延長(zhǎng)線交于另一底延長(zhǎng)線構(gòu)筑兩個(gè)全等三角形或者過中點(diǎn)做底邊垂線構(gòu)筑兩個(gè)全等的直角三角形以上五種方法確實(shí)是梯形內(nèi)線段問題的一般輔助線做法。關(guān)于角度問題，事實(shí)上思路也是一樣的。 通過做輔助線使得角度通過平行， 全等方式轉(zhuǎn)移到未知量附近。 之前三道例題要緊是和線段有關(guān)的計(jì)算。我們接下來看看和角度有關(guān)的計(jì)算與證明問題。【例 4】 2017，延慶，一模如圖，在梯形abcd 中， ab dc ， db 平分adc ，過點(diǎn) a 作 ae bd ，交 cd 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) e ，且c2e ，bdc30 ， ad3 ，求 cd 的長(zhǎng)、abecd【思路分析】此題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，不需要

9、做輔助線就能夠得出結(jié)果。然而題目中給的條件基本上此類角度問題的差不多條件。 例如對(duì)角線平分某角， 然后有角度之間的關(guān)系。 面對(duì)這種題目依舊需要將的角度關(guān)系理順。首先依照題目中條件，尤其是利用平行線這一條件，能夠得出 見下圖角 c 與角 1，2，3 以及角 e 的關(guān)系。因此一系列轉(zhuǎn)化過后， 發(fā)明角 c=60 度，即三角形 dbc為 rt三角形。因此得解?！窘馕觥浚?ae bd 13 ， 2e 123eadc3e 2 ec 2 eadcbcd60梯形 abcd 是等腰梯形 bc ad 3 2 30 ， bcd 60 dbc 90在 rt dbc 中， 2 30 ， bc 3 cd 6【例 5】 2

10、017，西城，一模： pa2 ， pb4 ，以 ab為一邊作正方形abcd，使 p、d 兩點(diǎn)落在直線ab 的兩側(cè) . 如圖，當(dāng) apb=45時(shí)，求ab及 pd的長(zhǎng)；【思路分析】這是去年西城一模的壓軸題的第一小問。假如線段角的計(jì)算出現(xiàn)在中間部分，往往意味著難度并可不能太高。然而 一 旦 出 現(xiàn) 在 壓 軸題，那么有的時(shí)候往往比函數(shù)題，方程題更為棘手。這題求ab 比較容易，過a 做 bp 垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，將apb分成兩個(gè)有特別多量的rt。然而求pd時(shí)候就特別麻煩了。 pd所在的三角形pad是個(gè)鈍角三角形，因此就需要我們將pd放在一個(gè)直角三角形中試試看。構(gòu)筑包含pd的直角三角形，最簡(jiǎn)

11、單的確實(shí)是過p 做 da延長(zhǎng)線的垂線交da于 f，df交 pb 于 g。如此一來，得到了pfa age等多個(gè) rt。因此與已求出的ab 等量產(chǎn)生了關(guān)系，得解?！窘馕觥浚喝鐖D，作 ae pb于點(diǎn) e、 ape中， ape=45， pa2 ， aepa sin ape221 ，2pepa cos ape221 、2 pb 4 ， be pb pe 3 、在 rt abe中， aeb=90， abae 2 be 210 、dcagp f eb如圖，過點(diǎn)p 作 ab 的平行線，與da的延長(zhǎng)線交于f，設(shè) da的延長(zhǎng)線交pb于 g、在 rt aeg中，可得agaeae10 ，coseagcos abe3這

12、一步最難想到，利用直角三角形斜邊高分成的兩個(gè)小直角三角形的角度關(guān)系eg1 ， pg pb beeg2 、33在 rt pfg中，可得 pfpgcos fpg pg cos abe1010， fg、515【總結(jié)】由此我們能夠看出，在涉及到角度的計(jì)算證明問題時(shí)，一般情況下基本上要將角度通過平行，垂直等關(guān)系過度給未知角度。因此，構(gòu)建輔助線一般也是從那個(gè)思路動(dòng)身，利用一些特別圖形中的特別角關(guān)系例如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關(guān)系以及借助特別角的三角函數(shù)來達(dá)到求解的目的。第二部分發(fā)散思考通過以上的一模真題，我們對(duì)線段角的相關(guān)問題解題思路有了一些認(rèn)識(shí)。接下來我們自己動(dòng)手做一些題目。盼望考生先做題

13、，沒有思路了看分析，再?zèng)]思路了再看答案。【思考 1】如圖，在梯形abcd中， ad bc， abcd 、假設(shè) ac bd，10 3，且abc 60，求 cd的長(zhǎng)、ad+bc=ad【思路分析】前面我差不多分析過，梯形問題無非也就那么幾種輔助線的做法。此題求腰，因此自然是先將腰放在某個(gè)rt三角形中。 另外遇到對(duì)角線垂直這類問題，一般基本上平移某一條對(duì)角線以構(gòu)造更大的一個(gè)rt 三角形，因此此題需要兩條輔助b線。在這類問題中， 輔助線的方式往往需要交叉運(yùn)用，假如思想c放不開，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。 解法見后文 【思考 2】如圖，梯形abcd中， ad/bc， b=30， c=60， e，

14、m，f， n 分別是 ab，bc， cd， da的中點(diǎn)， bc=7， mn=3，求 ef【思路分析】此題有一定難度，要求考生不僅掌握中位線的相關(guān)計(jì)算方法，也對(duì)三點(diǎn)共線提出了要求。 假設(shè)求 ef，因?yàn)?bc，因此只需求出 ad即可。 由題目所給角b，角 c 的度數(shù)，應(yīng)該自然聯(lián)想到直角三角形中求解。解法見后【思考 3】 abc ，延長(zhǎng) bc 到 d ，使 cd bc、取 ab 的中點(diǎn) f ，連結(jié) fd 交 ac 于點(diǎn) e 、求 ae 的值；aca假設(shè) ab a ， fb ec ，求 ac 的長(zhǎng)、【思路分析】求比例關(guān)系，一般基本上要利用相似三角形來求解。此題中有一個(gè)等量關(guān)fe系 bc=cd，又有 f

15、 中點(diǎn)，因此需要做輔助線，利用這些關(guān)系來構(gòu)造數(shù)個(gè)相似三角形就成了獲得比例的關(guān)鍵。bdc解法見后【思考 4】如圖 3， abc中， a=90， d 為斜邊 bc的中點(diǎn)， e， f 分別為 ab， ac上的點(diǎn)，且 de df，假設(shè) be=3，cf=4，試求 ef 的長(zhǎng)、【思路分析】中點(diǎn)問題是中考幾何中的大熱點(diǎn)，幾乎年年考。有中點(diǎn)自然有中線，而倍長(zhǎng)中線方法也成為解題的關(guān)鍵。將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，剛好能夠構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形，特別多問題就能夠輕松求解。此題中， d為中點(diǎn)，因此大伙能夠看看如何在那個(gè)里面構(gòu)造倍長(zhǎng)中線。解法見后【思考 5】如圖，在四邊形abcd 中， e 為 ab 上一點(diǎn)，ade 和bc

16、e 基本上等邊三角形， ab 、 bc 、 cd 、 da 的中點(diǎn)分別為p 、 q 、 m 、 n ，試判斷四邊形pqmn 為怎么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論、dmncqap eb【思路分析】此題也是中點(diǎn)題，不同的是上題考察中線，此題考察中位線。此題需要考生對(duì)各個(gè)特別四邊形的性質(zhì)了如指掌，判定，證明上都需要特別好的感受。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之間的轉(zhuǎn)化條件。解法見后第三部分思考題答案思考 1【解析】：作 de bc于 e，過 d 作 df ac交 bc延長(zhǎng)線于 f、那么四邊形 adfc是平行四邊形， ad cf ，df=ac、四邊形 abcd是等腰梯形， ac=bd、 dfbd又 a

17、c bd， df ac， bd df、 bdf是等腰直角三角形 de1 bf1 (ad bc) 5322在 rt cde 中，dce60 ， decd sindce 53cdsin 60 ， cd10思考 2【解析】：延長(zhǎng) ba， cd交于點(diǎn) h，連接 hn，因?yàn)?b=30， c=60，因此 bhc=90因此 hn=dn直角三角形斜邊中線性質(zhì) nhd= ndh=60連接 mh，同理可知mhd= c=60。因此 nhd= mhd，即 h，n，m三點(diǎn)共線這一點(diǎn)容易被遺漏，特別多考生會(huì)想所以認(rèn)為他們共線，事實(shí)上依舊要證明一下因此 hm=3.5， nh=0.5an=0.5因此 ad=1ef= 1+7

18、/2=4思考 3【解析】過點(diǎn)f 作 fm ac ，交 bc 于點(diǎn) m 、 f 為 ab 的中點(diǎn) m 為 bc 的中點(diǎn)， fm1ac2由 fm ac ，得cedmfd ，ecdfmd ， fmd ecd dcec2dmfm3 ec2 fm21 ac1 ac33231ac aeacecac13acacac2afebdmc ab11a ， fbaba22又 fb1aec ， ec2 ec1 ac ，ac3ec3 a 、32思考 4【解析】：延長(zhǎng) ed至點(diǎn) g，使 dg=ed，連接 cg， fg、那么 cdg bde、因此 cg=be=3， 2=b、因?yàn)?b+ 1=90，因此 1+ 2=fcg=90、因?yàn)?df垂直平分eg，因此 fg=ef、在 rt fcg中，由勾股定理得 fg