201X_202x學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)新人教A版選修1_1

1、3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),1.函數(shù)極值的概念,名師點(diǎn)撥1.函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處一定不可能取得極值,即端點(diǎn)一定不是函數(shù)的極值點(diǎn). 2.在一個(gè)給定的區(qū)間上,函數(shù)可能有若干個(gè)極值點(diǎn),也可能不存在極值點(diǎn);函數(shù)可以只有極大值,沒(méi)有極小值,或者只有極小值沒(méi)有極大值,也可能既有極大值,又有極小值.極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小,做一做1】 下列說(shuō)法不正確的是() A.函數(shù)y=x2有極小值 B.函數(shù)y=sin x有無(wú)數(shù)個(gè)極值 C.函數(shù)y=2x沒(méi)有極值 D.x=0是函數(shù)y=x3的極值點(diǎn) 答案:D,2.函數(shù)極值的求法,做一做2】 函數(shù)f(x)=-2x3+3x2+1的極小值與極大值分別等于()

2、A.0,1B.-1,0 C.-2,-1D.1,2 解析:f(x)=-6x2+6x=-6x(x-1),令f(x)=0得x=0或x=1,當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(1,+)時(shí),f(x)0,所以當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)取極小值f(0)=1,當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取極大值f(1)=2. 答案:D,思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn). () (2)函數(shù)的極大值一定大于極小值. () (3)在定義域上的單調(diào)函數(shù)一定沒(méi)有極值. () (4)對(duì)于任意函數(shù),極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值一定等于0. () (5)三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c最多有兩個(gè)極

3、值. () 答案:(1)(2)(3)(4)(5,探究一,探究二,探究三,思維辨析,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 【例1】 求下列函數(shù)的極值,思路點(diǎn)撥:按照求函數(shù)極值的步驟,借助表格進(jìn)行求解,探究一,探究二,探究三,思維辨析,自主解答:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(x)=x2-2x-3. 令f(x)=0,得x=3或x=-1. 當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值時(shí),一般應(yīng)首先確定函數(shù)的定義域,然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)

4、,這些點(diǎn)將整個(gè)定義域分為若干個(gè)區(qū)間,然后將x,f(x),f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個(gè)表格中,考查導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值是否異號(hào),若異號(hào),則是極值,否則就不是極值,這樣通過(guò)表格可以清楚地判斷在哪個(gè)點(diǎn)處取得極值,是極大值還是極小值,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的極值: (1)f(x)=x3-3x,解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)=3x2-3, 令f(x)=0得x=1. 當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表,所以函數(shù)在x=-1處取得極大值f(-1)=2,在x=1處取得極小值f(1)=-2,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究

5、二,探究三,思維辨析,與函數(shù)極值有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題 【例2】已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-ax+b. (1)若函數(shù)在x=-2取得極值5,求實(shí)數(shù)a,b的值; (2)若函數(shù)在R上不存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 思路點(diǎn)撥:(1)可利用f(-2)=0,f(-2)=5建立a,b的方程組求解;(2)根據(jù)方程f(x)=0不存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根求解,自主解答:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3-ax2-ax+b, 所以f(x)=3x2-2ax-a. 依題意可得f(-2)=0,f(-2)=5,探究一,探究二,探究三,思維辨析,2)f(x)=3x2-2ax-a. 若方程f(x)=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則函數(shù)在R上不存在極值,這

6、時(shí)=(-2a)2+12a0,所以f(x)在R上不存在極值. 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=3x2,雖有f(0)=0,但當(dāng)x0時(shí)總有f(x)0,所以f(x)在R上不存在極值. 若方程f(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x10,解得a0,可以驗(yàn)證函數(shù)f(x)在x1,x2處分別取得極大值和極小值. 綜上,若函數(shù)在R上不存在極值,必有-3a0,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.根據(jù)函數(shù)極值的定義可知,如果一個(gè)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù),那么在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)必然為零,即對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),f(x0)=0是x0為極值點(diǎn)的必要條件,當(dāng)已知可導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)處取得極值時(shí),該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值一定為零,據(jù)此可建立

7、關(guān)于參數(shù)的方程進(jìn)行求解. 2.對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),其導(dǎo)數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判別式=4b2-12ac,則有以下結(jié)論,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,根據(jù)圖象判斷函數(shù)的極值 【例3】 已知函數(shù)y=xf(x)的圖象如右圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),給出以下說(shuō)法:函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+)上是增函數(shù);函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值;函數(shù)f(x)在 處取得極大值;函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,其中正確的說(shuō)法有,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解析:從圖象上可以發(fā)

8、現(xiàn),當(dāng)x(1,+)時(shí),xf(x)0,于是f(x)0,故f(x)在區(qū)間(1,+)上是增函數(shù),正確; 當(dāng)x0. 當(dāng)-10,所以f(x)0. 故函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值.正確; 當(dāng)x(-1,1)時(shí),f(x)0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù),錯(cuò); 當(dāng)0 x1時(shí),xf(x)0,于是f(x)0,故f(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù),而在區(qū)間(1,+)上是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,故正確. 答案,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟這類函數(shù)圖象問(wèn)題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問(wèn)題中較為常見(jiàn)的一種題型,解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是選準(zhǔn)出發(fā)點(diǎn),對(duì)于導(dǎo)函數(shù)的圖象,我們重

9、點(diǎn)考查其在哪個(gè)區(qū)間上為正,哪個(gè)區(qū)間上為負(fù),在哪個(gè)點(diǎn)處與x軸相交,在該點(diǎn)附近導(dǎo)函數(shù)的值是怎樣變化的,若是由正值變?yōu)樨?fù)值,則該點(diǎn)處取得極大值;若由負(fù)值變?yōu)檎?則該點(diǎn)處取得極小值,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c,其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的極大值是() A.-2a+cB.-4a+c C.-3aD.c 解析:由導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象,知當(dāng)00;當(dāng)x2時(shí),f(x)0;當(dāng)x=2時(shí),f(x)=0. 又f(x)=3ax2+2bx,所以b=-3a,f(x)=ax3-3ax2+c,所以函數(shù)f(x)的極大值為f(2)=-4a+c.故選B. 答案:

10、B,探究一,探究二,探究三,思維辨析,忽視極值存在的條件致誤 【典例】 已知函數(shù)f(x)=x3+6mx2+4nx+8m2在x=-2處取得極值,且極值為0,求m+4n的值. 易錯(cuò)分析:本題常見(jiàn)錯(cuò)誤是根據(jù)f(-2)=0,f(-2)=0求得m,n的兩組值后,不根據(jù)極值存在的條件進(jìn)行驗(yàn)證取舍,導(dǎo)致增解. 自主解答:f(x)=3x2+12mx+4n,當(dāng)m=1,n=3時(shí),f(x)=3x2+12x+12=3(x+2)20,所以f(x)在R上單調(diào)遞增無(wú)極值,不合題意; 當(dāng)m=2,n=9時(shí),f(x)=3x2+24x+36=3(x+2)(x+6), 當(dāng)-6-2時(shí),f(x)0, 故f(x)在x=-2處取得極值,符合

11、題意.綜上,m=2,n=9,所以m+4n=38,探究一,探究二,探究三,思維辨析,糾錯(cuò)心得“f(x0)=0”是“f(x0)為極值的必要不充分條件”,因此由f(x0)=0求得m,n的值以后要驗(yàn)證在x=x0左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)是否相反,才能確定是否真正在x0點(diǎn)處取得極值,在已知函數(shù)的極值點(diǎn)與極值的條件下,求參數(shù)值時(shí),務(wù)必注意這一點(diǎn),探究一,探究二,探究三,思維辨析,1.函數(shù)y=2x3-3x2() A.在x=0取極大值,無(wú)極小值 B.在x=1取極小值,無(wú)極大值 C.在x=0取極大值,在x=1取極小值 D.以上都不對(duì) 解析:y=6x(x-1),令y=0得x=0,1,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下,所以當(dāng)x=0時(shí)極大值f(0)=0,當(dāng)x=1時(shí)極小值f(1)=-1. 答案:C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.已知定義在(a,b)上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x