清華大一高數(shù)第一學(xué)期期末試題1

1、一、填空題 ( 本題共 5 小題，每小題4 分，共 20 分).1lim (cos x) x2=_.（ 1） x 0（ 2）曲線 yx ln x 上與直線 xy 10 平行的切線方程為 _.（ 3）已知 f (ex )xe x ，且 f (1)0 ,則 f ( x)_ .yx 2（ 4）曲線3x1 的斜漸近線方程為_(kāi).2y5y2(x 1)的通解為 _.（ 5）微分方程x 1二、選擇題 ( 本題共 5 小題，每小題4 分，共 20 分).（ 1）下列積分結(jié)果正確的是（）11011dx2dx1 x2(a)1 x(b)(c)14 dx11dx1 x(d)x（ 2）函數(shù) f (x) 在 a,b 內(nèi)有定

2、義，其導(dǎo)數(shù)f ( x) 的圖形如圖1-1 所示，則（(a) x1 , x2 都是極值點(diǎn) .y） .(b) x1, f (x1 ) , x2 , f ( x2 ) 都是拐點(diǎn) .(c) x1 是極值點(diǎn) .， x2 , f ( x2 ) 是拐點(diǎn) .(d) x1, f (x1 ) 是拐點(diǎn)， x 2 是極值點(diǎn) .（ 3）函數(shù) yc1exc2e 2xxex滿足的一個(gè)微分方程是（ a ） yy2y3xex .（ b） y（ c） yy 2y 3xex .（ d） ylimf x0 fx0 hh（ 4）設(shè) f ( x) 在 x0 處可導(dǎo)，則 h 0為（yax1 圖 1-1ox 2） .y2 y3ex .y2

3、y3ex .） .f ( x )b x(a)fx0 .(b)（ 5）下列等式中正確的結(jié)果是(f (x)dx)f (x).(a)df ( x)dxf (x).(c)算題（本題共4 小題，每小題fx0 .(c) 0.(d) 不存在 .（） .df (x)f (x).(b)f ( x) dx f ( x).(d)6 分，共 24分） .lim (x1 )1求極限 x 1 x1ln x .xln sin t2ydy d2.方程ycostt sin t 確定 y為 x 的函數(shù)，求 dx 與 dx2.arctanx dx3.3.計(jì)算不定積分x (1x) .3xdx4.計(jì)算定積分0 11x.四、解答題（本題

4、共4小題，共 29 分） .1（本題 6 分）解微分方程 y5 y6 y xe 2 x2（本題 7 分）一個(gè)橫放著的圓柱形水桶（如圖 4-1 ），桶內(nèi)盛有半桶水， 設(shè)桶的底半徑為r ，水的密度為，計(jì)算桶的一端面上所受的壓力b13. （本題 8分）設(shè) f ( x) 在 a, b 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)， f (a)f (b)f 2 ( x) dx0 ，且 a，bxf ( x) f ( x) dx試求 a.4. （本題 8分）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線 yln x 的切線，該切線與曲線y ln x 及 x 軸圍成平面圖形 d.(1)(1)求 d 的面積 a;(2)(2)求 d 繞直線 xe 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

5、v.五、證明題（本題共1 小題，共7 分） .1. 證明對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x ， ex1x .一、填空題 ( 本題共 5 小題，每小題4 分，共 20 分).11lim (cos x) x2=_ e _.（1） x 0（2）曲線 yx ln x 上與直線 xy10 平行的切線方程為 _ yx 1 _.x)xex0 ,則 f ( x)_ f ( x)1(ln x)2（3）已知 f (e，且 f (1)2_ .（4）曲線yx 21 的斜漸近線方程為y1 x1 .3x_392y527c ( x 1)2 .y(x 1)2y( x 1)2（5）微分方程x 1的通解為 _3二、選擇題 ( 本題共 5 小題，每

6、小題 4 分，共 20 分).（1）下列積分結(jié)果正確的是（d）11011dx2dx1 x2(a)1 x(b)(c)14 dx1 x（ 2）函數(shù) f (x) 在 a, b 內(nèi)有定義，其導(dǎo)數(shù)(a) x1 , x2 都是極值點(diǎn) .(b) x1 , f ( x1 ) , x2 , f (x2 ) 都是拐點(diǎn) .(c) x1 是極值點(diǎn) .， x2 , f ( x2 ) 是拐點(diǎn) .(d) x1, f ( x1) 是拐點(diǎn)， x2 是極值點(diǎn) .1 dx(d) x1f ( x) 的圖形如圖1-1 所示，則（d） .yyf ( x )ax1圖 1-ox 2bx（3）函數(shù) yc1exc 2e 2xxex 滿足的一個(gè)微

7、分方程是（d） .（ a ） yy2y3xex .（ b） yy2 y3ex .（ c） yy2y3xex .（ d） yy2 y3ex.fx0fx0hlimha） .（4）設(shè) f ( x) 在 x0 處可導(dǎo)，則 h0為（(a)fx0.(b)fx0.(c) 0.(d) 不存在 .（5）下列等式中正確的結(jié)果是（a） .(a)( f (x)dx)f (x).(b)df (x) f ( x).(c)df ( x) dxf (x).(d)f( x)dxf ( x).三、計(jì)算題（本題共4 小題，每小題6 分，共 24 分） .lim (xx1)1求極限 x11ln x.lim (x1)x ln xx1l

8、im(x1) ln x -1解x1 x1ln x= x1分limln xx1x1ln x=x-2分limx ln x=1xln x-1x1 x分lim1ln x1ln x12=x1 1-2 分xln sin tdyd2y2.方程ycostt sin t 確定 y為 x 的函數(shù)，求 dx 與 dx2.dyy (t)t sint ,解dxx (t)- （ 3分）d 2 y(t sin t)sin t tan tt sin t.dx2x (t )-（ 6 分）arctanxdx4.4. 計(jì)算不定積分x (1x).解： arctanxdx2arctanxdx2分x (1x)(1 x)=2arctanx

9、d arctanx2分=（arctan2c2分）x3 xdx4.計(jì)算定積分0 11x.3xdx3 x(10 11解x0分）23353(1x) 2303（或令1xt ）四、解答題（本題共4 小題，共1 x)3dx(1 1 x )dxx0- -（ 3- -（ 6 分）29 分） .1（本題 6 分）解微分方程y 5y6yxe 2x.解：特征方程 r 2 -5 r601分特征解 r2, r3.1分12次方程的通解y = c1e2xc2e3x.分1令 y*x(b0 x b1 )e2 x1分代入解得 b01 ， b11.2所以 y*x(1 x 1)e2 x1分21所以所求通解yc2 x3 x2x.分1e

10、c2 ex( x 1)e122（本題 7 分）一個(gè)橫放著的圓柱形水桶（如圖4-1 ），桶內(nèi)盛有半桶水， 設(shè)桶的底半徑為r ，水的比重為，計(jì)算桶的一端面上所受的壓力解：建立坐標(biāo)系如圖pr2gxr2x2 dx4分0r22（22分grrx）0x d12223r分g （rx）20312 g r31分3b2 ( x) dx13.（本題8 分）設(shè) f ( x)在 a, b 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)， f ( a)f (b) 0f，且 a，b試求 axf ( x) f ( x)dx.yxbb分解：xf (x) f (x)dxxf ( x)df (x)a2a1bxdf2(x)分2a2=xf2b1bf2分(x) a2a(

11、 x) dx 2=011分222yln x 的切線，該切線與曲線y ln x 及 x 軸圍成平4. （本題 8分）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線面圖形 d.(3)(3)求 d 的面積 a;(4)(4)求 d 繞直線 xe旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 v.y解 ： (1)設(shè) 切 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 為 x0 ， 則 曲 線yln x 在點(diǎn) ( x0 , ln x0 ) 處的切線方程是1y ln x01 ( x x0 ).dx0-1分o1ex由該切線過(guò)原點(diǎn)知ln x0 10 ，從而 x0e.所以該切線的方程為y1 x.e-1 分平面圖形 d 的面積a1ey)dy1 e 1.(ey02-2 分y1 xe 所圍成的三角

12、形繞直線x e 旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為（2） 切線e與 x 軸及直線 xv1 1e2 .-23分曲線 yln x 與 x 軸及直線 xe 所圍成的圖形繞直線x e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為v21(eey )2 dy0，-1 分因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為vv1v21e21(eey )2 dy(5e212e3).036-1分五、證明題（本題共1 小題，共7 分） .1. 證明對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x ， ex1x .ex1 xex21 x解法一：2解法二：設(shè) f ( x) exx1. 則 f (0)0. -1分因?yàn)?f ( x)ex1.-1 分當(dāng) x0 時(shí)， f( x)0.f ( x) 單調(diào)增加， f ( x)f (0)0. -2分當(dāng) x0 時(shí)， f(