概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第1章 隨機(jī)事件與概率2

1、1.2 等可能概型 在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小通常用區(qū)間0，1中的一個(gè)數(shù)來(lái)刻劃，這個(gè)數(shù)值稱為概率。事件 的概率分別記作 作為事件的兩個(gè)特殊情況；必然事件 與不可能事件 規(guī)定為,一、古典概型 一般地，我們稱具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型為古典概型： （i）試驗(yàn)的樣本空間 是個(gè)有限集，不妨記作 （ii）每個(gè)樣本點(diǎn)在一次試驗(yàn)中以相等的可能性出現(xiàn)，即,古典概型是概率論發(fā)展初期的主要研究對(duì)象。在古典概型中，如果事件A中包含 個(gè)樣本點(diǎn)，那么規(guī)定 用這種方法算得的概率稱為古典概率。 例1 把一枚均勻硬幣連拋兩次，設(shè)事件A表示“出現(xiàn)兩個(gè)正面”，事件B表示“

2、出現(xiàn)兩個(gè)相同的面”，試求P(A)與P(B)。,解：把一枚硬幣連拋兩次看作一次試驗(yàn)，依次出現(xiàn)的向上的面看作一個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間 正正，正反，反正，反反 這是一個(gè)古典概型，且 ，從而可算得： 在例1中，如果取樣本空間為 兩正，一正一反，兩反，就不能按古典概率公式來(lái)計(jì)算概率了，因?yàn)楦鱾€(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性并不相等。,使用古典概率計(jì)算公式，要涉及計(jì)數(shù)運(yùn)算。當(dāng)樣本空間中元素較多時(shí)，需要用初等數(shù)學(xué)中有關(guān)排列組合的知識(shí)。 從 個(gè)不同的元素中取出 個(gè)進(jìn)行排列，這時(shí)既要考慮取出的元素，又要顧及其取出的順序，這種排列可分兩種： （1）有放回的選?。浩渑帕锌倲?shù)有 種； （2）不放回的選取時(shí)其排列總數(shù)為,我們來(lái)定義一個(gè)

3、記號(hào)，它是組合數(shù)的推廣。規(guī)定 其中， 是自然數(shù)。容易驗(yàn)證，當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 恰是從 個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)。,例2一個(gè)盒子中裝有10只晶體管，其中3只是不合格品。從這個(gè)盒子中依次隨機(jī)地取2只晶體管，在下列兩種情形下分別求出兩只晶體管中恰有一只是不合格品的概率： (1)有放回抽樣 第一次取出1只晶體管，作測(cè)試后放回盒子中，第二次再?gòu)暮凶又腥?只晶體管； (2)無(wú)放回抽樣 第一次取出1只晶體管，作測(cè)試后不放回盒子中，第二次再?gòu)暮凶又腥?只晶體管。,解 設(shè)事件A表示“兩只晶體管中恰有1只是不合格品”。按照古典概率的計(jì)算公式： (1) 有放回的抽樣 (2) 不放回的抽樣,思考（1）

4、按組合的方法計(jì)算第二問(wèn)的概率是多少？ （2）僅僅求第二次抽到次品的概率是多少？它與是否又放回有關(guān)嗎？ 第一個(gè)問(wèn)題很容易，由組合的計(jì)算公式 這表明用兩種不同觀點(diǎn)來(lái)看待無(wú)放回抽樣得到的概率是一樣的。注意這兩種不同觀點(diǎn)下的樣本點(diǎn)及樣本空間是不同的。 第二個(gè)問(wèn)題的回答是：無(wú)關(guān)。,例3 從1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字中隨機(jī)地取出三個(gè)數(shù)，求這三個(gè)數(shù)字中恰有一個(gè)為奇數(shù)的概率。 解 設(shè)事件A表示“這三個(gè)數(shù)字中恰有一個(gè)為奇數(shù)”，任意的取出三個(gè)數(shù)字作為一組視作一個(gè)基本事件，易見(jiàn)，樣本空間中僅含有限個(gè)元素，由于是隨機(jī)抽取，因此每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都相等。 按照古典概率的計(jì)算公式,例把甲、乙、丙名學(xué)生依次隨機(jī)地分配到

5、間宿舍中去，假定每間宿舍最多可住人，試求這名學(xué)生住在不同宿舍的概率 解設(shè)事件表示“這名學(xué)生住在不同的宿舍”，對(duì)學(xué)生甲有種分配方案，甲分配之后，為了使甲、乙不住同一宿舍，對(duì)學(xué)生乙只有種分配方案；類似地，對(duì)學(xué)生丙只有種分配方案。于是,二、幾何概型 一般地，假定樣本空間 是某個(gè)區(qū)域（可以是一維的，也可以是二維、三維的），每個(gè)樣本點(diǎn)等可能地出現(xiàn)，我們規(guī)定事件A的概率為 這里m()在一維的情形下表示長(zhǎng)度，在二維的情形下表示面積，在三維的情形下表示體積。用這種方法得到的概率稱為幾何概率。,例5（相遇問(wèn)題） 甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)。試求這兩艘船中至少有一

6、艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率。 解 把一晝夜這一時(shí)間段以小時(shí)為單位記作 ，設(shè)分別表示甲、乙兩艘船到達(dá)泊位的時(shí)刻（單位：小時(shí)）。于是， 表示一個(gè)樣本點(diǎn)。樣本空間,設(shè)事件A表示“這兩艘船中至少有一艘在?？坎粫r(shí)必須等待”。事件A也可以等價(jià)地表示為“這兩艘船到達(dá)泊位的時(shí)間差不超過(guò)6小時(shí)”，即 按照幾何概率的計(jì)算公式：,思考 在例中，如果事件B表示“甲、乙兩船同時(shí)到達(dá)該泊位”，那么，由 得到 ，從而 。但是，生活常識(shí)告訴我們，B是可能發(fā)生的，即 。這表明：概率為零的事件不一定是不可能事件。類似地，概率為1的事件不一定是必然事件。即 反之,例6 在一張打上方格的紙上投一枚半徑為1的均勻硬幣，問(wèn)方格的邊長(zhǎng)

7、為多少時(shí)，才能使硬幣與線不相交的概率為4%.,解 設(shè)事件A表示“硬幣與線不相交”，要使硬幣與線不相交，必使硬幣落在陰影正方形內(nèi)，假設(shè)正方形OACB的邊長(zhǎng)為a，小陰影正方形的邊長(zhǎng)為a-2，由幾何概率的計(jì)算公式： 解方程得,三、貝特朗奇論 例7 在單位圓O上隨機(jī)地畫(huà)一根弦，試求此弦的長(zhǎng)度超過(guò)該圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率。 （1） （2） （3）,解法（1）設(shè)事件M表示“弦長(zhǎng)超過(guò)圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)”,事件M也可以等價(jià)地表示為“點(diǎn)B落在弧CD上”。而弧CD正好是圓周長(zhǎng)的1/3， 按照幾何概率的計(jì)算公式：,解法（2） 設(shè)事件N表示“弦長(zhǎng)超過(guò)圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)”，AB為隨機(jī)畫(huà)的弦，G為AB的中點(diǎn)，過(guò)G

8、與AB垂直畫(huà)一條弦CD，事件N也可以等價(jià)地表示為“點(diǎn)G落在直徑CD上的EF段”，而EF正好是直徑CD的1/2， 按照幾何概率的計(jì)算公式：,解法（3） 設(shè)事件O表示“弦長(zhǎng)超過(guò)圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)”,內(nèi)圓為該內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓，AB為隨機(jī)畫(huà)的弦，C為AB的中點(diǎn)，事件O也可以等價(jià)地表示為“點(diǎn)C落在內(nèi)圓上”，而內(nèi)圓直徑正好是外圓直徑的1/2，即其面積是外圓的1/4， 按照幾何概率的計(jì)算公式：,1.3 頻率與概率 概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的一種量度，度量的方式是否符合實(shí)際應(yīng)該由實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)。通常稱： 為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，其中 表示事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，即頻數(shù)。以擲硬幣為例

9、，歷史上不少人做了試驗(yàn)，得到了許多數(shù),據(jù)，限于篇幅，下面列出三組數(shù)據(jù)： 試驗(yàn)者 試驗(yàn)次數(shù)n 出現(xiàn)正面的頻數(shù) 出現(xiàn)正面的頻率 蒲豐 4040 2048 0.5069 K.皮爾遜 12000 6019 0.5016 K.皮爾遜 24000 12012 0.5005 從這三組數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)，頻率 的值在0.5附近，并且隨著n的增大它逐漸穩(wěn)定到0.5這個(gè)數(shù)值上。因而，概率P(A)=0.5的確反映了拋起一枚均勻硬幣時(shí)出現(xiàn)正面這一事件發(fā)生的可能性的大小。,人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，雖然一個(gè)隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的頻率卻具有穩(wěn)定性，這種穩(wěn)定

10、性正是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的反映。頻率的穩(wěn)定性提供了一般地定義事件概率的一個(gè)客觀基礎(chǔ)。 頻率的穩(wěn)定性在理論上已經(jīng)被證明，有關(guān)的內(nèi)容我們將在5.1中作介紹。,頻率的穩(wěn)定性不斷被人類的實(shí)踐活動(dòng)所證實(shí)。例如，英語(yǔ)中英文字母出現(xiàn)的頻率也具有穩(wěn)定性。E、T、O之類的字母出現(xiàn)的頻率較高，而J、Q、Z之類的字母出現(xiàn)的頻率較低。這個(gè)規(guī)律對(duì)于電腦鍵盤(pán)的設(shè)計(jì)、印刷鉛字的鑄造、信息的編碼（常用字母用較短的碼）、密碼的破譯等等都是十分有用的。,對(duì)于任意一個(gè)事件A，n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率隨著n的增大將穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)表現(xiàn)為事件A的一種屬性。稱這個(gè)常數(shù)為事件A的概率的統(tǒng)計(jì)定義。在具體問(wèn)題中，按統(tǒng)計(jì)定義來(lái)求出概率是不現(xiàn)實(shí)的。因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)往往就簡(jiǎn)單地把頻率當(dāng)作概率來(lái)近似地使用。,例8 為了設(shè)計(jì)某路口向左轉(zhuǎn)彎的汽車候車道，在每天交通最繁忙的時(shí)間（上午9時(shí)）觀測(cè)候車數(shù)，共觀測(cè)了6