小學(xué)奧數(shù)幾何五大模型之蝴蝶模型與相似模型

1、任意四邊形、梯形與相似模型例題精講板塊一 任意四邊形模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系【例 1】 (小數(shù)報(bào)競(jìng)賽活動(dòng)試題)如圖，某公園的外輪廓是四邊形abcd，被對(duì)角線ac、bd分成四個(gè)部分，aob面積為1平方千米，boc面積為2平方千米，cod的面積為3平方千米，公園由陸地面積是692平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【分析】 根據(jù)蝴蝶定理求得平方千米，公園四邊形的面積是平方千米，所以人

2、工湖的面積是平方千米【鞏固】如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：三角形的面積；？【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，那么；根據(jù)蝴蝶定理， (？)【例 2】 四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)(如圖所示)如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，那么的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的_倍 【解析】 在本題中，四邊形為任意四邊形，對(duì)于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形看到題目中給出條件，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個(gè)中介

3、來改造這個(gè)”不良四邊形”，于是可以作垂直于，垂直于，面積比轉(zhuǎn)化為高之比再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果請(qǐng)老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會(huì)到蝴蝶定理的優(yōu)勢(shì)，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題解法一：，解法二：作于，于，【例 3】 如圖，平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，、的面積依次是2、4、4和6求：求的面積；求的面積【解析】 根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為；由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為，根據(jù)蝴蝶定理，所以，那么【例 4】 圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的面積分別是6公頃和7公頃那

4、么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？【解析】 在，中有，所以， 的面積比為同理有，的面積比為所以有=，也就是說在所有凸四邊形中，連接頂點(diǎn)得到2條對(duì)角線，有圖形分成上、下、左、右4個(gè)部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積 即=，所以有與的面積比為，=公頃，=公頃 顯然，最大的三角形的面積為21公頃【例 5】 (2008年清華附中入學(xué)測(cè)試題)如圖相鄰兩個(gè)格點(diǎn)間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為 【解析】 連接、則可根據(jù)格點(diǎn)面積公式，可以得到的面積為：，的面積為：，的面積為：所以，所以【鞏固】如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都是1，求三角形的面積【解析】 因?yàn)椋?，所以，【?6】 (2007

5、年人大附中考題)如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形中，求三角形的面積 【解析】 連接因?yàn)?，所以因?yàn)椋鶕?jù)蝴蝶定理，所以所以，即三角形的面積是【例 7】 如圖，長(zhǎng)方形中，三角形的面積為平方厘米，求長(zhǎng)方形的面積 【解析】 連接，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以平方厘米，所以平方厘米因?yàn)椋蚤L(zhǎng)方形的面積是平方厘米【例 8】 如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求三角形的面積 【解析】 設(shè)與的交點(diǎn)為，連接、由蝴蝶定理可知，而，所以，故 由于為中點(diǎn)，所以，故，由蝴蝶定理可知，所以，那么（平方厘米）【例 9】 如圖，在中，已知、分別在邊、上，與相交于,若、和的面積分別是3、2、1，則的面積是 【解析】 這

6、道題給出的條件較少，需要運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來求解根據(jù)蝴蝶定理得 設(shè)，根據(jù)共邊定理我們可以得，解得【例 10】 (2009年迎春杯初賽六年級(jí))正六邊形的面積是2009平方厘米，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米 【解析】 如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，則圖中空白部分由個(gè)與一樣大小的三角形組成，只要求出了的面積，就可以求出空白部分面積，進(jìn)而求出陰影部分面積連接、設(shè)的面積為”“，則面積為”“，面積為”“，那么面積為的倍，為”“，梯形的面積為，的面積為”“，的面積為根據(jù)蝴蝶定理，故，所以，即的面積為梯形面積的，故為六邊形面積的，那么空白部分的面積為正六邊形面積的，所以陰影部分面積

7、為(平方厘米)板塊二 梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：；的對(duì)應(yīng)份數(shù)為梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果(具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說明)【例 11】 如圖，求梯形的面積【解析】 設(shè)為份，為份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以；又因?yàn)?，所以；那么，所以梯形面積，或者根據(jù)梯形蝴蝶定理，【鞏固】(2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營(yíng))如下圖，梯形的平行于，對(duì)角線，交于，已知與的面積分別為 平方厘米與平方厘米，那么梯形的面積是_平方厘米 【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，可得，再根據(jù)梯形蝴

8、蝶定理，所以(平方厘米)那么梯形的面積為(平方厘米)【例 12】 梯形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，已知梯形上底為2，且三角形的面積等于三角形面積的，求三角形與三角形的面積之比 【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，可以求出，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，通過利用已有幾何模型，我們輕松解決了這個(gè)問題，而沒有像以前一樣，為了某個(gè)條件的缺乏而千辛萬苦進(jìn)行構(gòu)造假設(shè)，所以，請(qǐng)同學(xué)們一定要牢記幾何模型的結(jié)論【例 13】 (第十屆華杯賽)如下圖，四邊形中，對(duì)角線和交于點(diǎn)，已知，并且，那么的長(zhǎng)是多少？【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，所以，又，所以【例 14】 梯形的下底是上底的倍，三角形的面積是，問三角形的面積是多少？【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，

9、所以【鞏固】如圖，梯形中，、的面積分別為和，求梯形的面積【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以， 【例 15】 如下圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形的面積是，三角形的面積是，求四邊形的面積【解析】 如圖，連結(jié)ef，顯然四邊形adef和四邊形bcef都是梯形，于是我們可以得到三角形efg的面積等于三角形adg的面積；三角形bch的面積等于三角形efh的面積，所以四邊形egfh的面積是【鞏固】(人大附中入學(xué)測(cè)試題)如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為_ 【解析】 做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，

10、其面積正好等于三角形1和三角形3，所以1的面積就是，3的面積就是【例 16】 如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點(diǎn)求圖中陰影部分的面積【解析】 因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道，設(shè)份，則 份，所以正方形的面積為份，份，所以，所以平方厘米【鞏固】在下圖的正方形中，是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是 平方厘米【解析】 連接，根據(jù)題意可知，根據(jù)蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)【例 17】 如圖面積為平方厘米的正方形中，是邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積【解析】 因?yàn)槭沁吷系娜确贮c(diǎn)，所以，設(shè)份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道份，份，

11、份，因此正方形的面積為份，所以，所以平方厘米【例 18】 如圖，在長(zhǎng)方形中，厘米，厘米，求陰影部分的面積【解析】 方法一：如圖，連接，將陰影部分的面積分為兩個(gè)部分，其中三角形的面積為平方厘米由于，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以，而平方厘米，所以平方厘米，陰影部分的面積為平方厘米方法二：如圖，連接，由于，設(shè)份，根據(jù)梯形蝴蝶定理， 份，份，份，因此份，份，而平方厘米，所以平方厘米【例 19】 (2008年”奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級(jí)試題)已知是平行四邊形，三角形的面積為6平方厘米則陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 連接由于是平行四邊形，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，陰影部

12、分面積為(平方厘米)【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米 【分析】 連接由于與是平行的，所以也是梯形，那么根據(jù)蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)【鞏固】(2008年三帆中學(xué)考題)右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 連接由于與是平行的，所以也是梯形，那么根據(jù)蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)另解：在平行四邊形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為(平方厘米)【例 20】 如圖所示，、將長(zhǎng)方形分成4塊，的面積是5平方厘米，的面積是10平方厘米

13、問：四邊形的面積是多少平方厘米？ 【分析】 連接，根據(jù)梯形模型，可知三角形的面積和三角形的面積相等，即其面積也是10平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形的面積為(平方厘米)，所以長(zhǎng)方形的面積為(平方厘米)四邊形的面積為(平方厘米)【鞏固】如圖所示，、將長(zhǎng)方形分成4塊，的面積是4平方厘米，的面積是6平方厘米問：四邊形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 (法1)連接，根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形的面積和三角形的面積相等，即其面積也是6平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形的面積為(平方厘米)，所以長(zhǎng)方形的面積為(平方厘米)四邊形的面積為(平方厘米)(法2)由題意可知，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，所以三角

14、形的面積為：(平方厘米)則三角形面積為15平方厘米，長(zhǎng)方形面積為(平方厘米)四邊形的面積為(平方厘米)【鞏固】(98迎春杯初賽)如圖，長(zhǎng)方形中，陰影部分是直角三角形且面積為，的長(zhǎng)是， 的長(zhǎng)是.那么四邊形的面積是多少？【解析】 因?yàn)檫B接知道和的面積相等即為，又因?yàn)?所以的面積為，根據(jù)四邊形的對(duì)角線性質(zhì)知道：的面積為：，所以四邊形的面積為：(平方厘米).【例 21】 (2007年”迎春杯”高年級(jí)初賽)如圖，長(zhǎng)方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_平方厘米 【解析】 連接、四邊形為梯形，所以，又根據(jù)蝴蝶定理，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)那么長(zhǎng)

15、方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)【例 22】 (98迎春杯初賽)如圖，長(zhǎng)方形中，是直角三角形且面積為54，的長(zhǎng)是16，的長(zhǎng)是9那么四邊形的面積是 【解析】 解法一：連接，依題意，所以，則又因?yàn)?，所以，得，所?解法二：由于，所以，而，根據(jù)蝴蝶定理，所以，所以【例 23】 如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交于點(diǎn)已知正方形的面積48，則的面積是多少？【解析】 由于是正方形，所以與平行，那么四邊形是梯形在梯形中，和的面積是相等的而，所以的面積是面積的，那么的面積也是面積的由于是等腰直角三角形，如果過作的垂線，為垂足，那么是的中點(diǎn)，而且，可見和的面積都等于正方形面積的一半，所

16、以的面積與正方形的面積相等，為48那么的面積為【例 24】 如圖所示，是梯形，面積是，的面積是9，的面積是27那么陰影面積是多少？【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，可以得到，而(等積變換)，所以可得，并且，而，所以陰影的面積是：【例 25】 如圖，正六邊形面積為，那么陰影部分面積為多少？【解析】 連接陰影圖形的長(zhǎng)對(duì)角線，此時(shí)六邊形被平分為兩半，根據(jù)六邊形的特殊性質(zhì)，和梯形蝴蝶定理把六邊形分為十八份，陰影部分占了其中八份，所以陰影部分的面積【例 26】 如圖，已知是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)三角形由這6部分組成，其中比多6平方厘米那么三角形的面積是多少平方厘米？【解析】 因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，有且平行于，

17、則四邊形為梯形在梯形中有=，=，：=： =4又已知-=6，所以=，=，所以=16，而=，所以=4，梯形的面積為、四塊圖形的面積和，為有與的面積比為平方與平方的比，即為1:4所以面積為梯形面積的=，即為因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以與的面積相等，而的面積為、的面積和，即為平方厘米三角形的面積為48平方厘米【例 27】 如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形中，放入一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為 【解析】 本題中小正方形的位置不確定，所以可以通過取特殊值的方法來快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理來解決一般情況解法一

18、：取特殊值，使得兩個(gè)正方形的中心相重合，如右圖所示，圖中四個(gè)空白三角形的高均為，因此空白處的總面積為，陰影部分的面積為解法二：連接兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，可以得到四個(gè)梯形，這四個(gè)梯形的上底都為2，下底都為6，上底、下底之比為，根據(jù)梯形蝴蝶定理，這四個(gè)梯形每個(gè)梯形中的四個(gè)小三角形的面積之比為，所以每個(gè)梯形中的空白三角形占該梯形面積的，陰影部分的面積占該梯形面積的，所以陰影部分的總面積是四個(gè)梯形面積之和的，那么陰影部分的面積為【例 28】 如圖，在正方形中，、分別在與上，且，連接、，相交于點(diǎn)，過作、得到兩個(gè)正方形和，設(shè)正方形的面積為，正方形的面積為，則_ 【解析】 連接、設(shè)正方形邊長(zhǎng)為3，則，所以，

19、因?yàn)?，所以由梯形蝴蝶定理，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，由于底邊上的高即為正方形的邊長(zhǎng)，所以，所以，則【例 29】 如下圖，在梯形中，與平行，且，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)，已知陰影四邊形的面積是54平方厘米，則梯形的面積是 平方厘米【解析】 連接，可以把大梯形看成是兩個(gè)小梯形疊放在一起，應(yīng)用梯形蝴蝶定理，可以確定其中各個(gè)小三角形之間的比例關(guān)系，應(yīng)用比例即可求出梯形面積設(shè)梯形的上底為，總面積為則下底為，所以，由于梯形和梯形的高相等，所以，故，根據(jù)梯形蝴蝶定理，梯形內(nèi)各三角形的面積之比為，所以；同理可得，所以，由于平方厘米，所以(平方厘米)【例 30】 (2006年“迎春杯”高年級(jí)組決賽)下圖中，四邊形都

20、是邊長(zhǎng)為1的正方形，、分別是，的中點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么，的值等于 【解析】 左、右兩個(gè)圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積如下圖所示，在左圖中連接設(shè)與的交點(diǎn)為左圖中為長(zhǎng)方形，可知的面積為長(zhǎng)方形面積的，所以三角形的面積為又左圖中四個(gè)空白三角形的面積是相等的，所以左圖中陰影部分的面積為如上圖所示，在右圖中連接、設(shè)、的交點(diǎn)為可知且那么三角形的面積為三角形面積的，所以三角形 的面積為，梯形的面積為在梯形中，由于，根據(jù)梯形蝴蝶定理，其四部分的面積比為：，所以三

21、角形的面積為，那么四邊形的面積為而右圖中四個(gè)空白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為，即，那么板塊三 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間

22、的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形【例 31】 如圖，已知在平行四邊形中，那么的長(zhǎng)度是多少？【解析】 圖中有一個(gè)沙漏，也有金字塔，但我們用沙漏就能解決問題，因?yàn)槠叫杏?，所以，所以【?32】 如圖，測(cè)量小玻璃管口徑的量具，的長(zhǎng)為厘米，被分為等份如果小玻璃管口正好對(duì)著量具上等份處(平行)，那么小玻璃管口徑是多大？ 【解析】 有一個(gè)金字塔模型，所以，所以厘米【例 33】 如圖，平行，若，那么_【解析】 根據(jù)金字塔模型，設(shè)份，則份，份，所以【例 34】 如圖， 中，互相平行，則 【解析】 設(shè)份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，所以，因此份，份，進(jìn)而

23、有份，份，所以【鞏固】如圖，平行，且，求的長(zhǎng)【解析】 由金字塔模型得，所以【鞏固】如圖， 中，互相平行，則 【解析】 設(shè)份，因此份，進(jìn)而有份，同理有份，份，份所以有【總結(jié)】繼續(xù)拓展，我們得到一個(gè)規(guī)律：平行線等分線段后，所分出來的圖形的面積成等差數(shù)列【例 35】 已知中，平行，若，且比大，求【解析】 根據(jù)金字塔模型，設(shè)份，則份，份，比大份，恰好是，所以【例 36】 如圖：平行， ，求的長(zhǎng)度【解析】 在沙漏模型中，因?yàn)?，所以，在金字塔模型中有：，因?yàn)?，所以【鞏固】如圖，已知平行，那么_【解析】 由沙漏模型得，再由金字塔模型得【例 37】 如圖，中，與平行，的面積是1平方厘米那么的面積是 平方厘米【

24、解析】 因?yàn)?，與平行，根據(jù)相似模型可知，平方厘米，則平方厘米，又因?yàn)?，所?平方厘米)【例 38】 在圖中的正方形中，分別是所在邊的中點(diǎn)，的面積是面積的幾倍？ 【解析】 連接，易知，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知，且，所以的面積等于的面積；由可得，所以，即的面積是面積的3倍【例 39】 如圖，線段與垂直，已知，那么圖中陰影部分面積是多少？ 【解析】 解法一：這個(gè)圖是個(gè)對(duì)稱圖形，且各邊長(zhǎng)度已經(jīng)給出，不妨連接這個(gè)圖形的對(duì)稱軸看看作輔助線，則圖形關(guān)于對(duì)稱，有，且 設(shè)的面積為2份，則的面積為3份，直角三角形的面積為8份因?yàn)?，而陰影部分的面積為4份，所以陰影部分的面積為解法二：連接、由于，所以，根據(jù)相似三角形

25、性質(zhì)，可知，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以，即；又，所以【例 40】 (年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽)如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，則四邊形的面積_【解析】 因?yàn)闉槠叫兴倪呅危裕詾槠叫兴倪呅危敲矗杂郑?，根?jù)沙漏模型，所以【例 41】 已知三角形的面積為，是的中點(diǎn)，且，交于，求陰影部分的面積 【解析】 已知，且，利用相似三角形性質(zhì)可知，所以，且又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是三角形的中位線，那么，所以，可得，所以，那么【例 42】 已知正方形，過的直線分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，且，求正方形的邊長(zhǎng)【解析】 方法一：本題有兩個(gè)金字塔模型，根據(jù)這兩個(gè)模型有，設(shè)正方形的

26、邊長(zhǎng)為，所以有，即，解得，所以正方形的邊長(zhǎng)為方法二：或根據(jù)一個(gè)金字塔列方程即，解得【例 43】 如圖，三角形是一塊銳角三角形余料，邊毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？ 【解析】 觀察圖中有金字塔模型個(gè)，用與已知邊有關(guān)系的兩個(gè)金字塔模型，所以有，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為毫米，即，解得，即正方形的邊長(zhǎng)為毫米【鞏固】如圖，在中，有長(zhǎng)方形，、在上，、分別在、上，是 邊的高，交于，厘米，厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬【解析】 觀察圖中有金字塔模型個(gè)，用與已知邊有關(guān)系的兩個(gè)金字塔模型，所以，所以有，設(shè)，則，所以有，解得，因此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是厘

27、米，厘米【例 44】 圖中是邊長(zhǎng)為的正方形，從到正方形頂點(diǎn)、連成一個(gè)三角形，已知這個(gè)三角形在上截得的長(zhǎng)度為，那么三角形的面積是多少？ 【解析】 根據(jù)題中條件，可以直接判斷出與平行，從而三角形與三角形相似，這樣，就可以采用相似三角形性質(zhì)來解決問題做垂直于，交于因?yàn)?，所以三角形與三角形相似，且相似比為，所以，又因?yàn)?，所以，所以三角形的面積為【例 45】 如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形兩邊長(zhǎng)分別延長(zhǎng)和，割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積是多少？【解析】 根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例有：；，則， 【例 46】 (2008年101中學(xué)考題)圖中的大小正方形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)(厘米)，它們的面積之和等于52平方

28、厘米，則陰影部分的面積是 【解析】 設(shè)大、小正方形的邊長(zhǎng)分別為厘米、厘米()，則，所以若，則，不合題意，所以只能為6或7檢驗(yàn)可知只有、滿足題意，所以大、小正方形的邊長(zhǎng)分別為6厘米和4厘米根據(jù)相似三角形性質(zhì)，而，得(厘米)，所以陰影部分的面積為：(平方厘米)【例 47】 如圖，是矩形一條對(duì)角線的中點(diǎn)，圖中已經(jīng)標(biāo)出兩個(gè)三角形的面積為和，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？【解析】 連接,面積為的三角形占了矩形面積的，所以,所以,所以,由三角形相似可得陰影部分面積為【例 48】 已知長(zhǎng)方形的面積為厘米，是的中點(diǎn)，、是邊上的三等分點(diǎn)，求陰影的面積是多少厘米？ 【解析】 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，、是邊上的三

29、等分點(diǎn)，由此可以說明如果把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)分成份的話，那么份、份，大家能在圖形中找到沙漏和：有，所以，相當(dāng)于把分成()份，同理也可以在圖中在次找到沙漏：和也是沙漏，由此可以推出：, 相當(dāng)于把分成()份，那么我們就可以把分成份(和的最小公倍數(shù))其中占份，占份，占份，連接則可知的面積為，在為底的三角形中占份，則面積為：(平方厘米).【例 49】 是平行四邊形，面積為72平方厘米，、分別為、的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為 平方厘米 【解析】 方法一：注意引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的中位線定理以及平行線的相關(guān)性質(zhì)設(shè)、分別為、的中點(diǎn)，連接、可得，對(duì)角線被、平均分成四段，又，所以，所以 (平方厘米)，(平方厘米)同理可

30、得平方厘米，平方厘米所以 (平方厘米)，于是，陰影部分的面積為(平方厘米)方法二：尋找圖中的沙漏，因此為的三等分點(diǎn)，(平方厘米)，(平方厘米)，同理(平方厘米)，所以(平方厘米)【例 50】 如圖，三角形的面積是8平方厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6厘米，寬是4厘米，是的中點(diǎn)，則三角形的面積是 平方厘米 【解析】 本題在矩形內(nèi)連接三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，而且其中一點(diǎn)是矩形某一條邊的中點(diǎn)，一般需要通過這一點(diǎn)做垂線取的中點(diǎn)，連接，設(shè)交于則三角形被分成兩個(gè)三角形，而且這兩個(gè)三角形有公共的底邊，可知三角形的面積等于(平方厘米)，所以(厘米)，那么(厘米)因?yàn)槭侨切蔚闹形痪€，所以(厘米)，所以三角形的面積為 (平方厘

31、米)【例 51】 如圖，長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，與、分別交于、，垂直于，交于，已知，求【解析】 由于，利用相似三角形性質(zhì)可以得到，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，那么有，所以，利用相似三角形性質(zhì)可以得到，而，所以【例 52】 右圖中正方形的面積為1， 、分別為、的中點(diǎn)，求陰影部分的面積 【解析】 題中條件給出的都是比例關(guān)系，由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過比例求解，而圖中出現(xiàn)最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性質(zhì)陰影部分為三角形，已知底邊為正方形邊長(zhǎng)的一半，只要求出高，便可求出面積 可以作垂直于，垂直于根據(jù)相似三角形性質(zhì)，又因?yàn)?，所以，即，所以【?53】 梯形的面積為12，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線

32、與交于，四邊形 的面積是 【解析】 延長(zhǎng)、相交于由于為的中點(diǎn)，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)，而，所以，又，所以【例 54】 如圖，三角形的面積為60平方厘米，、分別為各邊的中點(diǎn)，那么陰影部分的面積是 平方厘米 【解析】 陰影部分是一個(gè)不規(guī)則的四邊形，不方便直接求面積，可以將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積之差而從圖中來看，既可以轉(zhuǎn)化為與的面積之差，又可以轉(zhuǎn)化為與的面積之差(法1)如圖，連接由于、分別為各邊的中點(diǎn)，那么為平行四邊形，且面積為三角形面積的一半，即30平方厘米；那么的面積為平行四邊形面積的一半，為15平方厘米根據(jù)幾何五大模型中的相似模型，由于為三角形的中位線，長(zhǎng)度為的一半，則，所以；，所以那么的面積占面積的，所以陰影部分面積為(平方厘米)(法2)如圖，連接根據(jù)燕尾定理，所以平方厘米，而平方厘米，所以平方厘米，那么陰影部分面積為(平方厘米)【總結(jié)】求三角形的面積，