人教版高中數(shù)學(xué)【選修1-2】[知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理]_《《推理與證明》全章復(fù)習(xí)與鞏固(文)

1、精品文檔用心整理人教版高中數(shù)學(xué)選修1-2知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)推理與證明全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解合情推理的含義，能利用歸納推理和類比推理等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；掌握演繹推理的基本模式；體會(huì)它們的重要性，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理；2.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異；3.了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程和特點(diǎn)；4.了解間接證明的一種基本方法：反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：有關(guān)推理概念歸納推理：又稱歸納法，是從特殊到一般、部分到整體的推理根據(jù)歸納對(duì)象是否完備，分為完全歸納法和不完全歸納法

2、完全歸納法是根據(jù)某類事物中的每一個(gè)對(duì)象或每一個(gè)子類的情況作出的關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理；不完全歸納法是根據(jù)某類事物中的一部分對(duì)象具有某種特征而作出該類事物都具有這一特征的一般性結(jié)論的推理由于僅列舉了歸納對(duì)象中的一小部分，因此得出的結(jié)論與前提未必有必然的聯(lián)系，故其結(jié)論未必正確，必須經(jīng)過(guò)理論的證明和實(shí)踐的檢驗(yàn)類比推理：又稱類比法，是由特殊到特殊的推理這是由兩系統(tǒng)的已知屬性，通過(guò)比較、聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)未知屬性的資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理“開拓型”“發(fā)散型”思維方式和歸納推理一樣，能由已知推測(cè)未知，推理的結(jié)論也不一定為真，有待進(jìn)一步證明，通常情況下，類比的相似性越多，類比得出的結(jié)論

3、就越可靠演繹推理：又稱演繹法是從一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)證明中的基本推理形式演繹推理的結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中它是“封閉型”的思維方法，只要前提真實(shí)，邏輯形式正確，則結(jié)論必然真實(shí)，但由它一般不能取得突破性進(jìn)展故合情推理與演繹推理各有側(cè)重，相輔相成合情推理有助于發(fā)現(xiàn)新事物、新結(jié)論、新規(guī)律，演繹推理保證結(jié)論的可靠性，去偽存真要點(diǎn)詮釋：演繹推理更注重推理的形式規(guī)則，常見的有假言推理、關(guān)系推理、三段論推理三段論推理：其一般形式為：大前提：所有m都是p；小前提：s是m；結(jié)論：s是p要點(diǎn)二：有關(guān)證明方法綜合法綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的

4、證明方法，是數(shù)學(xué)推理證明中的主要方法即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待征結(jié)論或需求問(wèn)題如果要證明的命題是pq，那么證明步驟用符號(hào)表示為p(已知)pppq123分析法分析法就是從待征結(jié)論出發(fā)，一步一步探索下去，尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)用分析法證明的邏輯關(guān)系：q(結(jié)論)ppppp(已知)n321要點(diǎn)詮釋：綜合法和分析法是兩種思路截然相反的證明方法，應(yīng)用綜合法證明問(wèn)題時(shí)，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難在實(shí)際證明問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法綜合起來(lái)使用，轉(zhuǎn)換解題思路，增加解題途徑間接證法間接證法不是從正面確定論題的真實(shí)性

5、，而是證明它的反論題為假或改證它的等價(jià)命題為真，間接達(dá)到目的反證法就是間接證法的一種反證法證題步驟為：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證得出矛盾資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用【變式】在平面幾何中，abc的內(nèi)角平分線ce分ab所成線段的比為ae精品文檔用心整理(3)由矛盾判斷假設(shè)不成立從而肯定命題的結(jié)論成立反證法導(dǎo)出矛盾常見的有以下幾種情況：導(dǎo)出非p為真，即與原命題的條件矛盾導(dǎo)出q為真，即與假設(shè)“非q為真”矛盾導(dǎo)出一個(gè)與定義、公理、定理等矛盾的命題要點(diǎn)詮釋：反證法的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的等價(jià)性，從邏輯角度看，命題“若p則q”的否定是“若p則q”，

6、由此進(jìn)行推理，如果發(fā)生矛盾，那么就說(shuō)明“若p則q”為假，從而可以導(dǎo)出“若p則q”為真，從而達(dá)到證明的目的，反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn)，它所反映出的“正難則反”的解決問(wèn)題的思想方法更為重要反證法主要證明：否定性，唯一性命題；至多，至少型問(wèn)題；幾何問(wèn)題【典型例題】類型一：合情推理與演繹推理例1.平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件_；充要條件_(寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件)【思路點(diǎn)撥】由平面幾何圖形的性質(zhì)類比立體幾何圖形的性質(zhì)時(shí)要做到

7、點(diǎn)類比線、線類比面、面類比體【解析】?jī)山M相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)，底面是平行四邊形(填任意兩個(gè)即可)【總結(jié)升華】本題考查類比推理，其關(guān)鍵是掌握由平面幾何圖形的性質(zhì)類比立體幾何圖形的性質(zhì)時(shí)，元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系舉一反三：ac=，把這個(gè)結(jié)論類比ebcb到空間：在三棱錐abcd中(如圖所示)，面dec平分二面角acdb且與ab相交于e，則得到的類比的結(jié)論是_資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理=【答案】aesdacd.ebsdbcd【變式2】觀察圖中各正方形圖案，每條邊上有n2個(gè)圓點(diǎn)，第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)是sn按此規(guī)律推斷出s與n的關(guān)系式為_n【答案】s=(n

8、-1)4n【解析】依圖構(gòu)造規(guī)律可以看出：s=24-4，即四角四頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)數(shù)一次2s334-4(3-1)4；s444-4(4-1)4，猜想：sn=(n-1)4(n2，且nn+)例2.已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a0且a1)，若a(x1，y1)、b(x2，y2)(x1x2)是f(x)圖象上兩點(diǎn)，證明直線ab的斜率大于零【解析】當(dāng)a1時(shí)，y=ax是增函數(shù)，設(shè)0x1x2，則1ax1ax2，于是0ax1-1ax2-1，故log(ax1-1)log(ax2-1)，即yax21，于是ax1-1ax2-10，故loga(ax1-1)0x-x12【總結(jié)升華】依題設(shè)函數(shù)特征，要直接由斜率公式求解不易證

9、出，但題設(shè)所給函數(shù)的單調(diào)性比較明確，資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理可利用遞增函數(shù)斜率一定大于零的性質(zhì)求解舉一反三：【變式】紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“”的面的方位是()a南b北c西d下【答案】b【解析】將所給圖形還原為正方體，如圖所示，最上面為，最左面為東，最里面為上，將正方體旋轉(zhuǎn)后讓東面指向東，讓“上”面向上可知“”的方位為北類型二：直接證明與間接證明例3.設(shè)a0，b0，a+b1，求證：【解析】證法一(綜合法)：a0，b0，a+b1，111+8abab1=a+b2

10、ab，ab11，ab，241ab4又1+=(a+b)+=2+4，111baababab+1118abab證法二(分析法)：a0，b0，要證111+8，abab資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理只需證1+18，即證+8，1a+babab1111abba即證11a+ba+b+4，即證+abab4，ba即證+2abba由基本不等式可知，當(dāng)a0，b0時(shí)，+2成立，所以原不等式成立ab【總結(jié)升華】本題既可用綜合法，也可用分析法來(lái)解，解題時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用舉一反三：【變式】求證：以過(guò)拋物線y2=2px(p0)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與直線x=-p2相切【答案】如圖所示，過(guò)a，b分別作aa，bb垂直準(zhǔn)線于

11、點(diǎn)a，b，取ab的中點(diǎn)m，作mm垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)m要證明以ab為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，只需證|mm|=12|ab|由拋物線的定義有|aa|=|af|，|bb|=|bf|，所以|ab|=|aa|+|bb|，因此只需證|mm|=12(|aa|+|bb|)根據(jù)梯形的中位線原理可知上式是成立的，所以以過(guò)拋物p線y2=2px焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與直線x=-相切2例4.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都有f(x)0，且f(x+y)=f(x)f(y)成立求證：對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有f(x)0【思路點(diǎn)撥】直接證明有些困難，考慮用反證法.【解析】假設(shè)滿足題設(shè)條件的任意x，f(x)0不成立，即存在某個(gè)x，有f(x)00

12、00f(x)，資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理又知f(x)=f0+0=f0222f0=f200f(x)00xxx0xx22這與假設(shè)f(x)0【總結(jié)升華】此題證明過(guò)程中，“對(duì)任意x，都有f(x)0”的否命題是：“存在x0，使f(x0)0”，而不是“對(duì)所有的x，都有f(x)0”，因此在應(yīng)用反證法時(shí)正確寫出結(jié)論的否定形式是很重要的舉一反三：【變式1】用反證法證明命題“23是無(wú)理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是()a假設(shè)2是有理數(shù)b假設(shè)3是有理數(shù)c假設(shè)2或3是有理數(shù)d假設(shè)23是有理數(shù)【答案】d【變式2】已知a、br，|a|+|b|1，求證：方程x2+ax+b=0的兩根的絕對(duì)值都小于1【答案】假設(shè)x是x2+ax+b=0的根，且|x|1，11由x2+ax+b=0得-11ab-xx211=1，所以ax1+bx21=1，21，所以|a|+|b|abab+xx2xx1111這與|a|+|b|1矛盾，故兩根絕對(duì)值都小于1【變式3】已知函數(shù)f(x)=1x，問(wèn)：是否存在這樣的正數(shù)a，使得對(duì)定義