動點與拋物線專題復(fù)習(xí)

1、時間就是金錢，效率就是生命！動點與拋物線專題復(fù)習(xí)一、平行四邊形與拋物線1、（2012欽州）如圖甲，在平面直角坐標系中，a、b的坐標分別為（4，0）、（0，3），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點b，且對稱軸是直線x=（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）將圖甲中abo沿x軸向左平移到dce（如圖乙），當(dāng)四邊形abcd是菱形時，請說明點c和點d都在該拋物線上；（3）在（2）中，若點m是拋物線上的一個動點（點m不與點c、d重合），經(jīng)過點m作mny軸交直線cd于n，設(shè)點m的橫坐標為t，mn的長度為l，求l與t之間的函數(shù)解析式，并求當(dāng)t為何值時，以m、n、c、e為頂點的四邊形是平行四邊形（參考公式：拋物線

2、y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標為（，），對稱軸是直線x=）2、（2012雞西）如圖，在平面直角坐標系中，已知rtaob的兩條直角邊oa、ob分別在y軸和x軸上，并且oa、ob的長分別是方程x27x+12=0的兩根（oaob），動點p從點a開始在線段ao上以每秒1個單位長度的速度向點0運動；同時，動點q從點b開始在線段ba上以每秒2個單位長度的速度向點a運動，設(shè)點p、q運動的時間為t秒（1）求a、b兩點的坐標（2）求當(dāng)t為何值時，apq與aob相似，并直接寫出此時點q的坐標（3）當(dāng)t=2時，在坐標平面內(nèi)，是否存在點m，使以a、p、q、m為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出m點的

3、坐標；若不存在，請說明理由3.（2012恩施州）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于a（1，0），c（2，3）兩點，與y軸交于點n其頂點為d（1）拋物線及直線ac的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點m（3，m），求使mn+md的值最小時m的值；（3）若拋物線的對稱軸與直線ac相交于點b，e為直線ac上的任意一點，過點e作efbd交拋物線于點f，以b，d，e，f為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點e的坐標；若不能，請說明理由；（4）若p是拋物線上位于直線ac上方的一個動點，求apc的面積的最大值二、 梯形與拋物線1、已知，在rtoab中，oab=90，boa=30，ab=2若以o為坐標原點

4、，oa所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點b在第一象限內(nèi)將rtoab沿ob折疊后，點a落在第一象限內(nèi)的點c處（1）求點c的坐標；（2）若拋物線y=ax2+bx（a0）經(jīng)過c、a兩點，求此拋物線的解析式；（3）若上述拋物線的對稱軸與ob交于點d，點p為線段db上一動點，過p作y軸的平行線，交拋物線于點m，問：是否存在這樣的點p，使得四邊形cdpm為等腰梯形？若存在，請求出此時點p的坐標；若不存在，請說明理由2、（2012泉州）如圖，o為坐標原點，直線l繞著點a（0，2）旋轉(zhuǎn)，與經(jīng)過點c（0，1）的二次函數(shù)y=x2+h的圖象交于不同的兩點p、q（1）求h的值；（2）通過操作、觀察，算出

5、poq的面積的最小值（不必說理）；（3）過點p、c作直線，與x軸交于點b，試問：在直線l的旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形aobq是否為梯形？若是，請說明理由；若不是，請指出四邊形的形狀3.（2012玉林）如圖，在平面直角坐標系xoy中，矩形aocd的頂點a的坐標是（0，4），現(xiàn)有兩動點p，q，點p從點o出發(fā)沿線段oc（不包括端點o，c）以每秒2個單位長度的速度勻速向點c運動，點q從點c出發(fā)沿線段cd（不包括端點c，d）以每秒1個單位長度的速度勻速向點d運動點p，q同時出發(fā)，同時停止，設(shè)運動時間為t（秒），當(dāng)t=2（秒）時，pq=2（1）求點d的坐標，并直接寫出t的取值范圍（2）連接aq并延長交x軸于點e，

6、把ae沿ad翻折交cd延長線于點f，連接ef，則aef的面積s是否隨t的變化而變化？若變化，求出s與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出s的值（3）在（2）的條件下，t為何值時，四邊形apqf是梯形？三、 等腰三角形、菱形與拋物線1、（2012龍巖）在平面直角坐標系xoy中，一塊含60角的三角板作如圖擺放，斜邊ab在x軸上，直角頂點c在y軸正半軸上，已知點a（1，0）（1）請直接寫出點b、c的坐標：b 、c ；并求經(jīng)過a、b、c三點的拋物線解析式；（2）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板def（其中edf=90，def=60），把頂點e放在線段ab上（點e是不與a、b兩點重合的動點），并使ed所在直線

7、經(jīng)過點c此時，ef所在直線與（1）中的拋物線交于點m設(shè)ae=x，當(dāng)x為何值時，oceobc；在的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點p使pem是等腰三角形？若存在，請寫出點p的坐標；若不存在，請說明理由3、（2012湛江）如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形aob的頂點a、b分別落在坐標軸上o為原點，點a的坐標為（6，0），點b的坐標為（0，8）動點m從點o出發(fā)沿oa向終點a以每秒1個單位的速度運動，同時動點n從點a出發(fā)，沿ab向終點b以每秒個單位的速度運動當(dāng)一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)動點m、n運動的時間為t秒（t0）（1）當(dāng)t=3秒時直接寫出點n的坐標，并求出經(jīng)過o、

8、a、n三點的拋物線的解析式；（2）在此運動的過程中，mna的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)t為何值時，mna是一個等腰三角形？4、如圖，直線l1經(jīng)過點a（1，0），直線l2經(jīng)過點b（3，0），l1、l2均為與y軸交于點c（0，），拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過a、b、c三點（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）拋物線的對稱軸依次與x軸交于點d、與l2交于點e、與拋物線交于點f、與l1交于點g求證：de=ef=fg；（3）若l1l2于y軸上的c點處，點p為拋物線上一動點，要使pcg為等腰三角形，請寫出符合條件的點p的坐標，并簡述理由5、如圖，在平面直

9、角坐標系中，直角梯形oabc的邊oc、oa分別與x軸、y軸重合，aboc，aoc=90，bco=45，bc=12，點c的坐標為（18，0）（1）求點b的坐標；（2）若直線de交梯形對角線bo于點d，交y軸于點e，且oe=4，od=2bd，求直線de的解析式；（3）若點p是（2）中直線de上的一個動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點q，使以o、e、p、q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點q的坐標；若不存在，請說明理由6、（2012鐵嶺）如圖，已知拋物線經(jīng)過原點o和x軸上一點a（4，0），拋物線頂點為e，它的對稱軸與x軸交于點d直線y=2x1經(jīng)過拋物線上一點b（2，m）且與y軸交于點c，與拋物線的

10、對稱軸交于點f（1）求m的值及該拋物線對應(yīng)的解析式；（2）p（x，y）是拋物線上的一點，若sadp=sadc，求出所有符合條件的點p的坐標；（3）點q是平面內(nèi)任意一點，點m從點f出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設(shè)點m的運動時間為t秒，是否能使以q、a、e、m四點為頂點的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點m的運動時間t的值；若不能，請說明理由四、 直角三角形與拋物線1、（2012廣州）如圖，拋物線y=與x軸交于a、b兩點（點a在點b的左側(cè)），與y軸交于點c（1）求點a、b的坐標；（2）設(shè)d為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當(dāng)acd的面積等于acb的面積時，求點d的坐標；（3）若

11、直線l過點e（4，0），m為直線l上的動點，當(dāng)以a、b、m為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式2、（2012河池）如圖，在等腰三角形abc中，ab=ac，以底邊bc的垂直平分線和bc所在的直線建立平面直角坐標系，拋物線y=x2+x+4經(jīng)過a、b兩點（1）寫出點a、點b的坐標；（2）若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移，分別交線段oa、ca和拋物線于點e、m和點p，連接pa、pb設(shè)直線l移動的時間為t（0t4）秒，求四邊形pbca的面積s（面積單位）與t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并求出四邊形pbca的最大面積；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點p，使得p

12、am是直角三角形？若存在，請求出點p的坐標；若不存在，請說明理由3.（2012海南）如圖，頂點為p（4，4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（0，0），點a在該圖象上，oa交其對稱軸l于點m，點m、n關(guān)于點p對稱，連接an、on，（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）若點a在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，請解答下面問題：證明：anm=onm；ano能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點a的坐標；如果不能，請說明理由4、（2012云南）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2交x軸于點p，交y軸于點a拋物線y=x2+bx+c的圖象過點e（1，0），并與直線相交于a、b兩點（1）求拋物線的解析式

13、（關(guān)系式）；（2）過點a作acab交x軸于點c，求點c的坐標；（3）除點c外，在坐標軸上是否存在點m，使得mab是直角三角形？若存在，請求出點m的坐標；若不存在，請說明理由五、 相似三角形與拋物線1、（2012福州）如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a0）經(jīng)過a（3，0）、b（4，4）兩點（1）求拋物線的解析式；（2）將直線ob向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點d，求m的值及點d的坐標；（3）如圖2，若點n在拋物線上，且nbo=abo，則在（2）的條件下，求出所有滿足podnob的點p坐標（點p、o、d分別與點n、o、b對應(yīng)）3、（2012遵義）如圖，已知拋物線y=ax

14、2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過原點o，交x軸于點a，其頂點b的坐標為（3，）（1）求拋物線的函數(shù)解析式及點a的坐標；（2）在拋物線上求點p，使spoa=2saob；（3）在拋物線上是否存在點q，使aqo與aob相似？如果存在，請求出q點的坐標；如果不存在，請說明理由4.（2012黃岡）如圖，已知拋物線的方程c1：y=（x+2）（xm）（m0）與x軸相交于點b、c，與y軸相交于點e，且點b在點c的左側(cè)（1）若拋物線c1過點m（2，2），求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求bce的面積；（3）在（1）條件下，在拋物線的對稱軸上找一點h，使bh+eh最小，并求出點h的坐標；（4）在第四象限內(nèi)，拋

15、物線c1上是否存在點f，使得以點b、c、f為頂點的三角形與bce相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由5、（2012常德）如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點a（4，3），b（4，4）（1）求二次函數(shù)的解析式：（2）求證：acb是直角三角形；（3）若點p在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點p作ph垂直x軸于點h，是否存在以p、h、d為頂點的三角形與abc相似？若存在，求出點p的坐標；若不存在，請說明理由6（2012鞍山）如圖，直線ab交x軸于點b（4，0），交y軸于點a（0，4），直線dmx軸正半軸于點m，交線段ab于點c，dm=6，連接da，dac=90（1）直接寫出直線ab的解析式；（2）

16、求點d的坐標；（3）若點p是線段mb上的動點，過點p作x軸的垂線，交ab于點f，交過o、d、b三點的拋物線于點e，連接ce是否存在點p，使bpf與fce相似？若存在，請求出點p的坐標；若不存在，請說明理由7.（2012阜新）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于a（3，0），b（1，0）兩點，與y軸交于點c（1）求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式；（2）點p是直線ac上方的拋物線上一動點，是否存在點p，使acp的面積最大？若存在，求出點p的坐標；若不存在，說明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）題為三選一的選做題，即只能選做其中一個題目，多答時只按作答的首題評分，切記

17、?。。?）在平面直角坐標系中，是否存在點q，使bcq是以bc為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點q的坐標；若不存在，說明理由；（4）點q是直線ac上方的拋物線上一動點，過點q作qe垂直于x軸，垂足為e是否存在點q，使以點b、q、e為頂點的三角形與aoc相似？若存在，直接寫出點q的坐標；若不存在，說明理由；（5）點m為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點q，使以a、c、m、q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點q的坐標；若不存在，說明理由六、拋物線中的翻折問題1、（2012天門）如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸于a（1，0），b（4，0）兩點，交y軸于點c，與過點c且平行于x軸

18、的直線交于另一點d，點p是拋物線上一動點（1）求拋物線解析式及點d坐標；（2）點e在x軸上，若以a，e，d，p為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點p的坐標；（3）過點p作直線cd的垂線，垂足為q，若將cpq沿cp翻折，點q的對應(yīng)點為q是否存在點p，使q恰好落在x軸上？若存在，求出此時點p的坐標；若不存在，說明理由2、（2010恩施州）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于a、b兩點，a點在原點的左側(cè)，b點的坐標為（3，0），與y軸交于c（0，3）點，點p是直線bc下方的拋物線上一動點（1）求這個二次函數(shù)的表達式（2）連接po、pc，并把poc沿co翻折，得到四邊形

19、popc，那么是否存在點p，使四邊形popc為菱形？若存在，請求出此時點p的坐標；若不存在，請說明理由（3）當(dāng)點p運動到什么位置時，四邊形abpc的面積最大并求出此時p點的坐標和四邊形abpc的最大面積動點與拋物線專題復(fù)習(xí)答案一、平行四邊形與拋物線1、解：（1）由于拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點b（0，4），則 c=4；拋物線的對稱軸 x=，b=5a=；即拋物線的解析式：y=x2+x+4（2）a（4，0）、b（3，0）oa=4，ob=3，ab=5；若四邊形abcd是菱形，則 bc=ad=ab=5，c（5，3）、d（1，0）將c（5，3）代入y=x2+x+4中，得：（5）2+（5）+4=3

20、，所以點c在拋物線上；同理可證：點d也在拋物線上（3）設(shè)直線cd的解析式為：y=kx+b，依題意，有：，解得 直線cd：y=x由于mny軸，設(shè) m（t，t2+t+4），則 n（t，t）；t5或t1時，l=mn=（t2+t+4）（t）=t2+t+；5t1時，l=mn=（t）（t2+t+4）=t2t；若以m、n、c、e為頂點的四邊形是平行四邊形，由于mnce，則mn=ce=3，則有：t2+t+=3，解得：t=32；t2t=3，解得：t=3；綜上，l=且當(dāng)t=32或3時，以m、n、c、e為頂點的四邊形是平行四邊形2、解：（1）解方程x27x+12=0，得x1=3，x2=4，oaob，oa=3，ob=

21、4a（0，3），b（4，0）（2）在rtaob中，oa=3，ob=4，ab=5，ap=t，qb=2t，aq=52tapq與aob相似，可能有兩種情況：（i）apqaob，如圖（2）a所示則有，即，解得t=此時op=oaap=，pq=aptana=，q（，）；（ii）apqabo，如圖（2）b所示則有，即，解得t=此時aq=，ah=aqcosa=，hq=aqsina=，oh=oaah=，q（，）綜上所述，當(dāng)t=秒或t=秒時，apq與aob相似，所對應(yīng)的q點坐標分別為（，）或（，）（3）結(jié)論：存在如圖（3）所示t=2，ap=2，aq=1，op=1過q點作qey軸于點e，則qe=aqsinqap=，

22、ae=aqcosqap=，oe=oaae=，q（，）apqm1，qm1x軸，且qm1=ap=2，m1（，）；apqm2，qm2x軸，且qm2=ap=2，m2（，）；如圖（3），過m3點作m3fy軸于點f，aqpm3，m3p=aq，qae=m3pf，pm3f=aqe；在m3pf與qae中，qae=m3pf，m3p=aq，pm3f=aqe，m3pfqae，m3f=qe=，pf=ae=，of=op+pf=，m3（，）當(dāng)t=2時，在坐標平面內(nèi)，存在點m，使以a、p、q、m為頂點的四邊形是平行四邊形點m的坐標為：m1（，），m2（，），m3（，）3.解：（1）由拋物線y=x2+bx+c過點a（1，0）及

23、c（2，3）得，解得，故拋物線為y=x2+2x+3又設(shè)直線為y=kx+n過點a（1，0）及c（2，3）得，解得故直線ac為y=x+1；（2）作n點關(guān)于直線x=3的對稱點n，則n（6，3），由（1）得d（1，4），故直線dn的函數(shù)關(guān)系式為y=x+，當(dāng)m（3，m）在直線dn上時，mn+md的值最小，則m=；（3）由（1）、（2）得d（1，4），b（1，2）點e在直線ac上，設(shè)e（x，x+1），當(dāng)點e在線段ac上時，點f在點e上方，則f（x，x+3），f在拋物線上，x+3=x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）e（0，1）；當(dāng)點e在線段ac（或ca）延長線上時，點f在點e下方，則f（x，x1）

24、由f在拋物線上x1=x2+2x+3解得x=或x=e（，）或（，）綜上，滿足條件的點e為e（0，1）、（，）或（，）；（4）過點p作pqx軸交ac于點q，交x軸于點h；過點c作cgx軸于點g，如圖2，設(shè)q（x，x+1），則p（x，x2+2x+3）又sapc=saph+s直角梯形phgcsagc=（x+1）（x2+2x+3）+（x2+2x+3+3）（2x）33=x2+x+3=（x）2+apc的面積的最大值為二、 梯形與拋物線1、解：（1）過點c作chx軸，垂足為h；在rtoab中，oab=90，boa=30，ab=2，ob=4，oa=2；由折疊的性質(zhì)知：cob=30，oc=ao=2，coh=60，

25、oh=，ch=3；c點坐標為（，3）（2）拋物線y=ax2+bx（a0）經(jīng)過c（，3）、a（2，0）兩點，解得；此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=x2+2x（3）存在因為y=x2+2x的頂點坐標為（，3），即為點c，mpx軸，垂足為n，設(shè)pn=t；因為boa=30，所以on=t，p（t，t）；作pqcd，垂足為q，mecd，垂足為e；把x=t代入y=x2+2x，得y=3t2+6t，m（t，3t2+6t），e（，3t2+6t），同理：q（，t），d（，1）；要使四邊形cdpm為等腰梯形，只需ce=qd，即3（3t2+6t）=t1，解得t=，t=1（舍），p點坐標為（，），存在滿足條件的p點，使得四邊形

26、cdpm為等腰梯形，此時p點坐標為（，）2、解：（1）拋物線y=x2+h經(jīng)過點c（0，1），+h=1，解得h=1（2）依題意，設(shè)拋物線y=x2+1上的點，p（a，a2+1）、q（b，b2+1）（a0b）過點a的直線l：y=kx+2經(jīng)過點p、q，a2+1=ak+2b2+1=bk+2ba得：（a2bb2a）+ba=2（ba），化簡得：b=；spoq=oa|xqxp|=oa|a|=（）+（a）2=4由上式知：當(dāng)=a，即|a|=|b|（p、q關(guān)于y軸對稱）時，poq的面積最小；即pqx軸時，poq的面積最小，且poq的面積最小為4（3）連接bq，若l與x軸不平行（如圖），即pq與x軸不平行，依題意，設(shè)

27、拋物線y=x2+1上的點，p（a，a2+1）、q（b，b2+1）（a0b）直線bc：y=k1x+1過點p，a2+1=ak1+1，得k1=a，即y=ax+1令y=0得：xb=，同理，由（2）得：b=點b與q的橫坐標相同，bqy軸，即bqoa，又aq與ob不平行，四邊形aobq是梯形，據(jù)拋物線的對稱性可得（a0b）結(jié)論相同故在直線l旋轉(zhuǎn)的過程中：當(dāng)l與x軸不平行時，四邊形aobq是梯形；當(dāng)l與x軸平行時，四邊形aobq是正方形3.解：（1）由題意可知，當(dāng)t=2（秒）時，op=4，cq=2，在rtpcq中，由勾股定理得：pc=4，oc=op+pc=4+4=8，又矩形aocd，a（0，4），d（8，4

28、）點p到達終點所需時間為=4秒，點q到達終點所需時間為=4秒，由題意可知，t的取值范圍為：0t4（2）結(jié)論：aef的面積s不變化aocd是矩形，adoe，aqdeqc，即，解得ce=由翻折變換的性質(zhì)可知：df=dq=4t，則cf=cd+df=8ts=s梯形aocf+sfcesaoe=（oa+cf）oc+cfceoaoe=4+（8t）8+（8t）4（8+）化簡得：s=32為定值所以aef的面積s不變化，s=32（3）若四邊形apqf是梯形，因為ap與cf不平行，所以只有pqaf由pqaf可得：cpqdaf，即，化簡得t212t+16=0，解得：t1=6+2，t2=62，由（1）可知，0t4，t1

29、=6+2不符合題意，舍去當(dāng)t=（62）秒時，四邊形apqf是梯形三、等腰三角形、菱形與拋物線1、解：（1）點a（1，0），oa=1，由圖可知，bac是三角板的60角，abc是30角，所以，oc=oatan60=1=，ob=occot30=3，所以，點b（3，0），c（0，），設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，則，解得，所以，拋物線的解析式為y=x2+x+；（2）oceobc，=，即=，解得oe=1，所以，ae=oa+oe=1+1=2，即x=2時，oceobc；存在理由如下：拋物線的對稱軸為x=1，所以，點e為拋物線的對稱軸與x軸的交點，oa=oe，ocx軸，bac=60，ace是等邊三角形

30、，aec=60，又def=60，feb=60，bac=feb，efac，由a（1，0），c（0，）可得直線ac的解析式為y=x+，點e（1，0），直線ef的解析式為y=x，聯(lián)立，解得，（舍去），點m的坐標為（2，），em=2，分三種情況討論pem是等腰三角形，當(dāng)pe=em時，pe=2，所以，點p的坐標為（1，2）或（1，2），當(dāng)pe=pm時，feb=60，pef=9060=30，pe=emcos30=2=，所以，點p的坐標為（1，），當(dāng)pm=em時，pe=2emcos30=22=2，所以，點p的坐標為（1，2），綜上所述，拋物線對稱軸上存在點p（1，2）或（1，2）或（1，）或（1，2），使p

31、em是等腰三角形3、解：（1）由題意，a（6，0）、b（0，8），則oa=6，ob=8，ab=10；當(dāng)t=3時，an=t=5=ab，即n是線段ab的中點；n（3，4）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax（x6），則：4=3a（36），a=；拋物線的解析式：y=x（x6）=x2+x（2）過點n作ncoa于c；由題意，an=t，am=oaom=6t，nc=nasinbao=t=t；則：smna=amnc=（6t）t=（t3）2+6mna的面積有最大值，且最大值為6（3）rtnca中，an=t，nc=ansinbao=t，ac=ancosbao=t；oc=oaac=6t，n（6t，t）nm=；又：am=6t

32、，an=t（0t6）；當(dāng)mn=an時，=t，即：t28t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；當(dāng)mn=ma時，=6t，即：t212t=0，t1=0（舍去），t2=；當(dāng)am=an時，6t=t，即t=；綜上，當(dāng)t的值取 2或或 時，man是等腰三角形4、解：（1）拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過a（1，0），b（3，0），c（0，）三點，解得a=，b=，c=，拋物線的解析式為：y=x2x（2）設(shè)直線l1的解析式為y=kx+b，由題意可知，直線l1經(jīng)過a（1，0），c（0，）兩點，解得k=，b=，直線l1的解析式為：y=x；直線l2經(jīng)過b（3，0），c（0，）兩點，同理可求得直線l2解析式為

33、：y=x拋物線y=x2x=（x1）2，對稱軸為x=1，d（1，0），頂點坐標為f（1，）；點e為x=1與直線l2：y=x的交點，令x=1，得y=，e（1，）；點g為x=1與直線l1：y=x的交點，令x=1，得y=，g（1，）各點坐標為：d（1，0），e（1，），f（1，），g（1，），它們均位于對稱軸x=1上，de=ef=fg=（3）如右圖，過c點作c關(guān)于對稱軸x=1的對稱點p1，cp1交對稱軸于h點，連接cfpcg為等腰三角形，有三種情況：當(dāng)cg=pg時，如右圖，由拋物線的對稱性可知，此時p1滿足p1g=cgc（0，），對稱軸x=1，p1（2，）當(dāng)cg=pc時，此時p點在拋物線上，且cp的長

34、度等于cg如右圖，c（1，），h點在x=1上，h（1，），在rtchg中，ch=1，hg=|ygyh|=|（）|=，由勾股定理得：cg=2pc=2如右圖，cp1=2，此時與中情形重合；又rtoac中，ac=2，點a滿足pc=2的條件，但點a、c、g在同一條直線上，所以不能構(gòu)成等腰三角形當(dāng)pc=pg時，此時p點位于線段cg的垂直平分線上l1l2，ecg為直角三角形，由（2）可知，ef=fg，即f為斜邊eg的中點，cf=fg，f為滿足條件的p點，p2（1，）；又coscge=，cge=30，hcg=60，又p1c=cg，p1cg為等邊三角形，p1點也在cg的垂直平分線上，此種情形與重合綜上所述，p

35、點的坐標為p1（2，）或p2（1，）5、解：（1）過點b作bfx軸于f在rtbcf中bco=45，bc=6cf=bf=12 c 的坐標為（18，0）ab=of=6點b的坐標為（6，12）（2）過點d作dgy軸于點gabdgodgoba =，ab=6，oa=12dg=4，og=8 d（4，8），e（0，4）設(shè)直線de解析式為y=kx+b（k0）直線de解析式為y=x+4（3）結(jié)論：存在設(shè)直線y=x+4分別與x軸、y軸交于點e、點f，則e（0，4），f（4，0），oe=of=4，ef=4如答圖2所示，有四個菱形滿足題意菱形oep1q1，此時oe為菱形一邊則有p1e=p1q1=oe=4，p1f=ef

36、p1e=44易知p1nf為等腰直角三角形，p1n=nf=p1f=42；設(shè)p1q1交x軸于點n，則nq1=p1q1p1n=4（42）=2，又on=ofnf=2，q1（2，2）；菱形oep2q2，此時oe為菱形一邊此時q2與q1關(guān)于原點對稱，q2（2，2）；菱形oeq3p3，此時oe為菱形一邊此時p3與點f重合，菱形oeq3p3為正方形，q3（4，4）；菱形op4eq4，此時oe為菱形對角線由菱形性質(zhì)可知，p4q4為oe的垂直平分線，由oe=4，得p4縱坐標為2，代入直線解析式y(tǒng)=x+4得橫坐標為2，則p4（2，2），由菱形性質(zhì)可知，p4、q4關(guān)于oe或x軸對稱，q4（2，2）綜上所述，存在點q，

37、使以o、e、p、q為頂點的四邊形是菱形；點q的坐標為：q1（2，2），q2（2，2），q3（4，4），q4（2，2）6、解：（1）點b（2，m）在直線y=2x1上m=3 即b（2，3）又拋物線經(jīng)過原點o設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx點b（2，3），a（4，0）在拋物線上，解得：設(shè)拋物線的解析式為（2）p（x，y）是拋物線上的一點，若sadp=sadc，又點c是直線y=2x1與y軸交點，c（0，1），oc=1，即或，解得：點p的坐標為 （3）結(jié)論：存在拋物線的解析式為，頂點e（2，1），對稱軸為x=2；點f是直線y=2x1與對稱軸x=2的交點，f（2，5），df=5又a（4，0），ae=如右

38、圖所示，在點m的運動過程中，依次出現(xiàn)四個菱形：菱形aem1q1此時dm1=ae=，m1f=dfdedm1=4，t1=4；菱形aeom2此時dm2=de=1，m2f=df+dm2=6，t2=6；菱形aem3q3此時em3=ae=，dm3=em3de=1，m3f=dm3+df=（1）+5=4+，t3=4+；菱形am4eq4此時ae為菱形的對角線，設(shè)對角線ae與m4q4交于點h，則aem4q4，易知aedm4eh，即，得m4e=，dm4=m4ede=1=，m4f=dm4+df=+5=，t4=綜上所述，存在點m、點q，使得以q、a、e、m四點為頂點的四邊形是菱形；時間t的值為：t1=4，t2=6，t3

39、=4+，t4=四、直角三角形與拋物線1、解：（1）令y=0，即=0，解得x1=4，x2=2，a、b點的坐標為a（4，0）、b（2，0）（2）sacb=aboc=9，在rtaoc中，ac=5，設(shè)acd中ac邊上的高為h，則有ach=9，解得h=如答圖1，在坐標平面內(nèi)作直線平行于ac，且到ac的距離=h=，這樣的直線有2條，分別是l1和l2，則直線與對稱軸x=1的兩個交點即為所求的點d設(shè)l1交y軸于e，過c作cfl1于f，則cf=h=，ce=設(shè)直線ac的解析式為y=kx+b，將a（4，0），b（0，3）坐標代入，得到，解得，直線ac解析式為y=x+3直線l1可以看做直線ac向下平移ce長度單位（個

40、長度單位）而形成的，直線l1的解析式為y=x+3=x則d1的縱坐標為（1）=，d1（4，）同理，直線ac向上平移個長度單位得到l2，可求得d2（1，）綜上所述，d點坐標為：d1（4，），d2（1，）（3）如答圖2，以ab為直徑作f，圓心為f過e點作f的切線，這樣的切線有2條連接fm，過m作mnx軸于點na（4，0），b（2，0），f（1，0），f半徑fm=fb=3又fe=5，則在rtmef中，me=4，sinmfe=，cosmfe=在rtfmn中，mn=mnsinmfe=3=，fn=mncosmfe=3=，則on=，m點坐標為（，）直線l過m（，），e（4，0），設(shè)直線l的解析式為y=kx+b

41、，則有，解得，所以直線l的解析式為y=x+3同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x3綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x32、解：（1）拋物線y=x2+x+4中：令x=0，y=4，則 b（0，4）；令y=0，0=x2+x+4，解得 x1=1、x2=8，則 a（8，0）；a（8，0）、b（0，4）（2）abc中，ab=ac，aobc，則ob=oc=4，c（0，4）由a（8，0）、b（0，4），得：直線ac：y=x+4；依題意，知：oe=2t，即 e（2t，0）；p（2t，2t2+7t+4）、q（2t，t+4），pq=（2t2+7t+4）（t+4）=2t2+8t；s=sabc+spab=

42、88+（2t2+8t）8=8t2+32t+32=8（t2）2+64；當(dāng)t=2時，s有最大值，且最大值為64（3）pmy軸，amp=aco90；而apm是銳角，所以pam若是直角三角形，只能是pam=90；由a（8，0）、c（0，4），得：直線ac：y=x4；所以，直線ap可設(shè)為：y=2x+h，代入a（8，0），得：16+h=0，h=16直線ap：y=2x+16，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得 、存在符合條件的點p，且坐標為（3，10）3.解：（1）二次函數(shù)的頂點坐標為（4，4），設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x4）24，又二次函數(shù)過（0，0），0=a（04）24，解得：a=，二次函數(shù)解析式為y=

43、（x4）24=x22x；（2）證明：過a作ahl于h，l與x軸交于點d，如圖所示：設(shè)a（m，m22m），又o（0，0），直線ao的解析式為y=x=（m2）x，則m（4，m8），n（4，m），h（4，m22m），od=4，nd=m，ha=m4，nh=ndhd=m2m，在rtond中，tanonm=，在rtanh中，tananm=，tanonm=tananm，則anm=onm；ano不能為直角三角形，理由如下：分三種情況考慮：（i）若ona為直角，由得：anm=onm=45，ahn為等腰直角三角形，ha=nh，即m4=m2m，整理得：m28m+16=0，即（m4）2=0，解得：m=4，此時點a與點

44、p重合，故不存在a點使ona為直角三角形；（ii）若aon為直角，根據(jù)勾股定理得：oa2+on2=an2，oa2=m2+（m22m）2，on2=42+m2，an2=（m4）2+（m22m+m）2，m2+（m22m）2+42+m2=（m4）2+（m22m+m）2，整理得：m（m4）2=0，解得：m=0或m=4，此時a點與p點重合或與原點重合，故aon不能為直角；（iii）若nao為直角，可得nam=odm=90，且amn=dmo，amndmo，又man=odn=90，且anm=ond，amndon，amndmodon，=，即=，整理得：（m4）2=0，解得：m=4，此時a與p重合，故nao不能為

45、直角，綜上，點a在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，ano不能為直角三角形4、解：（1）直線解析式為y=x+2，令x=0，則y=2，a（0，2），拋物線y=x2+bx+c的圖象過點a（0，2），e（1，0），解得拋物線的解析式為：y=x2+x+2 （2）直線y=x+2分別交x軸、y軸于點p、點a，p（6，0），a（0，2），op=6，oa=2acab，oaop，rtocartopa，oc=，又c點在x軸負半軸上，點c的坐標為c（，0）（3）拋物線y=x2+x+2與直線y=x+2交于a、b兩點，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，b（，）如答圖所示，過點b作bdx軸于點d，則d（，0

46、），bd=，dp=6=點m在坐標軸上，且mab是直角三角形，有以下幾種情況：當(dāng)點m在x軸上，且bmab，如答圖所示設(shè)m（m，0），則md=mbmab，bdx軸，即，解得m=，此時m點坐標為（，0）；當(dāng)點m在x軸上，且bmam，如答圖所示設(shè)m（m，0），則md=mbmam，易知rtaomrtmdb，即，化簡得：m2m+=0，解得：x1=，x2=，此時m點坐標為（，0），（，0）；（說明：此時的m點相當(dāng)于以ab為直徑的圓與x軸的兩個交點）當(dāng)點m在y軸上，且bmam，如答圖所示此時m點坐標為（0，）；當(dāng)點m在y軸上，且bmab，如答圖所示設(shè)m（0，m），則am=2=，bm=，mm=m易知rtabmr

47、tmbm，即，解得m=，此時m點坐標為（0，）綜上所述，除點c外，在坐標軸上存在點m，使得mab是直角三角形符合條件的點m有5個，其坐標分別為：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）五、相似三角形與拋物線1、解：（1）拋物線y=y=ax2+bx（a0）經(jīng)過a（3，0）、b（4，4），解得：拋物線的解析式是y=x23x（2）設(shè)直線ob的解析式為y=k1x，由點b（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1直線ob的解析式為y=x，直線ob向下平移m個單位長度后的解析式為：y=xm，點d在拋物線y=x23x上，可設(shè)d（x，x23x），又點d在直線y=xm上，x23x=xm，即x24x+m=

48、0，拋物線與直線只有一個公共點，=164m=0，解得：m=4，此時x1=x2=2，y=x23x=2，d點的坐標為（2，2）（3）直線ob的解析式為y=x，且a（3，0），點a關(guān)于直線ob的對稱點a的坐標是（0，3），設(shè)直線ab的解析式為y=k2x+3，過點（4，4），4k2+3=4，解得：k2=，直線ab的解析式是y=，nbo=abo，點n在直線ab上，設(shè)點n（n，），又點n在拋物線y=x23x上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合題意，舍去）n點的坐標為（，）方法一：如圖1，將nob沿x軸翻折，得到n1ob1，則n1（，），b1（4，4），o、d、b1都在直線y=x上p1odnob，p

49、1odn1ob1，點p1的坐標為（，）將op1d沿直線y=x翻折，可得另一個滿足條件的點p2（，），綜上所述，點p的坐標是（，）或（，）2、解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c，由函數(shù)經(jīng)過點a（4，0）、b（1，0）、c（2，6），可得，解得：，故經(jīng)過a、b、c三點的拋物線解析式為：y=x23x+4；（2）設(shè)直線bc的函數(shù)解析式為y=kx+b，由題意得：，解得：，即直線bc的解析式為y=2x+2故可得點e的坐標為（0，2），從而可得：ae=2，ce=2，故可得出ae=ce；（3）相似理由如下：設(shè)直線ad的解析式為y=kx+b，則，解得：，即直線ad的解析式為y=x+4聯(lián)立直線ad與直線bc的函數(shù)解析式可得：，解得：，即點f的坐標為（，），則bf=，af=，又ab=5，bc=3，=，=，=，又abf=cba，abfcba故以a、b、f為頂點的三角形與abc相似3、解：（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過原點得，函數(shù)解析式為y=ax2+bx（a0），又函數(shù)的頂點坐標為（3，），解得：，故函數(shù)解析式為：y=x2x，由二次函數(shù)圖象的對稱性可得點a的坐標為