可靠度的例題和習(xí)題

1、結(jié)構(gòu)可靠性分析例題和習(xí)題0.05,0.04,0.03，假設(shè)各桿破壞F1. 圖示桁架在荷載 H乍用下，桿a,b,c的破壞概率分別為 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，求桁架的破壞概率。解：用A, B, C分別表示桿a,b,c各自破壞的事件。有P(A)=0.05,P(B)=0.04,P(C)=0.03桁架破壞概率P(E)=P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)因?yàn)锳，B，Ct目互獨(dú)立，有P(AB)=P(A)P(B)=0.002,P(BC)=0.0012,P(AC)=0.0015,P(ABC)=0.00006 所以桁架破壞概率 P(E)=0.11536或者 P(

2、E)=1-P(E)=1-P( ABC)P( A B C)=P( A)P( B)P( C)=(1-0.05)(1-0.04)(1-0.03)=0.88464即得:P(E)=1-0.88464=0.115362. 由二桿組成的系統(tǒng)如圖。若桿 1，桿2的破壞概率都是0.03，求系統(tǒng)的破壞概率。解：桿1,桿2的破壞事件分別記為 A1 , A。有P(E)=P(A 1 A2)=P(A 1)+P(A2)-P(A 1A2)=0.03+0.03-P(A 2 | A1)P(A 1) 可見，P (E)取決于條件概率 P(A2 | A1)，表示二桿破壞的相關(guān)性。若A1, A2相互獨(dú)立，P(A2 | A1)=P(A2)

3、,SP(E)=0.06-0.03X 0.03=0.0591若 A1 , A2完全相關(guān)，P(A2 | A1)=1 , P(E)=0.06-1 X 0.03=0.03一般可有 0.03 P(E) 0.05913. 某提升機(jī)由電機(jī)、減速器、卷筒三部分組成，可靠度分別為0.98 , 0.94 , 0.92。求提升機(jī)(視為三部分串聯(lián)系統(tǒng))的可靠度。4. 鋼制拉桿強(qiáng)度r-N(600,48)N/mm 2,試計(jì)算1)荷載S=450N/mn2時(shí)的失效概率。2)可靠度為R=0.99時(shí)，拉桿可承受的最大應(yīng)力Smax (Pf=0.00089,S max=489N/mn?)載荷 F N(80000,1200)N，求其伸

4、長(=FL/AE)。( -(1.83,0.084)mm)注：對于獨(dú)立正態(tài)變量有Z=XY時(shí),Z=X/Y 時(shí)，z= x/ y，Z= x y，z=(x2Z=(x2 y2+ y2 x2+ x2y2+ y2 x2)/(y2)1/2；y2+ y2) 1/2/y-7. 某桿半徑 r,( r=30mm, r=1.5mm)，求截面積 A的 A和 A (2833,283)mm8. 拉桿直徑 D( D=30mm, D=0.3mm),材料屈服限 s( s=290N/mn?, s=52N/mm?)，求其所 能承受的拉力 F( F, F)。(204990,18140)Ny=f( 1, 2,n)+(xii)XiL i(Xi

5、i)(Xj取線性近似有：y f( 1, 2,，n);y2n (Xi)2Xii注：對于函數(shù)y=f(x i,X2，,x n),在均值點(diǎn)作泰勒級數(shù)展開有9.在外力S乍用下，線彈性桿的應(yīng)變能為 試求U的概率密度。(假設(shè)j)2yXi Xj xXj解：FU=CS2, S= . U / C.U(u)=P(U u)=P(CS2U(u)=P(S 2 u/C)=P(- 1U(u)=F U (u)= 2JuC1U=SL/2AE=Const)L/2=S 2 L/2AE，若S服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,u)=P(S2 u/C)(U /C S U /C)=注意0 u).u /CUTCf(S)ds= ( uC) ( uC)(、uC)

6、(uC)、2 uC *u2C注意(x)x2/2)10.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f (X)x/15002(3000x)/1500200 x 15001500 x 3000x 0,x3000求其數(shù)學(xué)期望和方差。1500-3000解：E(X)= xf (x)dx o x2 /15002dx何。(3000 x)x/15002dx=15002Var(X)= x E(x) f (x)dx=- + 11.某結(jié)構(gòu)支承在A, B, C三個(gè)支點(diǎn)上。假定支點(diǎn)的沉降量A B,C都是獨(dú)立正態(tài)變量，均值分別為2,2.5,和3cm,變異系數(shù)分別為0.2,0.2,和0.25。問1 )最大沉降量超過4cm的概率是多少？2

7、)如果支點(diǎn)A和 B分別沉降了 2.5和3.5cm，求最大沉降差不超過 1.5cm的概率。解：1)P( ma)4)=1-p( max 4)=1-P( A 4 B 4 C 4)=1-P( A 4)P( b 4)P( C 4)1r (Xi 亍1n /1n/2_1 n、2exp2 22) exp2(Xi2i 1ln1L nln (1)nln 21n2(Xi)22 2i 1In L1In Ln12(Xi),22 2 2 4(為)nLi 1取對數(shù)求偏導(dǎo)12(Xi)0)2解似然方程組(Xi)2得到(Xi13.設(shè)某車間生產(chǎn)的螺栓直徑刈服從正態(tài)分布,徑為 14.9，15.1，14.9，Xi(XiX)2=0.05

8、，某日隨機(jī)抽取六件產(chǎn)品量得直14.8， 15.2， 15.1mm,求均值的95%置信區(qū)間。解：樣本均值為X = Xi /n=15mm.由 =1-0.95=0.05,查得 K 尼=1.96則均值的95%置信區(qū)間為XK /2 n/2、nn=6,= 0.05=1-(4-2)/2X 0.2(4-2.5)/2.5X 0.2(4-3)/3 X 0.25=1-(5)(3)(1.33)=1-1 X 0.9986 X 0.9082=0.09312)P(max 1.5)=P(2C 4)=(4-3)/3 X 0.25)-(2-3)/3 X 0.25)=(1.33)-(-1.33)=0.9082-0.0918=0.8

9、16412.已知服從正態(tài)分布N( , 2),x1,x 2, - ,xn為 的一組樣本觀察值，試用最大似然法求，2的估計(jì)量。解：似然函數(shù)為即14.8215.18 14. 已知M10標(biāo)準(zhǔn)螺栓靜強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差=21.5 N/mm2,今測得40個(gè)螺栓的強(qiáng)度樣本均值為x=511 N/mm2,求置信度為95%的螺栓強(qiáng)度置信區(qū)間。(504.34 , 517.66 )22.0 , 18.5 ,15. 設(shè)某混凝土抗壓強(qiáng)度服從正態(tài)分布，測得六個(gè)立方試塊的抗壓強(qiáng)度為18.0, 21.5 , 19.0 , 21.0MPa,求母體均值 的95%置信區(qū)間。(未知方差)解:由=1-0.95=0.05 ,/2=0.025 ;n

10、-1=5，查得 t 0.025 (5)=2.571樣本均值為x = Xi / n=20MPa樣本方差為s 2= (x i - X) 2/(n-1)=2.9則均值的95%置信區(qū)間為X t/2.n18.21321.787 16. 由材料試驗(yàn)測得25個(gè)鋼試件屈服極限均值為X=667 N/mm2, s=27.5N/mm2,求置信度為95%的材料屈服極限的置信區(qū)間。(655.65,678.35N/mm2)17. 某零件的應(yīng)力和強(qiáng)度都服從對數(shù)正態(tài)分布，已知s=60MPa, s=20MPa; r=100MPa,r=10MPa 求零件的可靠度。(=1.64, R=0.9495)18. 拉桿直徑 D,( D=3

11、0mm, D=3mn)，屈服強(qiáng)度 r ( r =290N/mm?, r =25N/mn?)，拉 力F=105N,在功能函數(shù)為1)Z=( d2/4)r-F;2)Z=r-4F/d2二種情況下，試用中心點(diǎn)法求其可靠指標(biāo)和可靠度。(0.9906 ; 0.9999)19. 某鋼梁承受確定性彎矩M=128.8kN.m,抗彎截面模量 W N(v=884.9 X 10-6 m3,V v=0.05)；鋼材強(qiáng)度f服從對數(shù)正態(tài)分布(f =262MPa,Vf=0.1)。試用中心點(diǎn)法和驗(yàn) 算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)及梁的失效概率Pf。解：中心點(diǎn)法1)由抗力寫功能函數(shù)為Z=fW-M=fW-128800(N.m)Zf -128800

12、=262X 106X884.9 X10-6-128800=103043Z 2 W 2 2. 2：(心Vf2)=25920.9才 Z=3.9752)由應(yīng)力寫功能函數(shù)為Z=f-M/W (MPa)Z f-M/ v=262-0.1288/(884.9 X 10-6)=116.45MPaZ 2( M )2 2z 、 f(2)w、2fVf2 (也)S=27.19WZ Z=4.283驗(yàn)算點(diǎn)法W為正態(tài)變量w=884.9 X 10-6n3,v=Vwv=44.245 X10-6 m3,1 *f 為對數(shù)正態(tài)變量f =f (1-l nf+ln 1)=f (6.5634-1nf) (MPa)1 Vf2f =f* . I

13、n(1 V；)=0.09975f初值取f = f, W = W =0. 迭代結(jié)果如下表次數(shù)Xi*X i1 f1 fi10f262.00 X 10626.13 X260.70 X-0.8954.2694.269W-6884.90 X 1044.25 X884.90 X-0.44624.269 1160.86 X 10616.05 X238.53 X-0.8035.1610.892W-6800.66 X 1044.25 X884.90 X-0.59635.161 1172.01 X 10617.16 X243.54 X-0.8165.1690.008W-6748.80 X 1044.25 X884

14、.90 X-0.57920. 某鋼制薄壁容器筒體，筒體壁厚t,( t =2.6mm,t =0.043mm);半徑r,( r =280mmr=4.7mm);工作壓力p,( p=7.84MPa, p=0.133MPa);軸向焊縫處有一表面裂紋，深度 a=1.3 0.006mm,焊縫斷裂韌性 K1c,( K1c=1951N/mn3/2 , K1c=58.8N/mm3/2),試計(jì)算焊縫強(qiáng)度的可靠性。( 當(dāng)r/t很大時(shí)，有Ks、a =(pr/t). a,且由3原則知a=0.002)(R=0.9992)21.某鋼梁承受彎矩 M N( M=1300kN.cm, M=91kN.cm),抗彎截面模量 W N(詬

15、54.72, V=2.74)cm 3,鋼材強(qiáng)度 f-N(求可靠指標(biāo)及梁的失效概率f=380MPa, f=30.4MPa),極限狀態(tài)方程為 Z=fW-M=0,P f。(=3.8，解:1)由極限狀態(tài)方程求得(注意單位統(tǒng)一,Pf =1- ( )=7.235 X 10-5 )1MPa=100N.cm/cm.)*W=-2.74ffP*g=-30.4W,-飛M =910P*V=-2.74f */ _(2.74f*)2 (30.4W*)2 9102.I*9*99f=-30.4W*/, (2.74f )2(30.4W )2 9102-(a)| * 2 * 2 21=910/ , (2.74 f )(30.4W

16、 )910設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)為：W= W+ W W, f)假定初值為 W*0=54.72 ,再將(b)之F*代入極限狀態(tài)方程得：f*VV-M*=(380-23.378)(54.72-1.32)-(13000+382.837解上述方程得：=3.81,(另一根=66.3舍去)若 =3.81，由(b)有f*1=209.93,W*1=49.69,M =14458.61,與初值相差很大。 )假設(shè) f *0=209.93,W*0=49.69,M *0=14458.61，作第二次迭代得：W=-0.412,f =-0.781,f*=380-23.742, W *=54.72-1.129, M *=13000+427.

17、882 ,*f, M = M+ M*0=380，代入(a),得M=0.4702(b)=0代入極限狀態(tài)方程得=3.79，由(b)有f 2=290.02, W 2=50.44, M2=14621.67。4 )假設(shè) f *0=290.02, W *0=50.44, M *0=14621.67 ;作第二次迭代得：=3.80，由(b)有：f *=289.23, W *=50.51, M *=14608.3 ;迭代收斂。5 )失效概率 Pf =1- ( )=7.235 X 10-5.22. 某拉桿承受的軸向拉力 叱廠服從正態(tài)分布，NG=142.9kN,V nG=0.07.截面抗力R也為正態(tài)分布，R=kRR

18、=1.08Rk, V氏0.08鋼材強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值 f yk=240MPa,設(shè)計(jì)可靠指標(biāo)=3.2,試確定拉桿所需的截面面積。解極限狀態(tài)方程為 Z=R-N g=0,對于正態(tài)變量、線性方程有：R NG . ( rVr)2 ( ngVng )2 =0解得 R=204.18kN則抗力標(biāo)準(zhǔn)值為： R k= R/k R=204.18/1.08=189.1kN 拉桿截面積為： A=R k/f yk=788mm?.23. 鋼筋混凝土受壓短柱，極限狀態(tài)方程為Z=g(R,NGNL)=R-NGNL=0.抗力R服從對數(shù)正態(tài)分布，R=4560kN, R=729.6kN.恒載 NG-N( NG=1159.1kN, NG=81.

19、1kN),活載 N_服從極值1型分布，NL=765.5kN, NL=222kN,求可靠指標(biāo)。解：1)當(dāng)量正態(tài)化抗力 R為對數(shù)正態(tài)，有 |nr=1 n r R 2 =8.4124,|nr=(In(1 V,) =0.159Vr2*I*r=R(1-I nR + |nR),r =R lnR,若取 R*0= R=4560, 則 R =4503, R =725活載 Nl為極值 1 型，有 =0.78 NL=172.9, k=NL-0.5772 =665.6若取 N*L0= nl=765.5貝U:N_；N*L)=-exp(叫k)03)e=0.001851*NL(N L)=exp-exp(-x-k/*F NL

20、(N L)/fnl = -1 n_=N_*-)=0.5704*NL(N l)=212.2NL =727.72)計(jì)算公式及第一次迭代g=1g=-1g =-1RP*NgP*NlIp*R=-R / JR22NgN =-0.9543NG=nGJ r22N GN =0.10675NL=nl/JT2NgN2 =0.2793N L-1 Fnl(n*l)因?yàn)槭蔷€性方程,故有:=（R- NG NL）/p 門 =3.443 驗(yàn)算點(diǎn)為：R *= R + R r =2120.7NG = NGh NG N（=1188.9*II叱=NL + NL NL =931.783）第二次迭代：（取第一次結(jié)果為驗(yàn)算點(diǎn)初值）I*I*r

21、=R（1-I nR + In R ）=3717.8, R =R “ R=337.19* *fnN l）=0.001, F nN l）=0.80786NL= -1 F NL（N L）f NL（N L）=273.7 NL =nL -1 F NL（n L）NL =694.2R=-0.76322,NG=0.18357,NL=0.61951;=4.22驗(yàn)算點(diǎn)為：R *=2631.8, N G* =1221.9, NL*=1410。4 ）五次迭代后的結(jié)果為：=3.96, P f =3.747 X 10-5。R *=3009.8, N 6=1194.1, N L* =1815.624. 鋼筋混凝土受壓短柱，

22、極限狀態(tài)方程為Z=g(R,NGNL)=R-NGNL=O。抗力R服從對數(shù)正態(tài)分布，VR=0.17 ;恒載Ng-N( NG=636kN,VNG=0.07),活載NL服從極值1型分布，NL=840kN,VNL=0.29,求可靠指標(biāo) =3.7時(shí)的截面抗力均值r解：恒、活載標(biāo)準(zhǔn)差分別為：nG3 nGNG=44.52,nL= NlVnL=243.6當(dāng)量正態(tài)化(公式同前題)。對于極值 1 型荷載 NL,有： =0.78 nl=190.08, k=NL-0.5772 =730.37。1 )第一次計(jì)算假定初值為 NL = NL=840, N G= NG=636.有：f NL（N*L）=0.001686, FnL

23、（N*L）=0.57037NL = -1 FnL（N L）f NL（N l）=232.9 -1 F NL（N l） NL =798.66* * * 一,NL =1_ -由極限狀態(tài)方程得r =R lnR=R V1 n（1VR2） =249.13g=1 g=-1 gRp*Ngp*NlR=-R =NG +NL =1476,且有：=-1p*R / . r2訂n2l =-0.7243NG., r22ngn2l =0.1294NL / -舄訂=0.6772N G = NG NG N（=657.32（=3.7）*IINGNL5驗(yàn)算點(diǎn)為：NL = NL + NL NL =13822*= Ng*+ NL* =2

24、039.52 )以后各次迭代結(jié)果迭代次數(shù)變量驗(yàn)算點(diǎn) 初值X* f x(x )*Fx(x )1x1xx驗(yàn)算點(diǎn)*X*RR1476.0249.13-0.72432039.5563.51Ng636.044.52636.00.1294657.32叱840.00.0016860.57037232.9798.660.67721382.2R2039.5344.2-0.61982478.9439.42Ng657.3244.52636.00.0802649.2叱1382.20.00016480.9682433.3578.430.78051829.7R2478.9418.42-0.58992607.6128.73N

25、g649.244.52636.00.06277646.34Nl1829.70.000016020.9970570.97260.670.80501961.3R2607.6440.14-0.58602620.3912.794ng646.3444.52636.00.05927645.76Nl1961.30.000008030.9985607.03159.630.80811974.63R2620.39442.3-0.58602620.950.565ng645.7644.52636.00.05898645.71Nl1974.630.000007510.9986610.02151.30.80811975.

26、24注意到抗力R為對數(shù)正態(tài)，有:*II3)結(jié)果為：R = R + R R =2620.95 ;lnR=ln【1Vr2)，I*-r =R (1-lnR +ln r=R*.I n(1 V,)故得：扌-0.586(由表中結(jié)果知)。r=R/TQF exp(-R、ln(1 V,)=3833.5kN式中，R* =2620.95, V r=0.17,=0.17,25. 懸臂木梁跨長 L=3.6m,允許撓度為1/200。允許失效概率 Pf =0.115( =1.2).已知均布載荷q為極值1型變量，q=3kN/m, V q=0.17,木料彈性模量 E N( E=17000MPa,V=0.21),截面慣性矩I N

27、( I未知，V =0.20)，試確定計(jì)算公式q-q* L4/8E * Iq + q* * *=0I =q1 *q , E = E+ E*L/8E1E,* 1 = I+ I I =|(1 +I V|)I =*I /(1+ Ii vi ),q*(q(E*e)2(q* I)2* * *q=:q/ ,E=-(q /e ) E5I=-(q /I ) |/ .=L/200=0.018m極值 1 型變量 q當(dāng)量正態(tài)化，有 =0.78 q=0.78 X 3000 X 0.17=397.8(N/m),解：功能函數(shù)為 Z= -qL4/8EIk=q-0.5772=2770(N/m)*1 r zqk(q k)q(q

28、)=exp()eFq(q )=exp-exp(-q-k/q= -1【Fq(q*)/fq(q ),q =q - -l* Fq(q ) q .迭代求解結(jié)果為1 =3.0675 X 10-4 n4=30675cm4.26.圖中結(jié)構(gòu)體系由二拉桿組成，各桿抗力F為隨機(jī)變量，密度函數(shù)如圖。承受拉力S=)1.1kN,Vs=.求系統(tǒng)破壞概率。解設(shè)二桿統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，各桿抗力分布函數(shù)為FR：r)=(r-1)/2 1r 3破壞概率為：Pf1 =FR：r=1.1)=0.05系統(tǒng)破壞概率為Pf =1- (1-P fi )=0.0975(上限)若設(shè)二桿完全相關(guān)，則系統(tǒng)破壞概率為Pf =max(Pfi )=0.05 (下限)2

29、7.圖中所示桁架之各桿失效概率為：Pf1 =Pf2 =0.002,P f3 =Pf4=0.0012,P f5 =0.003，假定各桿獨(dú)立，求桁架的破壞概率Pf。解 桁架是靜定的，為串聯(lián)系統(tǒng),任一桿破壞即為系統(tǒng)破壞。故系統(tǒng)破壞概率為f=1-(1-P f, )=1-(100.02)2(1-0.0012) 2X 0.003=0.0094由于各桿破壞概率很小，系統(tǒng)破壞概率可近似為P f =1- (1-Pfi )% =2 X 0.002+2 X 0.0012+0.003=0.009428.由三根鋼絲組成的超靜定系統(tǒng)如圖。拉力S,S=60kN,變異系數(shù)Vs=0.25。單根鋼絲抗拉力為R,R=37.5kN，

30、變異系數(shù)VFF0.15.假定R, S均服從對數(shù)正態(tài)分布，求系統(tǒng)損壞概率及其中一根鋼絲拉斷后的損壞概率。解：假定拉力S由三根鋼絲均勻承受,Si=20kN, VS,=0.25每根鋼絲的破壞概率為：Pfi =1- ( fi )=1- (ln R ln Si. VrVSi )=1-(2.16)=1-0.9846=0.0154體系的損壞概率為：0.0154Ff 3X 0.0154=0.0462如果體系中一根鋼絲已斷，剩余二根鋼絲的荷載為Si=30kN, VS,=0.25此時(shí)，鋼絲的破壞概率為:P fi =1- ( fi )=1- (In r In sJVS2)=1-(0.77)=1-0.7794=0.2

31、206由剩余二根鋼絲組成的體系的損壞概率為：29.圖示體系中若已知0.2206Pf 1-(1-0.2206) 2=0.3925( F不能視為小量，故用此式)V丈0.15 ;假定RS均服從對數(shù)正態(tài)分布，且各鋼絲的破壞是獨(dú)立且同分布的,S=140kN, VS=0.25 ;單根鋼絲抗拉力為 R,且 R=88.5kN，試討論下述二種情況下系統(tǒng)的破壞模式及相應(yīng)的系統(tǒng)破壞概率。1 )鋼絲為冷拔鋼絲，脆性材料，R為抗拉強(qiáng)度。2 )鋼絲為理想塑性材料，R為屈服強(qiáng)度。解：1)體系有六種破壞模式，即鋼絲破壞次序?yàn)? 231322132 31321312任何一種模式的破壞都造成體系的破壞，故體系是這六種破壞模式的串聯(lián)。第一根鋼絲