55.將軍飲馬原理

1、 高考數(shù)學母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話數(shù)學叢書,給您一個智慧的人生！高考數(shù)學母題 母題(17-55):將軍飲馬原理(473) 1211 將軍飲馬原理l 母題(17-55):古希臘亞里山大里亞城有一位久負盛名的學者,名叫海倫.有一天,有位將軍不遠千里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題:如圖,將軍從a地出發(fā)到河邊飲馬,然后再到b地軍營視察,顯然有許多走法.問走什么樣的路線最短呢？精通數(shù)理的海倫稍加思索,便作了完善的回答,這個問題后來被人們稱作“將軍飲馬”問題,解析:如圖,先作a關于l的對稱點a,連接ab與l相交于p點,則ap+pb就最小;那么這樣作出的a

2、p+pb是否真的最小呢？要證明它只需要在l上任取一點p,證明ap+paap+pb就行了,這點好證明:事實上因為a、a關于l對稱.有ap=ap、ap=ap,又由公理:三角形的兩邊之和大于第三邊ap+pb=ap+pbab=ap+pb=ap+pb.點評:將軍飲馬問題雖然簡單,但確體現(xiàn)了對稱思想和“利用對稱,化折為直”的轉化方法.將軍飲馬問題是構造高考命題的出發(fā)點.將軍飲馬問題可拓展到求pa-pb的最大值,解決此問題與將軍飲馬問題的區(qū)別,也是一種“對稱”,即分別利用“三角形兩邊之差小于第三邊”、“三角形兩邊之和大于第三邊”.對將軍飲馬問題的條件進行不同形式的包裝是高考命題者構造子題的常用手法. 子題(

3、1):(2013年重慶高考試題)已知圓c1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓c2:(x-3)2+(y-4)2=9,m、n分別是圓c1、c2上的動點,p為x軸上的動點,則|pm|+|pn|的最小值為( )(a)5-4 (b)-1 (c)6-2 (d)解析:由|pm|+|pn|=|pm|+1+|pn|+3-4=|pc1|+|pc1|-4,作c1關于x軸的對稱點a,則|pc1|=|pa|pm|+|pn|=|pa|+|pc1|-4|ac2|-4=5-4.故選(a). 注:本題把將軍飲馬問題中的兩點放置于兩圓上,給出了將軍飲馬問題的一個簡單變式. 子題(2):(2009年四川高考試題)己知直線l1:4

4、x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點p到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( ) (a)2 (b)3 (c) (d)解析:如圖,因直線l2:x=-1恰是拋物線y2=4x的準線,所以,動點p到直線l2的 p距離等于點p到拋物線y2=4x的焦點f(1,0)的距離,因此,動點p到直線l1和直線l2 o f x的距離之和的最小值是焦點f(1,0)到直線l1:4x-3y+6=0的距離=2,故選(a). l1 l2 注:本題利用拋物線的性質(zhì),把點p到直線l2的距離轉化為點p到拋物線y2=4x的焦點f(1,0)的的距離,體現(xiàn)了將軍飲馬問題中“化曲為直”的思想. 子題(3):(2

5、006年江西高考試題)p為雙曲線的右支上一點,m、n分別是圓(x+5)2+y2=4和圓(x-5)2+y2=1上的點,則|pm|-|pn|的最大值為( ) (a)6 (b)7 (c)8 (d)9解析:在雙曲線中,a=3,b=4c=5.故圓(x+5)2+y2=4和圓(x-5)2+y2=1的圓心恰是雙曲線的左、右焦點,如圖:則|pm|-|pn|pf1|+2-|pn|pf1|+2-(|pf2|-1)=|pf1|-|pf2|+3=2a+3=9,故|pm|-|pn|的最大值為9.故選(d). 注:利用雙曲線的性質(zhì),巧妙包裝了將軍飲馬問題. 子題系列: 1212 母題(17-55):將軍飲馬原理(473)

6、1.(1986年廣東高考試題)若點a的坐標為(3,2),f為拋物線y2=2x的焦點,點p在該拋物線上移動,為使得|pa|+|pf|取得最小值,點p的坐標應為( ) (a)(0,0) (b)(1,1) (c)(2,2) (d)(,1)2.(2008年寧夏、海南高考試題)己知點p在拋物線y2=4x上,那么點p到點q(2,-1)的距離與點p到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點p的坐標為( ) (a)(,-1) (b)(,1) (c)(1,2) (d)(1,-2)3.(2005年全國高中數(shù)學聯(lián)賽天津初賽試題)己知定點a(4,),若動點p在拋物線y2=4x上,且點p在y軸上的射影為點m,則|pa|-|p

7、m|的最大值是 .4.(2009年遼寧高考試題)己知f是雙曲線=1的左焦點,a(1,4),p是雙曲線右支上的動點,則|pf|+|pa|的最小值為 .5.(2011年廣東高考試題)設圓c與兩圓(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一個內(nèi)切,另一個外切.()求圓c的圓心軌跡l的方程;()已知點m(,),f(,0),且p為l上動點,求|mp|-|fp|的最大值及此時p的坐標.6.(1993年第四屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽(高二)試題)已知a(4,0),b(2,2)是橢圓+=1內(nèi)的點,m是橢圓上的動點,則|ma|+|mb|的最小值是 ,最大值是 .7.(1992年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)函數(shù)f(

8、x)=-的最大值是 .8.(2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建初賽試題)己知實數(shù)x,y滿足3x2+4y2=48,則+的最大值為 . 子題詳解:1.解:設p到準線的距離為d,則|pf|=d|pa|+|pf|=|pa|+d3+,當且僅當p在直線y=2上時,等號成立.故選(c).2.解:設p到準線的距離為d,焦點為f(1,0),則|pf|=d|pq|+|pf|=|pa|+d2+1=3,當且僅當p在直線y=-1上時,等號成立.故選(a).3.解:聯(lián)結pm,并延長交拋物線的準線于點n.由拋物線的焦點為f(1,0)|pm|=|pn|-|mn|=|pf|-1|pa|-|pm|=(|pa|-|pf|)+1|af|

9、+1=5.4.解:設右焦點為e,則|pf|-|pe|=4|pf|+|pa|=|pe|+|pa|+4|ae|+4=5+4=9.5.解:()設圓c的圓心為c,f1(-,0),f2(,0),則|cf1|-|cf2|=4軌跡l:-y2=1;()由|mp|-|fp|mf|=2,此時點p(,-).6.解:在橢圓中,a=5,b=3c=4.設c(-4,0),則c,a恰是橢圓的左、右焦點,由|ma|+|mc|=10|ma|+|mb|=10-(|mc|-|mb|)10-|bc|=10-2;|ma|+|mb|=10+(|mb|-|mc|)10+|bc|=10+2|ma|+|mb|的最小值是10-2,最大值是10+2.7.解:由f(x)=-表示點(x,x2)與點a(3,2)的距離及b(0,1)距離差的最大值;由于此二點在拋物線兩側,故過此二點的直線必與拋物線交于兩點;對于拋物線上任意一點,到此二點距離之差大于