中學(xué)函數(shù)解題思維畢業(yè)論文1

1、 山西師范大學(xué)文理學(xué)院本科畢業(yè)論文 中學(xué)函數(shù)解題思維姓 名 秦少瑜 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級 數(shù)學(xué)0703 學(xué) 號 0790110303 指導(dǎo)教師 王翠紅 答辯日期 成 績 山西師范大學(xué)現(xiàn)代文理學(xué)院二一一年四月中學(xué)函數(shù)解題思維 內(nèi)容摘要在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，函數(shù)應(yīng)用的越來越廣泛，重要性也越來越大，因此，運用合理的方法解決函數(shù)問題成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最常見的問題。本論文通過對中學(xué)函數(shù)中一般問題的思考，運用合理方法對問題進行分析解決。我們知道，函數(shù)在中學(xué)階段算是難點，但是它又是重點，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是每個中學(xué)生避不開的問題。函數(shù)中常見的問題包括函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)的最值以及函數(shù)的應(yīng)用等各方面。

2、想要更加簡便快捷的解決函數(shù)問題就要選擇正確的思維方法。本文選取了其中幾個比較容易理解的問題進行了分析和探討，通過查閱資料上網(wǎng)收集等方法，總結(jié)出一些解題思維的心得。通過舉例分析，畫圖等方式簡潔明了的闡述了令中學(xué)生頭疼的函數(shù)問題，為中學(xué)生進一步簡單的解決函數(shù)問題提供了新的思考思路。該論文緊密聯(lián)系中學(xué)教材，文章內(nèi)容容易理解，所舉例題符合教學(xué)大綱?！娟P(guān)鍵詞】函數(shù) 定義域 值域 單調(diào)性 奇偶性 secondary function of problem-solving thinking abstractin modern mathematics, the function applies more an

3、d more widely and more and more importance, therefore, using a reasonable solution to solve the function problem is a problem in middle school mathematics. this paper on the general problem in secondary function to think, to use a reasonable method analyzes the problems solved. we know, function at

4、the secondary level is the key, but it is also difficult, and it is the core of the middle school mathematics and students do not avoid the problem of each. function common problems including monotonic of functions, parity, the most value and function of the application of functions, etc. if we want

5、 to use more convenient shortcut to solve the problem, we must to choose the correct function of thinking methods. in this paper, we select some easy to understand questions were analyzed and discussed, through the data access methods of internet collection, summarizes some problem solving thinking

6、experiences. through the example analysis, drawing methods such as succinctly expatiates the function to middle school students have a headache, further simple solution for middle school students to provide a new thinking of function thinking. this paper closely textbooks, the content of the article

7、 are easy to understand, comply with the example syllabus questions.【key words】function domain range monotonic parity 目 錄一、引言(2)二、函數(shù)思維在解題中的應(yīng)用(2) （一）逆向思維在函數(shù)解題中的應(yīng)用(2) （二）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的應(yīng)用(5) （三）用方程的思想求函數(shù)的解析式(7)三、例析函數(shù)解題錯誤及防范(8)四、小結(jié)(9)參考文獻(10)致謝(10)中學(xué)函數(shù)解題思維 學(xué)生：秦少瑜 指導(dǎo)教師：王翠紅一、引言函數(shù)作為中學(xué)的一個重要內(nèi)容，起著至關(guān)重要的作用，它的應(yīng)用非

8、常廣泛，利用函數(shù)的知識及其思想，我們可以解決很多數(shù)學(xué)問題。函數(shù)是重點，同時也是難點，在解有關(guān)函數(shù)問題時，有時候因為我們對函數(shù)知識掌握欠缺，思維不清晰，定位不準確，就會出現(xiàn)錯解。因此我們在解函數(shù)問題時，一定要謹慎，多方面考慮，切不可草率做題。本文就函數(shù)的基本要素、重要性質(zhì)，通過典型類題的分析，使我們對函數(shù)知識融會貫通，解函數(shù)問題時思維寬闊，舉一反三，做到迅速、準確的解決問題。本文還對在解函數(shù)問題時常出現(xiàn)的錯誤，做了初淺的探討，以此來啟發(fā)我們在做函數(shù)問題時要審題清楚，要有實事求是的態(tài)度。二、函數(shù)思維在解題中的應(yīng)用（一）逆向思維在函數(shù)解題中的應(yīng)用 在解數(shù)學(xué)問題時，我們大多數(shù)時候是從條件出發(fā)，借助一些

9、方法和具體模式進行正面考慮。但有時候這樣做會事倍功半，因此我們可以考慮從問題的反面或結(jié)論出發(fā)，反向運用性質(zhì)來解決問題，這就是逆向思維。它的思維模式就是從條件或命題結(jié)論的反面出發(fā)來推出問題的結(jié)果。應(yīng)用逆向思維來解決某些與定義域和值域有關(guān)的問題 （）定義域與值域互求例 求函數(shù)在上的值域。解：函數(shù)可變形為 故由此可知 原函數(shù)又可變形為 函數(shù)的定義域為，即 解得： 小結(jié)：因為題中已知了函數(shù)的定義域，所以可將函數(shù)反解得出，由此得到關(guān)于的不等式，解之所得結(jié)果即為題目所求。例 已知函數(shù)的值域為，求此函數(shù)的定義域。解：由題意可得： 解得： 解得：綜上：原函數(shù)的定義域為()求有關(guān)參數(shù)范圍的問題例 已知函數(shù)的值域

10、為，求的值。解：由題意可知：將函數(shù)變形為當(dāng)時，滿足題意。當(dāng)時，由于，則有 即函數(shù)的值域為是方程的兩個根再由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得： ，小結(jié)：解此類問題，關(guān)鍵就在于把函數(shù)求值域的問題與解一元二次不等式問題聯(lián)系起來，即把函數(shù)式變形為關(guān)于的一元二次方程，當(dāng)二次函數(shù)系數(shù)不為且有解，則可利用判別式來求解，否則，利用判別式來求解。.應(yīng)用逆向思維來求解有關(guān)函數(shù)單調(diào)性問題 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，它在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，在解相關(guān)問題時，我們要靈活的運用，快速解題，增強我們的解題能力。 例 已知滿足，求的值。解：由條件，可得： 由兩式的結(jié)構(gòu)，我們可構(gòu)造函數(shù)由此可得又因為函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù) 即

11、.函數(shù)綜合應(yīng)用中的逆向思維例 設(shè)，且，求的值域。解： = = = 有綜上，的值域為小結(jié)：在求解本題時，巧妙的運用了不等式的性質(zhì)，從而避開了變形、化解這些繁瑣的過程。 （二）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它有及其廣泛的應(yīng)用，運用數(shù)形結(jié)合思想的基本思路是：根據(jù)題設(shè)條件，畫出相應(yīng)的圖形，再根據(jù)圖形的規(guī)律來解決相關(guān)問題。.利用圖像解單調(diào)性問題例 天津卷已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）。 圖（1）分析：對于此類問題，如果直接求解的話，就需要分類討論，這樣就會比較繁瑣。如果我們從函數(shù)的單調(diào)性即畫出分段函數(shù)的圖像（如圖（1）來研究，就會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)在定義域上是單調(diào)

12、增函數(shù)。由題中有，解得，故答案是。利用函數(shù)圖象解奇偶性問題例 判斷函數(shù)的奇偶性。圖（2）解：畫出分段函數(shù)圖象，如圖（2）所示： 有當(dāng)即時，有： 當(dāng)即時，有 無論或，總有由此可知是奇函數(shù)。利用函數(shù)圖象確定根的個數(shù)例 利用函數(shù)圖象來討論方程的實根個數(shù)。解：構(gòu)造函數(shù)：與 由題意可知，方程的實根個數(shù)就是函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)。如圖（3）：當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根。當(dāng)或或時，方程只有一個實數(shù)根。當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。圖（3）（三）用方程的思想求函數(shù)的解析式方程的思想就是將題設(shè)條件中的函數(shù)作為未知函數(shù)來考慮，從而建立函數(shù)方程或方程組，消去另外的未知數(shù)便得到所求函數(shù)的解析式。例 函數(shù)是偶函數(shù)

13、，是奇函數(shù)，如果，求。解：函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù) +得：例 若 ，求。解：在式中，用代替，得： 即 再用代替式中的，得： +-得： 綜上：例 若函數(shù)滿足條件：，求的解析式。解：將已知條件中的方程中的變量換成，可得： 又 解、兩式可得： 小結(jié)：用方程的思想來解此類問題時，關(guān)鍵是要構(gòu)造一個與已知方程中含有相同未知元的方程，再解此方程組得到所求解析式。三、例析函數(shù)解題錯誤及防范草圖不合格例 判斷此命題“當(dāng)時，關(guān)于的方程沒有實數(shù)解”正確與否？錯解：由題意，當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱，且分布于它的兩側(cè)，因此，當(dāng)時，關(guān)于的方程沒有實數(shù)解。剖析：由于我們平時習(xí)慣畫草圖，經(jīng)常將函數(shù)與函數(shù) 畫在直線的兩側(cè)，從

14、而導(dǎo)致錯解。事實上，當(dāng)時，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有一公共點，因此，此命題為假。此題啟發(fā)了我們在平時做題時，要有嚴謹?shù)膽B(tài)度，切不可草率做題。概念不清，定位不準確例 已知，求函數(shù)的最大值及最大值時的值。錯解：由題意設(shè) 因為，則由函數(shù)的圖像可知：當(dāng)即時，的最大值為。剖析：上述解法看似很流暢、完美，但是它忽略了函數(shù)的基本要素之一定義域，題設(shè)條件中，對來說，的取值范圍是，但對于來說，必須滿足，此時，的取值范圍是，所以。因此，當(dāng)即時，取得最大值為。 四、小結(jié)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，起著舉足輕重的作用，它貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的整個知識脈絡(luò)中，利用函數(shù)的知識和思想，我們可以處理很多數(shù)學(xué)問題。在本文中，通過對

15、函數(shù)的基本要素、基本性質(zhì)以及綜合運用中的例題分析，使我們對函數(shù)有更整體的把握，條理清晰，邏輯清楚，增強我們的解題能力。 參考文獻【1】劉偉.逆向思維在函數(shù)解題中的應(yīng)用.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2008年第9期【2】蘇有馬.函數(shù)單調(diào)性的求解思維策略.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2010年第10期【3】代紅芳.判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)注意到問題.中學(xué)生數(shù)理化（高一版），2008年第7-8期【4】 邵文麗.巧用函數(shù)圖象速解題.高中數(shù)理化（高三）【5】 高慧明.函數(shù)解析式的求法探究.泛舟學(xué)海（高中），2008年第9期【6】 陳堯明.例析函數(shù)解題錯誤及防范.數(shù)學(xué)通報，2009年第48期第3卷致謝：大學(xué)四年在眨眼之間已接近尾聲，而畢業(yè)論文是我們的最后一站，它將為我的大學(xué)生活畫上一個完美的句號。在大學(xué)最后的這段時光里，我要特別感謝我的論文指導(dǎo)教師王翠紅老師，從論文選題、開題報告到論文完成，一路走來，王老師都給予了不屑的