等和線解決的平面向量專題

1、X、y,解答：取AC中點(diǎn)D,1、【2014寧波二模理17】uur 使得AO則有已知點(diǎn)uuuxABLuurAOO是厶ABC uuryAC，且 x的外接圓圓心，且 AB=3 , AC=4 若存在非2y 1，貝y cos/ BAC =uuuuuurxAB y Acuuu xABuuur2yAD，而 x 2y 1，得點(diǎn) B,O,D三點(diǎn)共線，已知點(diǎn)2 cos BAC .3O是厶ABC的外心，可得BDAC，故有 BC=AB=3 AC=4,求得2、【2014杭州二模文1AC，則3AO1 AB 3A.30B.45O解答：取AC中點(diǎn)D,的外心，可得BD8理6】設(shè)O ABC的外心(三角形外接圓的圓心)若則有BAC

2、的度數(shù)為(murAOAC，3、【2009浙江理樣卷6】已知uurPA則-utur =PB1A.-3解答：由已知uuuOP2t uurOA1 2t1時,C.60D.901 uuuAB3即有AO=BO=2D,O故可求得 BAC 60 .2 uuurAD，得點(diǎn)B,O,D三點(diǎn)共線，已知點(diǎn) O是厶ABC3uuuAOB，點(diǎn)P在直線AB上，且滿足OPuur uuu2tPA tOB tB.C.2D.3uuuoftOB，點(diǎn)P在直線AB上，得一tt1 2t1，解得tuuuOP1 uuu-OA2uuu 1 uuu 可得OA OP 21 uuuOB2此時A為PB中點(diǎn),PB1 uuuuuuPA-OB，此時P為AB中點(diǎn)，

3、-uur =1.2PB12時，可得4、【2014浙江省六校聯(lián)考理mrBAC 120o，若 AO17】已知O為 ABC的外心，AB 2a , AC (a 0), auuuujurxAB yAC ( x, y為實(shí)數(shù))，則x y的最小值為 .解答：如圖，設(shè)AOI BCE，EOm，juuR uujRuuuuurAOAEx1 AB%ACRmR m得XyR?所求取值范圍是2,R mAO R，則易知R，其中Xi yi 1，m ,R，故由已知可2解；由75乍屈十尸祠可得：加=2代-即二冃-Mi丄尸aa解得！2a- +1 才、-a+ 2 v =-3所以工* =仝匕衛(wèi)啜 33 3屮 $2014fi江耆六校聯(lián)考17

4、】已SDO為AzLffC的外心“二肪城二二（“0,aZBAC = 120* ?若而而+ $兀工為實(shí)數(shù)），則 W 的最小值為儀4-*注意外接圓 AB-A（U 占碉2|AO|cos6BAft = |a|AB|.C-AO三門|2|理辭創(chuàng)三網(wǎng)|理 _遞逢尊式垂麗得：X2.帀=為+屈忌.gP-AB2 = AB2x- 2y題設(shè)等式旋X 得：AC * AO = xAB - AC + yAC2. 即：XS? = 2x +AC2：扌屈門辰+應(yīng)I冷itt尿ii屈|起仃就r+岡+|鬲r_】w |和工yAB2AC4AB2AC2-4_ 3 I f J _L 雄SgJ刃心歷“仇后=2丸_處耳.化=1力：若aAO=aABp

5、AC Q亡尺則曲劇最小I為多少？解答，將丄在直角坐標(biāo)系中*且誡和原點(diǎn)Q和二軸方向至令 恆據(jù)題竜有、,塢坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為血C點(diǎn)坐標(biāo)為（2,也），外型林是處中垂線和月沖垂線交臥 a a血中垂踐方程為x=a:血中垂線斜率宀.且纟鈕乩線的中就弓.誓得到外卜坐標(biāo)為此斗3+二J* a._ 1 巾于是jOw pQ + -）1a AB -/3AC= a( 2a.蹄砂冷+押+土雋+*2（內(nèi)候等號卿）2, 內(nèi)心二2億月匸二二（口二0衛(wèi)迂Q/B4C二卩0二 若a脅p血-反疋（広0亡酌則M血最大值為多少？3, 雄_18冰垂心，.1? = 2: JC = （ 0= zz t R）: Z.4C = 120 C 若a而p麗胡

6、走a尸丘的：則姑亦最小值為多少？空4, 043CJ重心 t Aff = 2ar AC = （a 0衛(wèi) e y_S工C = HQ 若aAOaAB-fiAC（a.尸eR=則卅酵I多少？5、【2013學(xué)年第一學(xué)期末寧波理 17已知O為 ABC的外心，AB 4, AC 2, BAC 120。若 AO 1 AB 2 aC，貝卩 i 2 -解法1如圖，設(shè)AOI BC E , uur r uuuG點(diǎn)，則易知AOAER mEO m , AO R , AF BC 于 F 點(diǎn)，OG BC 于 r uuu uuuX1 AB y! AC，其中Xi yi 1，由已知可求R m得OG21，AF2-21，故可求得12RAF

7、 OG d137RmAFuuuruuuuuu2uuur uuuAOAB1 AB2AC AB口816 14 2解法2 :uuuruuuruuu uuuruiur2 ，得,解得AOAC1 AB AC2AC24 14 21OG 13AF石8，故解法3 :設(shè)13A 0,0 ,B 4,0i, .3外心AB中垂線2和AC中垂線二的交點(diǎn)O 2 ,41334,334、3uuur 得AOuuuAB4,0，uuu-AC 1八 3，有誤，重解3 2【變式1】、已知向量a,b的夾角為2，且丨 a|=4 , | b| =2,3|a-c|=| b-c|=| c| ，若 c=xa+yb.13 貝 U x+y= 一 .66、

8、【2013學(xué)年第一學(xué)期月考寧海縣正學(xué)中學(xué)文位向量，若向量 c滿足c + a= (c+b)(17】已知a , b為平面內(nèi)兩個互相垂直的單R),則|c|的最小值為r r i r r uuu解答：如圖，由已知 cba，設(shè)a OA，1 1r ulu馬線AB上，得C OC有最小值纟.2uuu r uuur亠+OB， c OC，則點(diǎn)C在直7、【2012年稽陽聯(lián)考15】A, B, P是直線I上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)O在直線l夕卜，若uuu uuuuuuOP mAP (2 m 3)0B,(mR），則uuu |PUU| = |PA|解答:8、【2013杭二中高三適應(yīng)考理 17】如圖，在直角梯形 ABCD中，ADP在以點(diǎn)

9、C為圓心，且與直線BD相切的圓上或圓內(nèi)移動,AB , AB / DC ,2，動點(diǎn)R），則取值范圍是解答:uuu ABAD DC 1 , AB uuuuiur設(shè) AP AD(,設(shè) API BD E, AEm , APUJUn UUUn UJUUUTn，貝UAP AE xAByAC，其中m my 1，得2 0+Jffl： J-于f 故“瑋一上斛匹疋22 2不妨令上）=-尤# 3 -二弓-色口心9工 C所以畑在X E X上單調(diào)通減 /(0) - 3, /(I) N 1 ,得 /(x) E 1.3 c POD= 3，點(diǎn)P為仏BCD內(nèi) （含邊界）的動點(diǎn),4的最大值等于-314、若等邊ABC的邊長為2，平

10、面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM1 一 1 一-CBCA，則 MAMB（C）32A8c13c813A.-B.C.D.999915、若等邊ABC的邊長為2 3，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM1 2 CB CA 則 MAMB-2.6316、若M為ABC內(nèi)一點(diǎn)，uuuu且滿足AM3 uuu3 AB1 uuur AC，則 ABM 與ABC的面積之比44為 1:4 .17、設(shè)0是ABC的外心，uuu AOuu xABuur yAC ,uuuAB uuur4, AC 6,12x - y 1，則2uuu umrAB AC =418、已知O為 ABC的外心,|AB| 16,| AC | 10 2 ,若 AO xAB yAC ,32x

11、+25y=25，則ujrrOA = 10 .19、已知A、B是單位圓上的兩點(diǎn)，O為圓心,uuiruuu直徑，點(diǎn)C在圓內(nèi)，且滿足OC OA （1值范圍是（C）1A - 1,1）B . 1,1）且 aob1200, MN是圓O的一條uur一一uuur uur)OBr(01），則CM CN的取3C . 3,0)4D. 1,0)20、已知圓O的半徑為2,AB是圓上兩點(diǎn)且AOB -3MN是一條直徑，點(diǎn)C在uuruuuuuuuuuuuur圓內(nèi)且滿足OCOA(1)OB(01)，則 CMCN的最小值為（C）A . - 2B.-1C.3D4uuuuuukOA (2 k)OBuurOC0, (0 k2)，則cos

12、( )的最大值是22、【2014稽陽聯(lián)誼理ABD,若 BCD16】在ABC中,uur2 ACD , ADBAC 90，以AB為一邊向 uuu uuurAB AC ,則 =ABC外作等邊m0-35me解：如圖，設(shè)點(diǎn) D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為D，且DD交AC于點(diǎn)E.設(shè) DCA ，則CBD 1503 ,在 DCD , BCD中利用正弦定wCDBDDD1CD理得從而得sin(1503 ) sin2sin 2si n(90)sin(1503 ) sin(90)，從而150390或 150390而得15 .顯然1AE乜+樸1,故AB2AC22BCD 2 , CD D 90uuuABC 中，AB=4, AC=2

13、,若 AB180從23、已知uuu uuuPB PC的最小值是uult22 AC的最小值是2,則對于 ABC內(nèi)CP一點(diǎn)P，uuuAuiuruuuuuur解：AB2 2 ACAB 12 ACAB 1uuuuuu1UULT設(shè)AEAB 1AD，則點(diǎn)E在直線AD上,uuurAD的最小值是2，AB=4 ，AC=2, AD=4故當(dāng)AE長度最小為2時，E為BD中點(diǎn)，AE BD， 得 BAC 120，取BC中點(diǎn)F，連結(jié)AF，取AF中點(diǎn)G,則有：uuuuuuuuur uuuuuu uult 2uuu 2 uuur 21 uult2PAPBPC2 PAPF2 PGGA2PG- AF21 uuur2iuuuuuur23當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時，有最小值-AF-ABAC-2 82=2XTxQ產(chǎn)腫篤x 52*劉杈沁皿2.艸p鑰茁圭磁內(nèi)ABC內(nèi)接于以ruuir uuu0 ,則 OC AB =uuu uuu uiurO為圓心，1為半徑的圓，且-OA 4OB 5OC解:uuu-OAuuu4OBuuur5OC，兩邊平方得 OA OBuuu uuu0.uuur故OCuiurAB-uuu-OA54 uuu -OB5uuuOBuuuOA1 uuu -OA 5uuuOB2、在ABC中，uuuruuuunrOCBA2BC解法1：設(shè)B-,0AC=2,BC=6,ABC內(nèi)uuuOAuuu-OBuuur r4OC