點(diǎn)到平面的距離的幾種求法

1、點(diǎn)到平面的距離的幾種求法馬志良 求點(diǎn)到平面的距離是立體幾何教學(xué)中不可忽視的一個(gè)基本問(wèn)題，是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)本文試通過(guò)對(duì)一道典型例題的多種解法的探討，結(jié)合立體幾何(必修本)中的概念、習(xí)題，概括出求點(diǎn)到平面的距離的幾種基本方法 例已知是邊長(zhǎng)為4的正方形，、分別是、的中點(diǎn)，垂直于所在平面，且，求點(diǎn)B到平面的距離 一、直接通過(guò)該點(diǎn)求點(diǎn)到平面的距離 直接作出所求之距離，求其長(zhǎng) 解法1如圖1，為了作出點(diǎn)B到平面EFG的距離，延長(zhǎng)FE交的延長(zhǎng)線于， 連 結(jié)，作，交于，則有，平面作，交于，易證平面平面作，垂足為，則平面于是是點(diǎn)到平面的距離易知/，由，得圖1圖2 不直接作出所求之距離，間接求之（）利用二面角

2、的平面角 課本第4題，第2題、第4題給出了“二面角一個(gè)面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，它到棱的距離、到另一個(gè)面的距離與二面角的大小之間所滿足的關(guān)系”如圖2，二面角-的大小為，點(diǎn)到平面的距離，則有 中的也就是二面角的大小，而并不強(qiáng)求要作出經(jīng)過(guò)的二面角的平面角 解法2如圖3，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，易知，這就是點(diǎn)到二面角-的棱的距離連結(jié)交于，連結(jié)，易證就是二面角-的平面角 ，求點(diǎn)到平面的距離是立體幾何教學(xué)中不可忽視的一個(gè)基本問(wèn)題，是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)本文試通過(guò)對(duì)一道典型例題的多種解法的探討，結(jié)合立體幾何(必修本)中的概念、習(xí)題，概括出求點(diǎn)到平面的距離的幾種基本方法 例已知是邊長(zhǎng)為4的正方形，、分別是、的中點(diǎn)，垂直于所

3、在平面，且，求點(diǎn)B到平面的距離 一、直接通過(guò)該點(diǎn)求點(diǎn)到平面的距離 直接作出所求之距離，求其長(zhǎng) 解法1如圖1，為了作出點(diǎn)B到平面EFG的距離，延長(zhǎng)FE交的延長(zhǎng)線于， 連 結(jié)，作，交于，則有，平面作，交于，易證平面平面作，垂足為，則平面于是是點(diǎn)到平面的距離易知/，由，得圖1圖2 不直接作出所求之距離，間接求之（）利用二面角的平面角課本第4題，第2題、第4題給出了“二面角一個(gè)面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，它到棱的距離、到另一個(gè)面的距離與二面角的大小之間所滿足的關(guān)系”如圖2，二面角-的大小為，點(diǎn)到平面的距離， 則有 中的也就是二面角的大小，而并不強(qiáng)求要作出經(jīng)過(guò)的二面角的平面角 解法2如圖3，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，易知，

4、這就是點(diǎn)到二面角-的棱的距離連結(jié)交于，連結(jié)，易證就是二面角-的平面角 ， ，/，于是由得所求之距離 解略 （）利用斜線和平面所成的角 如圖4，為平面的一條斜線，與所成的角為，到平面的距離為，則由斜線和平面所成的角的定義可知，有經(jīng)過(guò)與垂直的平面與相交，交線與所成的銳角就是中的，這里并不強(qiáng)求要作出點(diǎn)在上的射影，連結(jié)得 解法3如圖5，設(shè)為與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，作，為垂足又，易得平面平面，為它們的交線，所以就是與平面所成的角由，可得，在中，所以/，于是由得所求之距離圖5圖6 （）利用三棱錐的體積公式 解法4如圖6，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐-的體積(/)另一方面又可得這個(gè)三棱錐的體積(/)，可求得(/)，所以有/，得二、不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)間接確定點(diǎn)到平面的距離 利用直線到平面的距離確定 解法5如圖7，易證平面，所以上任意一點(diǎn)到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離由對(duì)稱思想可知，取中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離較簡(jiǎn)單交于，交于易證平面平面，作，為垂足，為所求之距離圖7圖8 利用平行平面間的距離確定 如圖8，把平面補(bǔ)成一個(gè)正四棱柱的截面所在的平面，可使題設(shè)中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系更加明朗面是正四棱柱-經(jīng)過(guò)、的截面所在的平面交于，交于，作，交于，連結(jié)，則有平面平面它們之間的距離就是所求之距離于是可以把點(diǎn)平移到平面上任何一個(gè)位置，哪里方便就在哪里求 這兩個(gè)平行平面