11.1平方根與立方根

1、11.1平方根與立方根重、難點研習(xí)研習(xí)點1:平方根概念如果一個數(shù)的平方等于 a,那么這個數(shù)就叫做 a的平方根(二次方根). 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)即為：若 x2=a，則x叫做a的平方根.求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方的運算.【歸納整理】一個正數(shù)a的正的平方根，用符號“表示，a叫做被開方數(shù)，2叫做根指數(shù)，正數(shù)a的負(fù)的平方根用符號“”表示，a的平方根合起來記作，其中+ 讀作“二次根號”，；讀作“二次根號下 a”.根指數(shù)為2時，通常將這個 2省略不寫，所以 正數(shù)a的平方根也可記作“：心”讀作“正、負(fù)根號 a” .2. 平方運算與開平方運算互為逆運算.根據(jù)這種關(guān)系，我們可以通過平方運算來求一個數(shù)的平方根

2、與其他運算法則不同之處在于只能對非負(fù)數(shù)進(jìn)行運算典例1下列各數(shù)的平方根：蘭 21(1) 81 ;(2)二；(3):;(4) 0.49.【研析】(1) ( 9)2=81, 81的平方根為土 9即:J 二-：; (土 y -善(2) ： 一，工1 土匹二的平方根是 即 二v21=-,仕 工(3) ： 一 ,.212 土歷崩.的平方根是.，即上 ;2(4) T ( 0.7) =0.49 , 0.49的平方根為土 0.7 .趾麗=07研習(xí)點2:平方根的性質(zhì)1一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).2. 0有一個平方根，它是 0本身.3負(fù)數(shù)沒有平方根.【探索發(fā)現(xiàn)】 數(shù)a是否有平方根，應(yīng)根據(jù) a的取值而定，一

3、般地，當(dāng) a是正數(shù)時，a 有兩個平方根，它們是互為相反數(shù)；當(dāng) a是0時，只有一個平方根是它本身；而當(dāng) a為負(fù) 數(shù)時，則沒有平方根，所以判斷一個數(shù) a是否有平方根一定要注意 a的隱含條件，即a 一定 是非負(fù)數(shù).典例2求下列各式中x的值：(1)【研析】這里要求靈活運用開平方的知識來解方程，如果把方程左邊展開， 則走入誤區(qū),必須運用開平方的知識求解.解:(1)7 .13X = _sJZjf 2x3 = 10i2x+ 3 = -10，則 22二 1 t x 或1 - X - X =或X =I，則本題不要將原方程利用乘法公式變形展開，把括號里的看作整體處理，因此問題就轉(zhuǎn)化為求平方根問題但要注意一個正數(shù)的

4、平方根有兩個研習(xí)點3 :算術(shù)平方根正數(shù)日有兩個平方根(表示為士苗)，我們把其中正數(shù)冕的正的T工打二，兀.、；.0的平方根也叫做o的算術(shù)平方根，因此0的算術(shù)平方根是 o,即二 f-.【辨析比較】算術(shù)平方根的符號“-”不僅是一個運算符號，如 a 0時， a表示對 非負(fù)數(shù)a進(jìn)行開平方運算，另一方面也是一個性質(zhì)符號，即表示非負(fù)數(shù)a的正的平方根.例如亦既表示對9進(jìn)行開平方運算，也表示9的正的平期艮.典例3求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：49(1)100( (2) ； 10宀 0)049.【研析】 因為102=100,所以100的算術(shù)平方根是10,即，丁 ：因為12=擊，詰牯所以擊的算術(shù)平方根是即- 0.7.研習(xí)

5、點4:平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別及聯(lián)系區(qū)別：（1） 定義不同：“如果一個數(shù)的平方等于 a，這個數(shù)就叫做a的平方根”；“非負(fù)數(shù)a的 非負(fù)平方根叫做a的算術(shù)平方根”.（2）個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，而一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個（3）表示方法不同：正數(shù)a的平方根表示為 、二，正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為 丄】.（4）取值范圍不同：正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；正數(shù)的平方根則一正一負(fù)，兩數(shù) 互為相反數(shù)聯(lián)系：（1）具有包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的一種（2）存在條件相同：平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有（3） 0的平方根、算術(shù)平方根均為0.【辨析比較】平方根的符號有三種形式：土

6、、二，、二，一丄；，它們的意義分別是：非負(fù)數(shù)a的平方根，非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，非負(fù)數(shù) a的負(fù)平方根.要特別注意、二工丄 .典例4填空：（1）1的平方根是 ;立方根為 ;算術(shù)平方根為 .（2）平方根是它本身的數(shù)是.（3）立方根是其本身的數(shù)是.（4）算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是 .（5）-廁 的立方根為 .（6）耳的平方根為.的立方根為.解： 1; 1; 1.（2）0 .（此題學(xué)生容易把1也算進(jìn)去，注意糾正他們的錯誤.）（3） 1和0.（由此題，再復(fù)習(xí)一道立方根的性質(zhì).）（4）0 ,1.（此題有學(xué)生可能會忘掉 0.）-2 （此題學(xué)生易得出-4的答案，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將M 翻譯為-8，在求立方根，也有學(xué)生將看

7、成得到-j ,講解時注意）（6）二二（此題首先讓學(xué)生把r 計算出來，再求平方根，而且平方根有兩個）-2 .研習(xí)點5:立方根1. 立方根的概念：如果一個數(shù)的立方等于 a,這個數(shù)就叫做a的立方根.（也稱數(shù)a的三次方根）用數(shù)學(xué)式表示為：若x3=a,則x叫做a的立方根，或稱 x叫做a的三次方根.2. 求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.開立方運算與立方運算互為逆運算.3. 立方根的表示方法：類似于平方根德表示方法，數(shù)a的立方根我們用符號：二 來表示.讀作“三次根號下a”,其中a叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù).4. 立方根的性質(zhì)：正數(shù)的兩方法供是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個負(fù)數(shù)，0的立方根是0.【類比擴展】方根概念的拓展概念：若x = a，貝y x叫a的n次方根表示為 x,（ n蘭2的整數(shù)）n為偶數(shù)時，可對比平方根a - 0時，a有n次方根；a : 0時，a的n次方根不存在.n為奇數(shù)時，對任意的 a都有n次方根. 歸納：A： n為偶數(shù)時，療=|a|，(需)n =a(a 3 0)；n為奇數(shù)時：n an =(n.a)n =