高中數(shù)學教學設計：平面向量教學研究

1、平面向量教學研究一、教材分析：（一）教材編寫以實例為背景，關注了學生的現(xiàn)有認知水平。本教材特別注意知識的實際背景和發(fā)生發(fā)展過程，對涉及到的概念、法則、公式，本教材都力求通過學生熟悉的實物、事例、知識，并由學生自己觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括得出結論。比如：1、向量的概念是通過物理中的位移、力的概念引出來的，在分析了位移和力這兩種量都俱有大小、方向這兩個共同屬性后，概括出了向量的基本特征及概念。2、向量的加法三角形法則是通過讓學生觀察位移的合成，平行四邊形法則是通過讓學生觀察力的合成自然得出結論來的。3、平面向量的正交分解是通過物理學中力的分解引申出來的。4、向量的數(shù)量積是通過物理學中力做

2、“功”的概念引申出來的。教材正是注重了向量的這些實際背景，從學生熟悉的事例出發(fā)，才使這樣一個嶄新陌生的概念更加接近學生的現(xiàn)有認知水平，使學生理解起來感覺并不困難。（二）重視學生思維能力的培養(yǎng)。新教材對概念的引入，公式結論的推導，都盡量以問題的形式出現(xiàn)，引導學生進行觀察、分析、概括得了結論，培養(yǎng)學生的思維能力。比如：1、在介紹向量加法運算時，先讓學生觀察實例：力與力在拉動橡皮條產生的效果與力拉動橡皮條產生的效果完全一樣，進而引導學生得出的結論，在這個過程中，學生經歷了觀察、猜想、抽象、分析、歸納的思維過程，思維能力得到了鍛煉和提高。2、在推導平面向量基本定理時，先讓學生思考平面內向量與平面內兩個

3、不共線的向量和的關系，聯(lián)想到向量加法的平行四邊形法則和向量的數(shù)乘運算，通過作圖和推理，得出一定存在兩個實數(shù)和，使得，進而歸納出平面向量的基本定理。這一過程要求學生用舊知識，通過邏輯推理得出新結論，培養(yǎng)了學生的邏輯推理能力。（三）注意數(shù)學思想方法的滲透向量是用一種幾何圖形可用有向線段來表示。向量有方向，可以用來刻劃直線、平面等幾何對象及它們的位置關系；向量是一個有長度的量，可以用來研究與長度、面積、體積有關的幾何問題。其次，向量有自己的運算和運算規(guī)律，可以進行加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等運算，在引入了向量坐標后，其運算更是轉化為了一種數(shù)的運算。正是因為向量具有“數(shù)”與“形”的雙重屬性，才使向量成了“數(shù)

4、形結合”的橋梁，使得我們可以用代數(shù)方法來研究幾何問題，用幾何觀點來處理代數(shù)問題。本章教材內容也很好地體現(xiàn)了“數(shù)形結合”的思想。二、教學建議：（一）深刻理解課標要求，準確把握教學標高由于向量是高中數(shù)學的新增內容，因此，教學中一定要突出重點，抓住關鍵，讓學生認清概念的本質，熟悉運算規(guī)律，掌握應用的方法和技巧。根據(jù)課標要求，在教學中要力求把握好以下幾個層次的要求：了解層次：向量的實際背景；共線向量的概念；向量的線性運算性質；平面向量的基本定理及意義。理解層次：向量的概念及幾何表示；向量的加法、減法、數(shù)乘運算的幾何意義；共線向量的含義，共線條件的坐標表示；平面向量的數(shù)量積的含義及其物理意義。掌握層次：

5、向量的加法、減法、數(shù)乘運算；平面向量的正交分解及坐標表示；數(shù)量積的坐標表達式；向量垂直、平行的充要條件；平面向量的坐標運算；平移公式、夾角公式。（二）夯實基礎，訓練技巧，培養(yǎng)能力。向量這一章涉及的新概念、新運算、新公式、新符號、新定理較多，特別是向量的運算及運算規(guī)律又很容易與實數(shù)的運算及運算規(guī)律相混淆，教學中應特別注重基礎知識的教學和基本技能的訓練，并對容易出錯的知識板塊，以專題的形式進行強化。可以將本章基礎知識進行分類歸納為：概念類：向量、相等向量、相反向量、平行向量（共線向量）、向量的模、兩向量的夾角、一個向量在另一個向量方向上的投影，向量的坐標等。運算類：向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積運

6、算及其幾何意義、坐標表示。結論類：平面向量的基本定理；兩個向量平行或垂直的充要條件。應用類：用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題，力學及其它一些實際問題；體會向量“數(shù)”“形”的雙重屬性，增強對向量工具性功能（語言功能、應用功能）的認識，培養(yǎng)“數(shù)形結合”的數(shù)學思想。比如：對向量的運算可作如下對比分析：表一：向量的數(shù)量積與實數(shù)積運算的比較實數(shù)乘積向量的數(shù)量積相同部分運算結果是一個實數(shù)運算結果是一個實數(shù)不同部分（為單位向量）（除特殊情況外）表二：向量的加法與實數(shù)的加法比較實數(shù)的加法向量的加法相同部分表三：向量的數(shù)乘運算與實數(shù)運算比較實數(shù)運算向量的數(shù)乘運算相同部分不同部分（三）引導學生關注向量運算的合

7、理性問題這里所說的向量運算，不但包括向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的運算，還包括向量的模、向量的夾角運算。合理性是指在運算中，要密切關注三個方面的問題：1、向量運算的背景從總體上講，向量運算有兩個層次的背景，一是非坐標狀態(tài)下的運算；二是坐標狀態(tài)下的運算。在非坐標狀態(tài)下的運算，一般是用基向量的思想，用各種運算的原始定義進行。這就要求學生有較強基底意識 ，能夠恰當?shù)剡x擇基底（基底選擇的原則是：知道模和夾角的兩個非零向量，可能的情況下盡量選擇從同一點出發(fā)的兩個向量）；并具備能迅速地用基向量表示出所要研究的向量的代數(shù)變形和幾何變換能力。例如：1、在中，d是邊bc上的一點，則 。解：因為=所以（）= 2、在

8、中，ab=2，ac=3，d是邊bc的中點，則 。解：因為，所以 = =2、向量運算的先后次序在向量的坐標狀態(tài)下，向量的運算也要恰當?shù)剡x擇運算的先后順序，不是什么時候都是先將坐標代入計算，有時是在解題的最后幾步才需要代入坐標。例如：（1）、若，且滿足，其中，（1）用表示；（2）求的最小值，并求此時的夾角。（2）、已知向量其中。a，b，c為的內角，且a，b，c依次成等差數(shù)列，求的取值范圍。對這兩個題，都是在向量坐標狀態(tài)下涉及到向量的模的問題，是先將向量的坐標求出來再用模的公式呢？還是先將模轉化為數(shù)量積再代入坐標運算？這是教學中要重點引導學生思考總結的問題。3、巧妙運用題中向量間的特殊關系（平行共線

9、、垂直關系、相等、相反向量等），簡化運算過程例如：已知向量，若，則與的夾角為 。分析：此題最容易想到的思路是用待定系數(shù)法先求出的坐標，再用夾角坐標公式求解，但再計算的坐標時，才發(fā)現(xiàn)運算量很大。如果細心觀察，發(fā)現(xiàn)與共線且反向，且于是由條件得到，很容易得到，與的夾角為。還有另一種思考：由條件可得，由于發(fā)現(xiàn)與共線且反向，如設與的夾角為，則與的夾角為，所以，不難求出，（四）突出向量的實際背景，將抽象問題具體化向量有著豐富的實際背景，在教學中，通過讓學生感知向量這些熟悉的實際背景，將抽象問題具體化，可以幫助學生更加直觀地理解概念、運算及其它結論的本質內涵。 例如，在講向量加法運算的時候，以位移的合成和力

10、的合成為背景，在講到向量的數(shù)量積的時候，以物理學中力做“功”為背景等。（五）突出向量的工具性，增強學生自覺應用向量意識。向量作為高中教材的一部分，其重要功能主要有兩個方面：一是向量的語言功能；二是向量的應用功能。向量的語言功能是指：向量不但是刻畫物體位置、物理量（如力、位移、速度等）、幾何圖形性質的重要工具，同時也是刻畫代數(shù)中量與量關系的重要工具。因此向量具有幾何、代數(shù)雙重語言功能，是一種重要的數(shù)學語言。在用向量解決實際問題時，必須實現(xiàn)向量語言和其它數(shù)學語言的相互轉化，這往往是學生學習應用過程中的難點，同時也是解決問題的關鍵。教學中必須及早地滲透向量語言，消除學生對向量語言的陌生感、神秘感。比

11、如：1、用向量證明：平行四邊形abcd的兩條對角線的平方和等于四邊形四條邊的平方和。證明：，=故結論成立。證明過程實質上就是將幾何學語言轉化為向量語言，再用向量知識推導得出相應結論，再將結論轉化為幾何語言的過程。2、用向量構造函數(shù)已知平面向量，（1）存在實數(shù)和，使得，且，試求函數(shù)關系式。（2）根據(jù)（1）的結論，寫出它的單調區(qū)間。分析：本題求的過程（略），實質上就是將向量語言通過向量的坐標運算和垂直關系轉化為代數(shù)語言的過程。向量的應用功能：在高中數(shù)學中主要是指用向量解決與長度、角度有關的幾何問題，處理幾何中的平行或垂直關系，這在立體幾何中應用尤其廣泛。在教學中，要引導學生逐步掌握用向量解決此類問題的思路、方法、步驟，并加強運算能力的培養(yǎng)。同時還要引導學生體會