湖南師大附中2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)Word版含答案

1、湖南師大附中2017 2018 學(xué)年度高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) (理科 )命題：賀仁亮朱修龍嚴(yán)勇華審題：高二數(shù)學(xué)備課組時(shí)量： 120 分鐘滿分：周艷軍150 分得分： _一、選擇題：本大題共12 小題 ，每小題5 分，共 60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的2i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于1設(shè) i 是虛數(shù)單位 ，則復(fù)數(shù) 1 iA 第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限112設(shè)向量 a (1， 0)， b2，2 ，則下列結(jié)論中正確的是2A |a| |b|B a b 2C a b D a b 與 b 垂直3設(shè) m， n 是不同的直線 ， 、 、是不同的平面 ，有以下四個(gè)命題： m

2、；mm n；m m ；nm .其中正確的命題是A B CD54已知命題 p：x0 R，使 sin x 0 2；命題 q：x 0， 2，xsin x ，則下列判斷正確的是A p 為真 B 綈 q 為真 Cp q 為真 D p q 為真5若曲線 x2 y2 2x 6y 1 0 上相異兩點(diǎn)P、Q 關(guān)于直線 kx 2y 4 0 對(duì)稱，則 k的值為A 1 B 1 C.1D 226已知 f(x) sin x 3cos x(x R)，函數(shù) y f(x )的圖象關(guān)于直線x 0 對(duì)稱 ，則 的值可以是A. 2B. 3C. 4D. 67若 (2x3)4 a0122 a33 a4 40242 (a132的值為a x

3、 a xxx ，則 (a a a )a )A 1 B 1 C0 D 28為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5 戶家庭 ，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：年收入 x(萬(wàn)元 )8.28.610.011.311.9年支出 y(萬(wàn)元 )6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程y b，其中 b 0.76， a y bx，據(jù)此估計(jì) ，該社區(qū)一戶15 萬(wàn)元時(shí)家庭年支出為x a年收入為A 11.4 萬(wàn)元B 11.8 萬(wàn)元C 12.0 萬(wàn)元D 12.2 萬(wàn)元ax 2y1 0 互相垂直 ，則實(shí)數(shù) a 等9若曲線 f(x) xsin x 1在 x處的切線與直線2于A 2B 1C 1D 2

4、10 公元 263 年左右 ，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”。利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率” 。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出 n 的值為(參考數(shù)據(jù)：3 1.732； sin 15 0.258 8；sin 7.5 0.130 5.)A 12 B 24C 36 D 482211若雙曲線x2 y1(a0)的一條漸近線被圓(x2) 2 y2 4所截得的弦長(zhǎng)為2，則該雙a3曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為A 1 B 2C 3 D 612某幾何體的一條棱長(zhǎng)為7，在該幾何體

5、的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為6的線段 ，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a 和 b 的線段 ，則 a b 的最大值為A 2 2 B 2 3 C 4 D 2 5答題卡題號(hào)123456789101112答案二、填空題：本大題共4 個(gè)小題 ，每小題 5 分，共 20 分 13 2 2 (1 cos x)dx _*2 x 的圖象上 ，則數(shù)14 已知數(shù)列n的前 n 項(xiàng)和為nn)在函數(shù)y2xa S ，點(diǎn) (n， S )(n N列 a n 的通項(xiàng)公式為an _y x，15 設(shè) m1，在約束條件y mx ，下，目標(biāo)函數(shù) z x 5y 的最大值為 4，則 m 的值為x y 1_16已知 P

6、 是拋物線 y2 4x上一動(dòng)點(diǎn) ，則點(diǎn) P 到直線 l：2x y 30 和 y 軸的距離之和的最小值是 _三、解答題：本大題共 6 個(gè)小題 ，共 70分解答應(yīng)寫出文字說明 ，證明過程或演算步驟17 ( 本小題滿分 10 分 )ABC 的內(nèi)角 A ， B， C 的對(duì)邊分別為a， b， c，其中 c 為最大邊 ，又已知 b 3R，其中 R 是 ABC 的外接圓半徑且bsin B (a c)sin A.( )求角 B 的大??；( )試判斷 ABC 的形狀18.(本小題滿分12 分 )在如圖所示的六面體中，面 ABCD 是邊長(zhǎng)為2 的正方形 ，面 ABEF 是直角梯形 ， FAB 90， AF BE，

7、 BE 2AF 4.( )求證： AC 平面 DEF ；( )若二面角EAB D 為 60 ，求直線 CE 和平面 DEF 所成角的正弦值19.(本小題滿分12 分 )已知數(shù)列 a n 滿足 a1 1，a2 3， an1 3an 2an 1(n N* ， n 2)( )證明：數(shù)列 an 1 an 是等比數(shù)列 ，并求出 an 的通項(xiàng)公式；2n，有 2 1 2 1 2 1( )設(shè)數(shù)列 bn 滿足 bn 2log 4(an 1) ，證明：對(duì)一切正整數(shù)b1 1 b2 1bn 112.20.(本小題滿分 12 分 )某商場(chǎng)準(zhǔn)備在春節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查 ，該商場(chǎng)決定從2 種服裝 ，2 種家電

8、，3種日用品這 3 類商品中 ，任意選出 3 種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)( )若選出的 3 種商品中至少有一種是日用商品，求共有多少種選法？( )商場(chǎng)采用顧客每購(gòu)買一件促銷商品就可摸獎(jiǎng)一次的促銷方案：若甲箱中裝有3 個(gè)紅球、3個(gè)黑球 ，乙箱中裝有 2 個(gè)紅球、 2 個(gè)黑球 ，這些球除顏色外完全相同每次分別從以上兩個(gè)箱中各隨機(jī)摸出2 個(gè)球 ，共四個(gè)球若摸出4 個(gè)球都是紅球 ，則獲得一等獎(jiǎng)；摸出的球中有3個(gè)紅球 ，則獲得二等獎(jiǎng)；摸出的球中有2 個(gè)紅球 ，則獲得三等獎(jiǎng)；其他情況不獲獎(jiǎng)，試求在 1次摸獎(jiǎng)中 ，獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率p1、 p2、 p3.21.(本小題滿分12 分 )y2x2已知橢圓C1： 1

9、6 4 1，橢圓 C2 以 C1 的短軸為長(zhǎng)軸，且與 C1 有相同的離心率( )求橢圓 C2 的方程；( )若橢圓 C2 與 x 軸正半軸相交于點(diǎn)A. 過點(diǎn) B(1 ，0)作直線 l 與橢圓 C2 相交于 E，F(xiàn) 兩點(diǎn) ，直線 AE ，AF 與直線 x 3 分別交于點(diǎn)M ， N.求 EMFM 的取值范圍22.(本小題滿分 12分 )1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、 x2，其中 x1 0， y 為單調(diào)遞增函數(shù) ，2有 yy |x0 0 恒成立 ，即， xsin x ，所以 q 真判斷可知 ， D 正確x 0， 25D 【解析】 曲線方程可化為 (x 1)2 (y 3)29，由題設(shè)知直線過圓心 ，即 k( 1

10、) 2 3 4 0，k 2.故選 D.6D 【解析】 f(x) 2sin xx0， 又 y f(x ) 2sin x 的圖象關(guān)于直線33對(duì)稱 ，即為偶函數(shù) ， 3 2 k， k6， k Z ，當(dāng) k 0 時(shí)， 6.7A 【解析】 設(shè) a0 a1 a2 a3 a4 a (23)4 ，a0a1 a2a3a4b (23)4，則待求式 ab (2 3)(2 3) 41.8 B8.2 8.610.0 11.311.9【 解 析 】 由 已 知 得 x 5 10( 萬(wàn) 元 ) ， y 6.2 7.5 8.0 8.5 9.85 8(萬(wàn)元 )，故 a 8 0.7610 0.4，所以回歸直線方程為 y 0.76

11、x0.4，當(dāng)社區(qū)一戶年收入為15 萬(wàn)元時(shí)家庭年支出為y 0.76 15 0.4 11.8(萬(wàn)元 )，故選 B.9D【解析】 f (x) sin x xcos x， f 1，即函數(shù) f(x) xsin x 1 在 x 處的切線22aa的斜率是 1，直線 ax 2y1 0 的斜率是 2，所以 2 1 1，解得 a 2.故選 D.10B133 2.5983.10，故 n 12；又 n 12時(shí)，【解析】 n 6 時(shí)，S 6 sin 6022S 112 sin 3033.10 ，故輸22出 n 的值為 B.x2y233x ay 0，圓 (x 2)211 B 【解析】 雙曲線 a23 1的漸近線方程為y

12、a x，即 y2 4 的圓心為 C(2，0)，半徑為 r 2，如圖 ，由圓的弦長(zhǎng)公式得弦心距|CD|22 12 3，22|3 2 a0|另一方面 ，圓心 C(2，0)到雙曲線 x2 y 1 的漸近線 3x ay 0 的距離為da33 a22 3 ，所以2 3 3，解得 a2 1，3 a23a2即 a 1，該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a2.12 C【解析】 結(jié)合長(zhǎng)方體的對(duì)角線在三個(gè)面的投影來(lái)理解計(jì)算如圖設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為m，n，k，由題意得m2 n2 k27， m2 k26n1， 1 k2 a， 1 m2 b，所以 (a21) (b 2 1) 6a2 b2 8，所以 (a b)2 a2 2ab

13、b2 8 2ab 8a2b216 ab 4，當(dāng)且僅當(dāng) a b 2 時(shí)取等號(hào)選 C.二、填空題13 2【解析】 (x sin x) 1cos x，(1 cos x)dx (x sin x)| 22 sin sin 2.22222214 4n 1【解析】 由題意可得： Sn 2n2 n，易知數(shù)列 a n 為等差數(shù)列 ，首項(xiàng)為 3，公差為 4，an 4n 1.15 3【解析】 作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域?yàn)槿鐖D所示陰影 OAB.目標(biāo)函數(shù)可化為 y 1x1z，它在 y 軸上的截距最大時(shí)z 最大55x y 11， m當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過點(diǎn) A 時(shí) z 最大由解得 Am 1 m 1 ，y mxmax15m5m1z

14、m 1 4，m1m 1m 3.16. 51【解析】 由題意知 ，拋物線的焦點(diǎn)為 F(1， 0)設(shè)點(diǎn) P 到直線 l 的距離為 d，由拋物線的定義可知，點(diǎn) P 到 y 軸的距離為 |PF| 1，所以點(diǎn)P 到直線 l 的距離與到 y 軸的距離之和為d |PF| 1.易知 d |PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l 的距離 ， 故 d |PF|的最小值為|2 3|5，所以 d |PF| 1 的最小值為5 1.22（ 1） 2三、解答題b3，又 c 為最大邊 ，17【解析】 ( )ABC中， b3R，sin B 2R2所以 B 0， ， B ；(4 分 )23( )由 bsin B (a c)sin A ，得

15、 b2 (a c)a， a2 c2 2accos B a2 ac.化簡(jiǎn)得： c 2acos B a.由正弦定理可得sin C 2sin Acos B sin Asin C sin(A B) ，sin(A B) 2sin Acos B sin A.sin (B A) sin A 0A ， B 2 ，B A A ，B 2A ， A 6 ，C 2， ABC 為 Rt.(10 分 )18【解析】 證明： ( )連接 AC ， BD 相交于點(diǎn)O，取 DE 的中點(diǎn)為G，連接 FG， OG.ABCD 是正方形 ，O 是 BD 的中點(diǎn) ， OG BE， OG 12BE ，1又因?yàn)?AF BE ， AF 2BE

16、 ，所以 OG AF 且 OG AF ，所以四邊形AOGF 是平行四邊形， (3 分)AC FG，又因?yàn)?FG平面 DEF， AC平面 DEF.AC 平面 DEF.(5 分 )(另解：延長(zhǎng)BA ，EF 相交于點(diǎn)G，連接 GD 可證明 AC 平行 GD)( ) ABCD 是正方形 ，ABEF 是直角梯形 ， FAB 90，DA AB ， FA AB.AD AF A ， AB 平面 AFD ，同理可得AB 平面 EBC.又 AB平面 ABCD ，所以平面AFD 平面 ABCD ，又因?yàn)槎娼荅AB D 為 60 ，所以 FAD EBC 60 ， BE 2AF 4， BC 2，由余弦定理得EC 2

17、3，所以 EC BC ，又因?yàn)?AB 平面 EBC ，所以 EC AB ，所以 EC 平面 ABCD ， (7 分 )以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn) ，CB 為 x 軸、 CD 為 y 軸、 CE 為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系則C(0 ， 0，0)， D(0 ，2， 0)， E(0，0， 2 3)， F(1， 2，3)， (8 分 )3)，設(shè)平面 DEF的一個(gè)法向所以 CE (0， 0， 23)， DF (1， 0，3)，EF (1， 2， x 3z 0量為 n (x， y，z)，則nDF 0即x 2y 3z 0nEF 0x 3，令 z 3，則y 3，所以 n ( 3，3，3) (11 分 )設(shè)直線 CE

18、 和平面 DEF 所成角為 ，67則 sin |cos CE， n |2 3 21 7 .(12 分)(其它解法酌情給分)19【解析】 ( )由 an1 3an 2an1，可得 an 1 an 2(an an1)， (2 分 )a2 a1 2，a n 1 an 是首項(xiàng)為2，公比為 2 的等比數(shù)列 ，即 an1 an 2n.(3 分 )an (an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a12n 1 2n 2 2 1 2n 1.(6 分 )1 2n1 2n4n)2 2n.(7 分 )( )由題意得 b 2log (21111112n 1 .(9 分 )2 2n 1bn2 1 4n2

19、 1(2n1)(2n 1)1 1 122 12b 1 bb 112n111111 21 3 35 2n 12n 11111 22n 12.11 211對(duì)一切正整數(shù) n，有 22b0) ，ab3則 a 2， e 2 .c 3， b2 1.x2橢圓 C2 的方程為4 y2 1.(4 分 )( )由橢圓 C2的方程可知點(diǎn)A 的坐標(biāo)為 (2 ，0)(1)當(dāng)直線 l的斜率不存在時(shí) ，不妨設(shè)點(diǎn) E 在 x 軸上方 ，3333 易得 E 1， 2， F 1， 2， M3， 2， N 3， 2，所以 EMFN 1.(6分 )(2)當(dāng)直線 l的斜率存在時(shí) ，由題意可設(shè)直線l的方程為y k(x 1)，顯然 k 0

20、 時(shí)，不符合題意y k（x 1）由消 y 并整理得 (4k2 1)x2 8k2x 4k2 4 0.x2 4y2 4 0設(shè) E(x 1 122128k2， x124k2 4， y)， F(x ， y )，則 x xx.(7 分 )4k 2 14k2 1直線 AE ， AF 的方程分別為： y1(x 2) ，yy2(x 2)，yx1 2x2 2y1y2令 x 3，則 M 3， x1 2 ， N 3，x2 2 .y1（ 3 x1）y2（ 3 x2）所以 EM 3x1， FN 3 x2，.(8 分 )x1 2x2 2 y1（ 3 x1） y2（ 3 x2）所以 EM FN (3 x1)(3 x2)x1 2x2 2y1y2 (3 x1)(3 x2) 1 （x1 2）（ x2 2）（ x1 1）（ x2 1） (3 x1)(3 x2) 1 k2（ x1 2）（ x2 2）x 1x2 3(x2 x2) 9)1k2 x1x2 （ x1 x2） 1xx2（ x x ） 412124k2 42 14k24 8k24k