概率論：2.2 連續(xù)型RV.的分布密度

1、的的分分布布密密度度連連續(xù)續(xù)型型.2 . 2VR 定定義義1 的的分分布布密密度度。為為連連續(xù)續(xù)型型則則稱稱 ，若若 為為非非負(fù)負(fù)可可積積函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) XVRxp dxxpbXaP xp b a .)( )( ,)( )(xXPxF x dxxp)( .)(, )()( 連續(xù)連續(xù)xFxpxF 注：注： ()Distribution density 性性質(zhì)質(zhì). 2 ;0)()1 xp ; 1)()2 dxxp中中的的待待定定系系數(shù)數(shù)用用來(lái)來(lái)求求)(xp . 0,.)3 aXPaXVR有有連續(xù)型連續(xù)型 ; bXaPbXaP bXaPbXaP 故故有有 與離散型的區(qū)別！與離散型的區(qū)別！ 例例. .的

2、的分分布布密密度度為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型XVR. 其其它它, ),( )( 0 2024 2 xxxk xp ;k）求求：（1 PX; ( (2 2) )1 13 3 ).()(xF3 2 2 2 2 例例設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型分分布布函函數(shù)數(shù) 0 0 0000 求求1 1 2 2 密密度度函函數(shù)數(shù) 312312 412412 x .R.V .XF( x ) ABe,x F( x ) ,x )A,B ) )PX )PX 1）均勻分布：）均勻分布： ， 其其 它它 1 , () 0, axb p xba ).,(baUX記記作作 若若一一維維連連續(xù)續(xù)型型r.v.Xr.v.X的的密密度度函函數(shù)數(shù) 則則稱稱

3、 服服從從上上的的均均勻勻分分布布( , )Xa b P(x) o a b 1 ba x 幾幾個(gè)個(gè)重重要要分分布布. 3 ）（ondistributiuniform 例例 ).(),(xFbaUX求分布函數(shù)求分布函數(shù)設(shè)設(shè) 0 ( ). 1 xa xa F xaxb ba xb ab 1 F(x) x o 例例. .若若試試求求 . .(0,10), 3 ;6 ;38. RV XU P XP XPX ，設(shè)設(shè)),(.10UXVR10 a試試確確定定滿滿足足條條件件 ,a的的數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)值值中中復(fù)復(fù)的的使使得得隨隨機(jī)機(jī)抽抽取取且且可可以以重重4 .90的的概概率率為為至至少少有有一一個(gè)個(gè)超超過(guò)過(guò) a

4、 例例 設(shè)一個(gè)汽車站上，某路公共汽車每設(shè)一個(gè)汽車站上，某路公共汽車每5 5分鐘有分鐘有 一輛到達(dá)，記乘客在一輛到達(dá)，記乘客在5 5分鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等分鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等 可能的，現(xiàn)陸續(xù)有可能的，現(xiàn)陸續(xù)有1010位乘客在車站候車位乘客在車站候車, ,求十位求十位 乘客中只有一位候車時(shí)間超過(guò)乘客中只有一位候車時(shí)間超過(guò)4 4分鐘的概率。分鐘的概率。 2 . 0)4( , 0 505/1 )(,5 , 0 ,: 1 Xpp x xfUX X 所以所以 其它其它 則則 間間表示一位乘客的候車時(shí)表示一位乘客的候車時(shí)設(shè)設(shè)解解 286. 08 . 02 . 0)1( .,10 .410 91 10 1

5、CYp pBY Y 則則 分鐘的人數(shù)分鐘的人數(shù)位中等待超過(guò)位中等待超過(guò)為為設(shè)設(shè) 0 00 0 )( 其其中中 x xe xp x .的的指指數(shù)數(shù)分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為則則稱稱 XVR 2)指指數(shù)數(shù)分分布布 1,0 ( ) 0,0, x ex F x x 記記作作( )XE 實(shí)實(shí)際際背背景景 指指數(shù)數(shù)分分布布常常用用來(lái)來(lái)描描述述 壽壽命命 的的分分布布:. 例例電電子子元元件件的的壽壽命命 生生物物的的壽壽命命 電電話話的的通通話話時(shí)時(shí)間間 營(yíng)營(yíng)業(yè)業(yè)員員為為顧顧客客提提供供的的服服務(wù)務(wù)時(shí)時(shí)間間等等 .; ; ; . Exponential Distribution 例例某某計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)在在

6、報(bào)報(bào)廢廢前前使使用用的的總總 時(shí)時(shí)間間 單單位位： 使使用用壽壽命命 的的分分布布密密度度是是：h X . () 0.01 0 ( ) 00 x kex p x x 試試求求：這這臺(tái)臺(tái)計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)在在報(bào)報(bào)廢廢前前能能夠夠使使用用 小小時(shí)時(shí)以以上上的的概概率率； 已已經(jīng)經(jīng)使使用用小小時(shí)時(shí)后后還還能能使使用用小小時(shí)時(shí) 以以上上的的概概率率 500 300500 . 300500300500P XXP X 即即如如果果壽壽命命已已長(zhǎng)長(zhǎng)于于小小時(shí)時(shí) 則則再再用用小小時(shí)時(shí)的的 可可能能性性與與年年齡齡無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 300,500 300! P Xst XsP Xt 即即如如果果已已知知壽壽命命長(zhǎng)長(zhǎng)于于s s

7、年年, ,則則再再活活t t年年的的可可能能性性 與與年年齡齡s s無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)! ! ! !即即指指數(shù)數(shù)分分布布( (永永遠(yuǎn)遠(yuǎn)年年青青) ). . 指數(shù)分布的無(wú)記憶性指數(shù)分布的無(wú)記憶性: : 標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布)(3 2 2 2 1 x expXVR )(.若若 服服從從標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布，則則稱稱XVR. ).,(10NX記記 )( x ）（ondistributinormal x y o 11 的的特特征征：)(xp 是是偶偶函函數(shù)數(shù)，）)(xp1軸軸對(duì)對(duì)稱稱；關(guān)關(guān)于于曲曲線線yxpy)( ,)(lim)02 xp x 軸為漸近線；以曲線xxpy)( 時(shí)時(shí)）；（當(dāng)當(dāng)最最大大值值0

8、 2 1 3 x ) ，),() e 2 1 14 是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)。),( e 2 1 1 正態(tài)分布表正態(tài)分布表 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0 x ()1( )xx 53. 1 ),1 , 0(1 XP NX則則設(shè)設(shè)例例 9370. 0 53. 1XP)53. 1(1 063. 0 53. 1XP 53. 11XP063. 0 53. 1 XP53. 153. 1 XP 1)53. 1(2 53. 1 XP53. 11 XP 53. 153. 1 XPXP或或 )53. 1(1 )53. 1(1 正態(tài)分布)4( 2 2 2 2 1 )( )(. x expXVR若若 的正

9、態(tài)分布，服從參數(shù)為則稱 2 . XVR ).,( 2 NX記為 ),(0 為為常常數(shù)數(shù)，x 的的特特征征：)(xp 對(duì)對(duì)稱稱；關(guān)關(guān)于于直直線線曲曲線線 xxpy)()1 , 0)(lim)2 xp x 軸軸為為漸漸近近線線；以以曲曲線線xxpy)( 時(shí)時(shí)）；（當(dāng)當(dāng)最最大大值值 x 2 1 )3 .)(,()5是是拐拐點(diǎn)點(diǎn) p x y o ;)4峭峭越越大大越越平平穩(wěn)穩(wěn)，越越小小越越陡陡 決定圖形的中心位置，決定圖形的中心位置， 決定圖形的陡峭程度決定圖形的陡峭程度 正態(tài)分布正態(tài)分布呈現(xiàn)呈現(xiàn)”中間高中間高, ,兩頭低兩頭低”的狀態(tài)的狀態(tài), ,它描述它描述 了自然界大量存在的隨機(jī)現(xiàn)象了自然界大量存

10、在的隨機(jī)現(xiàn)象, ,也是自然界一種正也是自然界一種正 常狀態(tài)的分布常狀態(tài)的分布. . 時(shí)時(shí)，),( 2 NX的分布函數(shù)的分布函數(shù)X dxexF x x 2 2 2 2 1 ）（ ）（ dte t 2 2 2 1 x x t tx )( x ，若若),( 2 NX).(bXaP 求例例 例例時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)),( 2 NX =0.6826 =0.9544 1)P X 2)2 P X 3)3 P X =0.9974 ),(33 2 XNX時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 幾乎是必然要出現(xiàn)的事件幾乎是必然要出現(xiàn)的事件. 如果如果X隨機(jī)地取一個(gè)值隨機(jī)地取一個(gè)值 不在上述范圍內(nèi)不在上述范圍內(nèi),就 就有有理理由由懷懷疑疑是是否否真真 2 ( ,)XN （5） 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似：二項(xiàng)分布的正態(tài)近似： DeMoivre-Laplace中心極限定理中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 YB (n, p), n=1,2, 且且 0p25. 解解n=40,p=1/2,由二項(xiàng)概率公式由二項(xiàng)概率公式 202020 40 2 1 2 1 2