連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度(1)

1、精選課件1 第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 1 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 2 正態(tài)分布正態(tài)分布 要求：要求： 1 1、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的定義和性質(zhì)，、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的定義和性質(zhì)， 2 2、均勻、均勻分布、指數(shù)分布的分布、指數(shù)分布的定義及性質(zhì)；定義及性質(zhì)； 4 4、正態(tài)正態(tài)分布的定義、性質(zhì)、密度函數(shù)及幾何性質(zhì)；分布的定義、性質(zhì)、密度函數(shù)及幾何性質(zhì)； 5 5、一般正態(tài)分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系；、一般正態(tài)分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系； 6 6、會(huì)利用正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)求積分、會(huì)利用正態(tài)分布

2、密度函數(shù)的性質(zhì)求積分 精選課件2 一一 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 1 定義定義 ( )( ) x F xf t dt , XFx fxx 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，若存在 一個(gè)非負(fù)函數(shù)使對(duì)于任意 ，恒有 x XfxX 連續(xù)型隨機(jī)變量 分布 成立，則稱X為，F(xiàn) 稱為的，稱為函數(shù)概率 密度函數(shù) 的 ，簡(jiǎn)稱密度函數(shù) 精選課件3 由定義知道：由定義知道：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù) 2 概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì) 1 非負(fù)性非負(fù)性 ( )0f x ( )1f x dx 2 規(guī)范性規(guī)范性 這兩個(gè)性質(zhì)是判這兩個(gè)性質(zhì)是判 斷一個(gè)函數(shù)是否斷一個(gè)函數(shù)是否 為一個(gè)連續(xù)型

3、為一個(gè)連續(xù)型 r.v.X的概率密度的概率密度 的充要條件的充要條件 f (x) x o 分布曲分布曲 線線 面積為面積為1 2 1 121221 , ()()()( ) x x x xp xXxF xF xf x dx 3 對(duì) 利用概率密度可確利用概率密度可確 定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè) 范圍內(nèi)的概率范圍內(nèi)的概率 精選課件4 4( )( )( )f xxF xf x 若在點(diǎn) 處連續(xù)，則有 0 ( ) lim x xx x x f t dt 若若x是是 f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：的連續(xù)點(diǎn)，則： x xxXxP x )( lim 0 =f(x) 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 這一點(diǎn)的

4、值，恰好是這一點(diǎn)的值，恰好是 X落在區(qū)間落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度 之比的極限之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量，這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當(dāng)于線密度相當(dāng)于線密度. x ,(xxx 精選課件5 (1) 連續(xù)型連續(xù)型r.v.取任一指定實(shí)數(shù)值取任一指定實(shí)數(shù)值a 的概率均為的概率均為0. 即即 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?請(qǐng)注意請(qǐng)注意: xaFaFaXxaPaXP 0 0 .P Xa0,x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 得到得到 0 .P Xa 由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S 由由P(A)=0, 不能推出不能推出A 精選課件6 00 (3): 0., 0, p XxXx注

5、 ： 由 可 知故 一 個(gè) 事 件 的 概 率 為 只 表 示 這 事 件 發(fā) 生 的 可 能 性 很 小但 這 事 件 并 不 一 定 是 不 可 能 事 件 。 )()(bXaPbXaP )(bXaP 對(duì)連續(xù)型對(duì)連續(xù)型 r.v. X,有有 )(bXaP 精選課件7 取取值值的的概概率率為為，也也可可以以是是無(wú)無(wú)窮窮區(qū)區(qū)間間）上上 間間；可可以以是是有有限限區(qū)區(qū)間間，閉閉區(qū)區(qū)間間，或或半半開開半半閉閉區(qū)區(qū) 也也可可以以是是可可以以是是開開區(qū)區(qū)間間（在在任任意意區(qū)區(qū)間間則則 ，的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為已已知知連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量若若 ,GGX xfX 說(shuō)說(shuō) 明明: : 由上述性質(zhì)可知，

6、對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們 關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義； 我們所關(guān)心的是它在我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間某一區(qū)間上取值的問題上取值的問題 G dxxfGXP (此公式非常重要此公式非常重要) 精選課件8 要注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處在某點(diǎn)處a 的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，這但是，這 個(gè)高度越大，則個(gè)高度越大，則X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越 大大. 也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反 映了概率集中

7、在該點(diǎn)附近的程度映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度. f (x) x o 精選課件9 若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：若不計(jì)高階無(wú)窮小，有： 它表示隨機(jī)變量它表示隨機(jī)變量 X 取值于取值于 的的 概率近似等于概率近似等于 . ,(xxx xxf)( xxf)( 在連續(xù)型在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與理論中所起的作用與 kk pxXP)(在離散型在離散型r.v理論中所起的理論中所起的 作用相類似作用相類似. ( )P xXxxf xx 精選課件10 例題選講例題選講 例題例題1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有隨機(jī)密度函數(shù)具有隨機(jī)密度函數(shù) 2 ( ) 1 c f x x (3) 01PX 試求試求 (1) c (2

8、) X的分布函數(shù)；的分布函數(shù)； 2 2 |1 ( ) 1 0 |1 1(2 11 3). 22 X A x fx x x AX 例題設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 試求 ( )系數(shù) ； ) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)； （ ） 隨機(jī)變量落在區(qū)間（-， 精選課件11 2 7 13 )(2;1 , 0 43, 2 2 30, )( 1 XP xFXk x x xkx xf X ）求）求（ ；的分布函數(shù)的分布函數(shù)）求）求（）確定常數(shù)）確定常數(shù)（ 其它其它 具有概率密度具有概率密度設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量例例 精選課件12 其其它它 解解 , 0 43, 2 2 30, )(x x xkx xf 6 1 1)()1( k

9、dxxf得得由由 0 x 3 4 精選課件13 4, 1 43, 2 2 6 30, 6 0, 0 )( )2( 3 3 0 0 x xdx x dx x xdx x x xF x x 分布函數(shù)分布函數(shù) 0 x 3 4 xx x x , x F xf t dtx 精選課件14 4, 1 43, 4 23 30, 12 0, 0 )( 2 2 x x x x x x x xF 即分布函數(shù)即分布函數(shù) 48 41 1 2 7 2 7 13 FFXP）（ 精選課件15 的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量例例X3 xarctgxxF 1 2 1 的的密密度度函函數(shù)數(shù)試試求求 X ，

10、則則的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)解解：xfX x x xFxf 2 1 11 精選課件16 1. 均勻分布均勻分布 則稱則稱X在區(qū)間在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布上服從均勻分布， X U(a, b) )(xf a b 其它, 0 , 1 )( bxa ab xf 三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量 若若 r .v X的概率密度為：的概率密度為： 記作記作 精選課件17 ab l dx ab lcXcP blccalccl baUX lc c 1 ,),(.1 ),( 有有為的區(qū)間為的區(qū)間對(duì)于長(zhǎng)度對(duì)于長(zhǎng)度 若若 與c無(wú)關(guān) 子子區(qū)區(qū)間間的的位位置置無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度成成

11、正正比比，而而與與該該 取取值值的的概概率率與與該該子子區(qū)區(qū)間間上上的的任任意意一一個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間上上 ，在在區(qū)區(qū)間間則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量 上上的的均均勻勻分分布布，區(qū)區(qū)間間 服服從從如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量 baX ba X X ab ll 0 X x 精選課件18 公交線路上兩輛公共汽車前后通過(guò)某汽車停車公交線路上兩輛公共汽車前后通過(guò)某汽車停車 站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等. 均勻分布常見于下列情形均勻分布常見于下列情形： 如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入，小數(shù)點(diǎn)后某入，小數(shù)點(diǎn)后某 一位小數(shù)引入的誤差一位小數(shù)引入的誤差； bx bxa

12、ab ax ax xXPxF X 1 , , 0 )( .2的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： 精選課件19 例例2 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班分鐘來(lái)一班 車，即車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車到達(dá)此等時(shí)刻有汽車到達(dá)此 站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的之間的 均勻隨機(jī)變量均勻隨機(jī)變量, 試求他候車時(shí)間少于試求他候車時(shí)間少于5 分鐘的概率分鐘的概率. 解解 依題意，依題意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00為為起點(diǎn)起點(diǎn)0，以分為單位，以分為單位 其它, 0 300,

13、 30 1 )( x xf 精選課件20 為使候車時(shí)間為使候車時(shí)間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到達(dá)車站之間到達(dá)車站. 所求概率為所求概率為： 3 1 30 1 30 1 30 25 15 10 dxdx 即乘客候車時(shí)間少于即乘客候車時(shí)間少于5 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3. 從上午從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即分鐘來(lái)一班車，即 7:00， 7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站， 10152530PXPX 精選課件21 有實(shí)根的概率 試求方程上的均勻分布，

14、 ，服從區(qū)間設(shè)隨機(jī)變量例 0244 636 2 xx 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為解解：隨隨機(jī)機(jī)變變量量 其其它它0 63 9 1 x xf 有有實(shí)實(shí)根根方方程程設(shè)設(shè)：0244 2 xxA 精選課件22 02444 2 PAP則則 3 2 9 4 9 2 9 1 9 1 6 2 1 3 dxdx 021 P 返回目錄 21 或或P 精選課件23 則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布. 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究 中，如元件的壽命中，如元件的壽命. 若若 r.v X具有概率密度具有概率密度 00 0 1 )( x xe xf x 0 常簡(jiǎn)記為常簡(jiǎn)記為

15、 XE( ) . 2 指數(shù)分布指數(shù)分布 精選課件24 其其它它, 0 0,1 )( / xe xXPxF x 若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布, 則其則其分布函數(shù)分布函數(shù)為為 事實(shí)上事實(shí)上 , x F xf t dt 0 x xx x F xf t dt 0 x dt 0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), x F xf t dt 0 0dt 0 1 t x edt 精選課件25 ,0s tP Xst XsP Xt 對(duì)于任意有： PXstXs P Xst Xs P Xs PXst P Xs 注意 1）無(wú)記憶性； s tt s e e e P X t 1 1 F st F

16、s 精選課件26 2）電子元件的使用壽命和各種隨機(jī)系統(tǒng)的）電子元件的使用壽命和各種隨機(jī)系統(tǒng)的 服務(wù)時(shí)間在一般情形認(rèn)為其服從指數(shù)分布；服務(wù)時(shí)間在一般情形認(rèn)為其服從指數(shù)分布； 3）指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論的應(yīng)用）指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論的應(yīng)用 比較廣泛。比較廣泛。 精選課件27 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布 若連續(xù)型若連續(xù)型 r .v X 的的概率密度為概率密度為 xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( 記作記作 其中其中 和和 ( 0 )都是常數(shù)都是常數(shù), 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的的正態(tài)分布正態(tài)分布或或高斯分布高斯分布. ),( 2 NX 精選課件28 :具有下述性質(zhì)

17、具有下述性質(zhì)xf ;12 dxxf ;01 xf 1 曲線曲線 關(guān)于關(guān)于 軸對(duì)稱；軸對(duì)稱； fx 3 P hX P Xh 0h 精選課件29 函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)增加上單調(diào)增加, ,在在 上上 4 單調(diào)減少單調(diào)減少, ,在在 取得最大值；取得最大值； 2 2 () 2 3 , 2 x x fxex x = 為為 f (x) 的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 5 2 2 () 22 2 3 () , 2 x x fxex fx, x 精選課件30 當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，f(x) 0. . xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( f (x) 以以 x 軸為漸近線軸為漸近線 6 根據(jù)對(duì)

18、密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布 的概率密度曲線圖的概率密度曲線圖. . 精選課件31 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),( 2 N 正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對(duì)對(duì) 稱的鐘形曲線稱的鐘形曲線. . 特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”. . 稱為位置參數(shù) 精選課件32 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形 中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),( 2 N 精選課件33 設(shè)設(shè) X , ),( 2 N X 的分布函數(shù)

19、的分布函數(shù)是是 正態(tài)分布正態(tài)分布 的分布函數(shù)的分布函數(shù)),( 2 N 2 2 2 () 2 1 , 2 t x F xedtx 精選課件34 dtex x t 2 2 2 1 )( 4 4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 1, 0 的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. . xex x , 2 1 )( 2 2 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x )(x )(x 精選課件35 的性質(zhì)的性質(zhì) : ; 2 1 01 dte t 0 2 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 2 dte t ;1,2xxRx dtex x t 2 2 2

20、1 事實(shí)上事實(shí)上 , 2 2 1 () 2 t x xedtx 精選課件36 2 2 1 1 2 u x edu x 1 2 2 1 2 u x utedu 精選課件37 它的依據(jù)是下面的定理：它的依據(jù)是下面的定理： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)任何一個(gè) 一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. . 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布 函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概 率計(jì)算問題率計(jì)算問題. . 定理定理 1 )1 ,

21、 0(),( 2 N X ZNX 則若 精選課件38 .1 ,0, 2 N X ZNX 則則若若 證證Z Z 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 dte xXPx X PxZP x t 2 2 2 2 1 , t u令令則有則有 duexZP x u 2 2 2 1 x 精選課件39 .1 ,0 N X Z 故故 x xX PxXPxF NX X 2 , 于是于是 精選課件40 書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可 以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表. . 正態(tài)分布表正態(tài)分布表 )(1)(xx dtex x t 2 2 2 1

22、 )( 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), (x)的值的值. 4 精選課件41 ),( 2 NX 若若 X Y N(0,1) 若若 XN(0,1), )( b Y a P)(bXaP )()()(abbXaP )()( ab 精選課件42 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得， 這說(shuō)明，這說(shuō)明，X的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在-3,3 區(qū)間區(qū)間 內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%. . 當(dāng)當(dāng)XN(0,1)(0,1)時(shí)，時(shí)， P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544 P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974 5 3 5 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 精選課件43 將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布, , ),( 2 NY 時(shí)，時(shí)， 6826. 0)|(|YP 9544. 0)2|(|YP 9974. 0)3|(|YP 可