內(nèi)含報(bào)酬率計(jì)算方法

1、內(nèi)含報(bào)酬率計(jì)算方法計(jì)算內(nèi)含報(bào)酬率是長(zhǎng)期投資決策分析中重要方法之一，它優(yōu)于其他投資分析的主要原因 在一于：計(jì)算中考慮到貨幣的時(shí)間價(jià)值。其理論介紹多見(jiàn)于管理會(huì)計(jì)、投資決策等教 科書(shū)，其計(jì)算方法多囿于插值法(內(nèi)插值法、外插值法)、幾何法(平面幾何相似三角形線(xiàn) 段比)。近期，關(guān)于內(nèi)含報(bào)酬率的解法問(wèn)題，又在一些會(huì)計(jì)刑物展開(kāi)紛紛揚(yáng)揚(yáng)、連篇累牘的 討論。以下筆者將多年研究的成果一一內(nèi)含報(bào)酬率新的解法理論介紹于后。(1) 內(nèi)含報(bào)酬率計(jì)算公式的數(shù)學(xué)描述內(nèi)含報(bào)酬率是指項(xiàng)目壽命期內(nèi)，資金流入量的現(xiàn)值總額與資金流出量現(xiàn)值總額相等面凈 現(xiàn)值等于零時(shí)的折現(xiàn)率?，F(xiàn)金凈流量則是項(xiàng)目投資所引起的未來(lái)的現(xiàn)金流入量減流出量后的 凈

2、額。為便于公式的推導(dǎo)，將下文中所涉及的因素用以下符號(hào)表示：N-凈現(xiàn)值；NCFt第t期的現(xiàn)金凈流t； i利息率，折現(xiàn)率；NCF。一初始投資額；I- 內(nèi)含報(bào)酬率；n項(xiàng)目有效期；a、b、c分別為常數(shù)。根據(jù)現(xiàn)金凈流量及凈現(xiàn)值定義，凈現(xiàn)值的通項(xiàng)公式可用以下關(guān)系式表示：N=NCF, (1+i) + NCF2 (1+i) 2+ + NCFt (1+i) * -NCFo丘 NCFtQ + if 一 NCFq(1)/=1下面我們來(lái)看i變動(dòng)對(duì)N的影響，也即討論值現(xiàn)值與折現(xiàn)率、折現(xiàn)率與內(nèi)含報(bào)酬率的關(guān) 系： 當(dāng)i=0時(shí)：WlimN二(1+i)-NCFo一0J () /=|=E NCFt - NCFo(2)/=i即當(dāng)折

3、現(xiàn)率趨于零時(shí)，凈現(xiàn)值恰是未折現(xiàn)的現(xiàn)金流入量與流出量之間的差。 當(dāng)i=I時(shí)Ni= XNCFt (l+i)TCFFO /=!即內(nèi)含報(bào)酬率正是凈現(xiàn)值為零時(shí)的折現(xiàn)率，它表明了折現(xiàn)率與內(nèi)含報(bào)酬率的關(guān)系。 當(dāng)i 8時(shí)：NTO=lim N = lim ZNCF (1+i) -NCFo二一NCFo(4)XX%1%12%凈現(xiàn)值:13.3401334 14.34這里“以直代曲”計(jì)算出的i=I,它只是內(nèi)含報(bào)酬率的近似值。當(dāng)選擇測(cè)試值在P點(diǎn)一側(cè)（同向）10%、11%時(shí)，適用外插法計(jì)算（見(jiàn)解析圖三） 圖示三：C (i, 0)折現(xiàn)率:10%11%凈現(xiàn)值：28.7 13.34 2&70-*丿x/(l+x)=x=Ai=ll%

4、+%=%可見(jiàn)，求得的內(nèi)含報(bào)酬率的近似值i4%14%凈現(xiàn)值:28.702&755.74一 27.04Z.i=10%+%=12o 05956%計(jì)算出的內(nèi)含報(bào)酬率的近似值i%Io通過(guò)以上選擇不同測(cè)試點(diǎn)計(jì)算結(jié)果比較得知：（1） 以直代曲計(jì)算出的i值，只是I的近似值；（2）當(dāng)測(cè)試點(diǎn)選擇在P點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，計(jì)算出的 內(nèi)含報(bào)酬率的近似值大于I;（3）當(dāng)測(cè)試點(diǎn)選擇在P點(diǎn)同側(cè)時(shí)，計(jì)算出的內(nèi)含報(bào)酬率的近似 值i小于I； （4）測(cè)試點(diǎn)越臨近P點(diǎn)，其近似于I的值精確度越高。（3）3.內(nèi)含報(bào)酬率新角一一解析公式法1 （直線(xiàn)性方程式）理論依據(jù)。設(shè)凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間存在著直線(xiàn)性關(guān)系，有ai+bN=C成立，那么只要測(cè) 算出兩點(diǎn)A、

5、（i, NJ、B （i2, N2）,就能得出凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率的特定式；再根據(jù)N=0時(shí)，求 出i即內(nèi)含報(bào)酬率I的近似值，其解析圖形見(jiàn)圖示五。由A、B兩點(diǎn)知：A(i,. N,)AB： ai+bN=c內(nèi)含報(bào)酬率點(diǎn)PG,O)B(i2t NJ_kli+bN =Cai2 +bN2=C(5) - (6)得:a(il-i2)+b(Nl-N2)=0 b/a=-(i,-i2)/(N-N2)(7)又.c/a4+Nib/a廠(chǎng) N1 (1,-12)/(-)(8)將一般式變?yōu)椋篿=c/a-Nb/a(9)將(7)、(8)代入得:i=i-N, (i ,-i2)/ (Ni-N2)+ (i,-i2)N/ (N,-N2)=ii+(N

6、廠(chǎng)NJ (i-i2)/(N-N2)(10)實(shí)例計(jì)算。為便于與“插值法”計(jì)算結(jié)果對(duì)比，仍用以上例題，并選相應(yīng)的測(cè)蔗點(diǎn)代 入計(jì)算。(1) 取折現(xiàn)率分別為11%. 12%的測(cè)試值代入(10)式:i=ll%+X (12%-1!%)/(-!)=11%+1434二(2) 取折現(xiàn)率分別為10%、11%的測(cè)試值代入(10)式：i=10%+X (11%-10%)/=10% 1536=%(3) 取折現(xiàn)率分別為10%, 14%的測(cè)試值代入(100式：i=10%+X (14%-10%)/=10%+=%(4) 內(nèi)含報(bào)酬率新解一解析公式法2(反比例曲線(xiàn)性方程式)理論依據(jù)。根據(jù)凈現(xiàn)值通項(xiàng)公式(1),假設(shè)折現(xiàn)率與凈現(xiàn)值的關(guān)系

7、可用以下反比例曲 線(xiàn)方程式描述：N=a/(l+i)+b同樣，我們只要測(cè)試兩次，就可計(jì)算出內(nèi)含報(bào)酬率的近似值，其解析圖見(jiàn)圖示六其公式推導(dǎo)如下：已知：A(i, NJ、B(i2、血)兩點(diǎn)圖示六：(11)(12)N、= a/(l +h)+ b 有vN、= a/Q + iJ + b*4丄由(11) 一 (12)得：N.-N2=a(l+i,) l-(l+i2)a=(N廠(chǎng)N2)(l+iJ 仃+i2)(i2-i(13)將(13)代入(11)得：b= N-(Nl-N2) (1+i.) (l+i2) (i2-i.) 1(14)當(dāng) N=0 時(shí)，I=-(a+b)/b(15)將(13)、(14)代入(15)得：i -

8、”2)(1 + 右)(1 +，2)7 + N -(N -“2)(1 +，2)(，2 +h)T1-的-“2)(1+，2)/。2 7)= i2N1(i1+l)-i,N2(i2+l)/N1(il+l)-N2(i2+l)(16)實(shí)例計(jì)算選折現(xiàn)率分別為1呷、12%的測(cè)試值代入（16）式（仍用插值法中舉例）12%xl3.34x(ll% + l)-ll%x(-l)x(12% + l)113.34x(ll% + l)-(-l)x(12% + l)177.6888 +12.32100x(14.8074 +1.12)190.00881592.74選折現(xiàn)率分別為10%、11%的測(cè)試值代入(16)式:14%x287x

9、(10% + l) 10%xl3S4x(ll% + l)28.7x(10%+ 1)-13.34x(11% + !)347.27-148.074100x(31.57-14.8074)199,1961676.26=llo 88336%選擇折現(xiàn)率分別為10%. 14%的測(cè)試值代入(16)式:1=14% x28.7x (10% + 1)-10% x (-27.04) x (14% +1)28.7 x (10% +1) - (-27.CM) x (14% +1)441.98 + 312.36100x(31.57 + 31.236)(5) 三種方法計(jì)算結(jié)果比較以上三種方法取相同測(cè)試點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表:采用

10、方法與取點(diǎn)兩側(cè)近點(diǎn)測(cè)試值同向測(cè)試值兩側(cè)遠(yuǎn)點(diǎn)測(cè)試值插值法(或幾何法)%（以直代曲）解析公式法1（以直代曲）%解析公式法2%（以曲代曲）公式法2與以上方法 計(jì)算結(jié)果比較X 10 5X10 :X101計(jì)算結(jié)果表明：1.插值法”、“幾何法”、解析公式法1”，實(shí)質(zhì)都是以直代曲的比例法， 計(jì)算結(jié)果一致；1.在以直代曲的計(jì)算中，測(cè)試值臨近P點(diǎn)（內(nèi)含報(bào)酬率點(diǎn)）兩側(cè)時(shí)，救出的 11,而采用以曲代曲解析公式法2計(jì)算岀的i小于用以上各法計(jì)算出的內(nèi)含報(bào)酬率近似值, 這說(shuō)明公式法2計(jì)算出的結(jié)果精確度高；3.當(dāng)測(cè)試值取P點(diǎn)同向一側(cè)時(shí)，以直代曲計(jì)算出的 iI,而以曲代曲計(jì)算出的內(nèi)含報(bào)酬率的近似值大于前幾法求出的i值，這也同樣證明運(yùn)用 解析公式法2比采用其它法計(jì)算更精確。綜上所述，本文所推導(dǎo)出的內(nèi)含報(bào)酬率解析公式法1以直代