內(nèi)含報酬率計算方法

1、內(nèi)含報酬率計算方法計算內(nèi)含報酬率是長期投資決策分析中重要方法之一，它優(yōu)于其他投資分析的主要原因 在一于：計算中考慮到貨幣的時間價值。其理論介紹多見于管理會計、投資決策等教 科書，其計算方法多囿于插值法(內(nèi)插值法、外插值法)、幾何法(平面幾何相似三角形線 段比)。近期，關(guān)于內(nèi)含報酬率的解法問題，又在一些會計刑物展開紛紛揚揚、連篇累牘的 討論。以下筆者將多年研究的成果一一內(nèi)含報酬率新的解法理論介紹于后。(1) 內(nèi)含報酬率計算公式的數(shù)學(xué)描述內(nèi)含報酬率是指項目壽命期內(nèi)，資金流入量的現(xiàn)值總額與資金流出量現(xiàn)值總額相等面凈 現(xiàn)值等于零時的折現(xiàn)率?，F(xiàn)金凈流量則是項目投資所引起的未來的現(xiàn)金流入量減流出量后的 凈

2、額。為便于公式的推導(dǎo)，將下文中所涉及的因素用以下符號表示：N-凈現(xiàn)值；NCFt第t期的現(xiàn)金凈流t； i利息率，折現(xiàn)率；NCF。一初始投資額；I- 內(nèi)含報酬率；n項目有效期；a、b、c分別為常數(shù)。根據(jù)現(xiàn)金凈流量及凈現(xiàn)值定義，凈現(xiàn)值的通項公式可用以下關(guān)系式表示：N=NCF, (1+i) + NCF2 (1+i) 2+ + NCFt (1+i) * -NCFo丘 NCFtQ + if 一 NCFq(1)/=1下面我們來看i變動對N的影響，也即討論值現(xiàn)值與折現(xiàn)率、折現(xiàn)率與內(nèi)含報酬率的關(guān) 系： 當(dāng)i=0時：WlimN二(1+i)-NCFo一0J () /=|=E NCFt - NCFo(2)/=i即當(dāng)折

3、現(xiàn)率趨于零時，凈現(xiàn)值恰是未折現(xiàn)的現(xiàn)金流入量與流出量之間的差。 當(dāng)i=I時Ni= XNCFt (l+i)TCFFO /=!即內(nèi)含報酬率正是凈現(xiàn)值為零時的折現(xiàn)率，它表明了折現(xiàn)率與內(nèi)含報酬率的關(guān)系。 當(dāng)i 8時：NTO=lim N = lim ZNCF (1+i) -NCFo二一NCFo(4)XX%1%12%凈現(xiàn)值:13.3401334 14.34這里“以直代曲”計算出的i=I,它只是內(nèi)含報酬率的近似值。當(dāng)選擇測試值在P點一側(cè)（同向）10%、11%時，適用外插法計算（見解析圖三） 圖示三：C (i, 0)折現(xiàn)率:10%11%凈現(xiàn)值：28.7 13.34 2&70-*丿x/(l+x)=x=Ai=ll%

4、+%=%可見，求得的內(nèi)含報酬率的近似值i4%14%凈現(xiàn)值:28.702&755.74一 27.04Z.i=10%+%=12o 05956%計算出的內(nèi)含報酬率的近似值i%Io通過以上選擇不同測試點計算結(jié)果比較得知：（1） 以直代曲計算出的i值，只是I的近似值；（2）當(dāng)測試點選擇在P點兩側(cè)時，計算出的 內(nèi)含報酬率的近似值大于I;（3）當(dāng)測試點選擇在P點同側(cè)時，計算出的內(nèi)含報酬率的近似 值i小于I； （4）測試點越臨近P點，其近似于I的值精確度越高。（3）3.內(nèi)含報酬率新角一一解析公式法1 （直線性方程式）理論依據(jù)。設(shè)凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間存在著直線性關(guān)系，有ai+bN=C成立，那么只要測 算出兩點A、

5、（i, NJ、B （i2, N2）,就能得出凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率的特定式；再根據(jù)N=0時，求 出i即內(nèi)含報酬率I的近似值，其解析圖形見圖示五。由A、B兩點知：A(i,. N,)AB： ai+bN=c內(nèi)含報酬率點PG,O)B(i2t NJ_kli+bN =Cai2 +bN2=C(5) - (6)得:a(il-i2)+b(Nl-N2)=0 b/a=-(i,-i2)/(N-N2)(7)又.c/a4+Nib/a廠 N1 (1,-12)/(-)(8)將一般式變?yōu)椋篿=c/a-Nb/a(9)將(7)、(8)代入得:i=i-N, (i ,-i2)/ (Ni-N2)+ (i,-i2)N/ (N,-N2)=ii+(N

6、廠NJ (i-i2)/(N-N2)(10)實例計算。為便于與“插值法”計算結(jié)果對比，仍用以上例題，并選相應(yīng)的測蔗點代 入計算。(1) 取折現(xiàn)率分別為11%. 12%的測試值代入(10)式:i=ll%+X (12%-1!%)/(-!)=11%+1434二(2) 取折現(xiàn)率分別為10%、11%的測試值代入(10)式：i=10%+X (11%-10%)/=10% 1536=%(3) 取折現(xiàn)率分別為10%, 14%的測試值代入(100式：i=10%+X (14%-10%)/=10%+=%(4) 內(nèi)含報酬率新解一解析公式法2(反比例曲線性方程式)理論依據(jù)。根據(jù)凈現(xiàn)值通項公式(1),假設(shè)折現(xiàn)率與凈現(xiàn)值的關(guān)系

7、可用以下反比例曲 線方程式描述：N=a/(l+i)+b同樣，我們只要測試兩次，就可計算出內(nèi)含報酬率的近似值，其解析圖見圖示六其公式推導(dǎo)如下：已知：A(i, NJ、B(i2、血)兩點圖示六：(11)(12)N、= a/(l +h)+ b 有vN、= a/Q + iJ + b*4丄由(11) 一 (12)得：N.-N2=a(l+i,) l-(l+i2)a=(N廠N2)(l+iJ 仃+i2)(i2-i(13)將(13)代入(11)得：b= N-(Nl-N2) (1+i.) (l+i2) (i2-i.) 1(14)當(dāng) N=0 時，I=-(a+b)/b(15)將(13)、(14)代入(15)得：i -

8、”2)(1 + 右)(1 +，2)7 + N -(N -“2)(1 +，2)(，2 +h)T1-的-“2)(1+，2)/。2 7)= i2N1(i1+l)-i,N2(i2+l)/N1(il+l)-N2(i2+l)(16)實例計算選折現(xiàn)率分別為1呷、12%的測試值代入（16）式（仍用插值法中舉例）12%xl3.34x(ll% + l)-ll%x(-l)x(12% + l)113.34x(ll% + l)-(-l)x(12% + l)177.6888 +12.32100x(14.8074 +1.12)190.00881592.74選折現(xiàn)率分別為10%、11%的測試值代入(16)式:14%x287x

9、(10% + l) 10%xl3S4x(ll% + l)28.7x(10%+ 1)-13.34x(11% + !)347.27-148.074100x(31.57-14.8074)199,1961676.26=llo 88336%選擇折現(xiàn)率分別為10%. 14%的測試值代入(16)式:1=14% x28.7x (10% + 1)-10% x (-27.04) x (14% +1)28.7 x (10% +1) - (-27.CM) x (14% +1)441.98 + 312.36100x(31.57 + 31.236)(5) 三種方法計算結(jié)果比較以上三種方法取相同測試點的計算結(jié)果見下表:采用

10、方法與取點兩側(cè)近點測試值同向測試值兩側(cè)遠點測試值插值法(或幾何法)%（以直代曲）解析公式法1（以直代曲）%解析公式法2%（以曲代曲）公式法2與以上方法 計算結(jié)果比較X 10 5X10 :X101計算結(jié)果表明：1.插值法”、“幾何法”、解析公式法1”，實質(zhì)都是以直代曲的比例法， 計算結(jié)果一致；1.在以直代曲的計算中，測試值臨近P點（內(nèi)含報酬率點）兩側(cè)時，救出的 11,而采用以曲代曲解析公式法2計算岀的i小于用以上各法計算出的內(nèi)含報酬率近似值, 這說明公式法2計算出的結(jié)果精確度高；3.當(dāng)測試值取P點同向一側(cè)時，以直代曲計算出的 iI,而以曲代曲計算出的內(nèi)含報酬率的近似值大于前幾法求出的i值，這也同樣證明運用 解析公式法2比采用其它法計算更精確。綜上所述，本文所推導(dǎo)出的內(nèi)含報酬率解析公式法1以直代