內含報酬率計算方法

1、內含報酬率計算方法計算內含報酬率是長期投資決策分析中重要方法之一，它優(yōu)于其他投資分析的主要原因 在一于：計算中考慮到貨幣的時間價值。其理論介紹多見于管理會計、投資決策等教 科書，其計算方法多囿于插值法(內插值法、外插值法)、幾何法(平面幾何相似三角形線 段比)。近期，關于內含報酬率的解法問題，又在一些會計刑物展開紛紛揚揚、連篇累牘的 討論。以下筆者將多年研究的成果一一內含報酬率新的解法理論介紹于后。(1) 內含報酬率計算公式的數(shù)學描述內含報酬率是指項目壽命期內，資金流入量的現(xiàn)值總額與資金流出量現(xiàn)值總額相等面凈 現(xiàn)值等于零時的折現(xiàn)率。現(xiàn)金凈流量則是項目投資所引起的未來的現(xiàn)金流入量減流出量后的 凈

2、額。為便于公式的推導，將下文中所涉及的因素用以下符號表示：N-凈現(xiàn)值；NCFt第t期的現(xiàn)金凈流t； i利息率，折現(xiàn)率；NCF。一初始投資額；I- 內含報酬率；n項目有效期；a、b、c分別為常數(shù)。根據(jù)現(xiàn)金凈流量及凈現(xiàn)值定義，凈現(xiàn)值的通項公式可用以下關系式表示：N=NCF, (1+i) + NCF2 (1+i) 2+ + NCFt (1+i) * -NCFo丘 NCFtQ + if 一 NCFq(1)/=1下面我們來看i變動對N的影響，也即討論值現(xiàn)值與折現(xiàn)率、折現(xiàn)率與內含報酬率的關 系： 當i=0時：WlimN二(1+i)-NCFo一0J () /=|=E NCFt - NCFo(2)/=i即當折

3、現(xiàn)率趨于零時，凈現(xiàn)值恰是未折現(xiàn)的現(xiàn)金流入量與流出量之間的差。 當i=I時Ni= XNCFt (l+i)TCFFO /=!即內含報酬率正是凈現(xiàn)值為零時的折現(xiàn)率，它表明了折現(xiàn)率與內含報酬率的關系。 當i 8時：NTO=lim N = lim ZNCF (1+i) -NCFo二一NCFo(4)XX%1%12%凈現(xiàn)值:13.3401334 14.34這里“以直代曲”計算出的i=I,它只是內含報酬率的近似值。當選擇測試值在P點一側（同向）10%、11%時，適用外插法計算（見解析圖三） 圖示三：C (i, 0)折現(xiàn)率:10%11%凈現(xiàn)值：28.7 13.34 2&70-*丿x/(l+x)=x=Ai=ll%

4、+%=%可見，求得的內含報酬率的近似值i4%14%凈現(xiàn)值:28.702&755.74一 27.04Z.i=10%+%=12o 05956%計算出的內含報酬率的近似值i%Io通過以上選擇不同測試點計算結果比較得知：（1） 以直代曲計算出的i值，只是I的近似值；（2）當測試點選擇在P點兩側時，計算出的 內含報酬率的近似值大于I;（3）當測試點選擇在P點同側時，計算出的內含報酬率的近似 值i小于I； （4）測試點越臨近P點，其近似于I的值精確度越高。（3）3.內含報酬率新角一一解析公式法1 （直線性方程式）理論依據(jù)。設凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間存在著直線性關系，有ai+bN=C成立，那么只要測 算出兩點A、

5、（i, NJ、B （i2, N2）,就能得出凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率的特定式；再根據(jù)N=0時，求 出i即內含報酬率I的近似值，其解析圖形見圖示五。由A、B兩點知：A(i,. N,)AB： ai+bN=c內含報酬率點PG,O)B(i2t NJ_kli+bN =Cai2 +bN2=C(5) - (6)得:a(il-i2)+b(Nl-N2)=0 b/a=-(i,-i2)/(N-N2)(7)又.c/a4+Nib/a廠 N1 (1,-12)/(-)(8)將一般式變?yōu)椋篿=c/a-Nb/a(9)將(7)、(8)代入得:i=i-N, (i ,-i2)/ (Ni-N2)+ (i,-i2)N/ (N,-N2)=ii+(N

6、廠NJ (i-i2)/(N-N2)(10)實例計算。為便于與“插值法”計算結果對比，仍用以上例題，并選相應的測蔗點代 入計算。(1) 取折現(xiàn)率分別為11%. 12%的測試值代入(10)式:i=ll%+X (12%-1!%)/(-!)=11%+1434二(2) 取折現(xiàn)率分別為10%、11%的測試值代入(10)式：i=10%+X (11%-10%)/=10% 1536=%(3) 取折現(xiàn)率分別為10%, 14%的測試值代入(100式：i=10%+X (14%-10%)/=10%+=%(4) 內含報酬率新解一解析公式法2(反比例曲線性方程式)理論依據(jù)。根據(jù)凈現(xiàn)值通項公式(1),假設折現(xiàn)率與凈現(xiàn)值的關系

7、可用以下反比例曲 線方程式描述：N=a/(l+i)+b同樣，我們只要測試兩次，就可計算出內含報酬率的近似值，其解析圖見圖示六其公式推導如下：已知：A(i, NJ、B(i2、血)兩點圖示六：(11)(12)N、= a/(l +h)+ b 有vN、= a/Q + iJ + b*4丄由(11) 一 (12)得：N.-N2=a(l+i,) l-(l+i2)a=(N廠N2)(l+iJ 仃+i2)(i2-i(13)將(13)代入(11)得：b= N-(Nl-N2) (1+i.) (l+i2) (i2-i.) 1(14)當 N=0 時，I=-(a+b)/b(15)將(13)、(14)代入(15)得：i -

8、”2)(1 + 右)(1 +，2)7 + N -(N -“2)(1 +，2)(，2 +h)T1-的-“2)(1+，2)/。2 7)= i2N1(i1+l)-i,N2(i2+l)/N1(il+l)-N2(i2+l)(16)實例計算選折現(xiàn)率分別為1呷、12%的測試值代入（16）式（仍用插值法中舉例）12%xl3.34x(ll% + l)-ll%x(-l)x(12% + l)113.34x(ll% + l)-(-l)x(12% + l)177.6888 +12.32100x(14.8074 +1.12)190.00881592.74選折現(xiàn)率分別為10%、11%的測試值代入(16)式:14%x287x

9、(10% + l) 10%xl3S4x(ll% + l)28.7x(10%+ 1)-13.34x(11% + !)347.27-148.074100x(31.57-14.8074)199,1961676.26=llo 88336%選擇折現(xiàn)率分別為10%. 14%的測試值代入(16)式:1=14% x28.7x (10% + 1)-10% x (-27.04) x (14% +1)28.7 x (10% +1) - (-27.CM) x (14% +1)441.98 + 312.36100x(31.57 + 31.236)(5) 三種方法計算結果比較以上三種方法取相同測試點的計算結果見下表:采用

10、方法與取點兩側近點測試值同向測試值兩側遠點測試值插值法(或幾何法)%（以直代曲）解析公式法1（以直代曲）%解析公式法2%（以曲代曲）公式法2與以上方法 計算結果比較X 10 5X10 :X101計算結果表明：1.插值法”、“幾何法”、解析公式法1”，實質都是以直代曲的比例法， 計算結果一致；1.在以直代曲的計算中，測試值臨近P點（內含報酬率點）兩側時，救出的 11,而采用以曲代曲解析公式法2計算岀的i小于用以上各法計算出的內含報酬率近似值, 這說明公式法2計算出的結果精確度高；3.當測試值取P點同向一側時，以直代曲計算出的 iI,而以曲代曲計算出的內含報酬率的近似值大于前幾法求出的i值，這也同樣證明運用 解析公式法2比采用其它法計算更精確。綜上所述，本文所推導出的內含報酬率解析公式法1以直代