七年級數(shù)學(xué)下冊第3章因式分解知識點梳理新版湘教版

1、第三章 因式分解1. 因式分解 定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。 即：多項式幾個整式的積 例：因式分解是對多項式進行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。2.因式分解的方法： （1）提公因式法： 定義：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這個變形就是提公因式法分解因式。公因式：多項式的各項都含有的相同的因式。公因式可以是一個數(shù)字或字母，也可以是一個單項式或多項式。 例：的公因式是 解析：從多項式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、-8、6，它們的最大公約數(shù)為2；字母部分都含有因式，故多項式的公因式是2.提公因

2、式的步驟第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個因式，提公因式時，可用原多項式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個因式。注意：提取公因式后，對另一個因式要注意整理并化簡，務(wù)必使因式最簡。多項式中第一項有負(fù)號的，要先提取符號。例1：把分解因式. 解析：本題的各項系數(shù)的最大公約數(shù)是6，相同字母的最低次冪是ab，故公因式為6ab。 解：例2：把多項式分解因式解析：由于，多項式可以變形為,我們可以發(fā)現(xiàn)多項式各項都含有公因式（）,所以我們可以提取公因式（）后,再將多項式寫成積的形式.解：=例3：把多項式分解因式 解：= （2）運用公式法 定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項式分

3、解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。 注意：公式中的字母可代表一個數(shù)、一個單項式或一個多項式。 選擇使用公式的方法：主要從項數(shù)上看，若多項式是二項式可考慮平方差公式；若多項式是三項式，可考慮完全平方公式。例1：因式分解 解：=例2：因式分解 解：= （3）分組分解法（拓展） 將多項式分組后能提公因式進行因式分解；例：把多項式分解因式 解：= 將多項式分組后能運用公式進行因式分解. 例：將多項式因式分解解：= （4）十字相乘法（形如形式的多項式，可以考慮運用此種方法） 方法：常數(shù)項拆成兩個因數(shù)，這兩數(shù)的和為一次項系數(shù) 例：分解因式 分解因式補充點詳解 補充點詳解我們可以將-30分解成pq的

4、形式， 我們可以將100分解成pq的形式，使p+q=-1, pq=-30,我們就有p=-6, 使p+q=52, pq=100,我們就有p=2,q=5或q=-6,p=5。 q=50或q=2,p=50。 所以將多項式可以分 所以將多項式可以分解為 解為52 -6503.因式分解的一般步驟： 如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范

5、圍內(nèi)因式分解，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個整式的積的形式。一、 例題解析提公因式法提取公因式：如果多項式的各項有公因式，一般要將公因式提到括號外面.確定公因式的方法：系數(shù)取多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母(或多項式因式)取各項都含有的字母(或多項式因式)的最低次冪.【例 1】 分解因式：(為正整數(shù))(、為大于1的自然數(shù))【鞏固】 分解因式： ，為正整數(shù).【例 2】 先化簡再求值，其中，l 求代數(shù)式的值：，其中.【例 3】 已知：，求的值.n 分解因式：.公式法平方差公式：公式左邊形式上是一個二項式，且兩項的符號相反；每一項都可以化成某個數(shù)或式的平方形式；右邊是這兩個數(shù)或式的和與它們差的積，相當(dāng)于兩個一次二項式的積.完全平方公式： 左邊相當(dāng)于一個二次三項式；左邊首末兩項符號相同且均能寫成某個數(shù)或式的