多邊形內(nèi)角和與外角和知識(shí)講解

1、多邊形內(nèi)角和與外角和（提高）知識(shí)講解責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解多邊形的概念；2. 掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式；3. 靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問題，體驗(yàn)并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法，進(jìn)一步培養(yǎng)說理和進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的能力【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、多邊形的概念1 定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次聯(lián)接結(jié)所組成的封閉圖形叫做多邊 形其中，各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.2. 相關(guān)概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。夕卜角：多邊形的邊

2、與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.3. 多邊形的分類：畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多邊形。如圖：要點(diǎn)詮釋:凸多邊形（1）正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”,“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可;（2）過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為 血 3）2（3）過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成（n- 2）個(gè)三角形.知識(shí)點(diǎn)二、多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角和為（n- 2） 180 （ n3

3、）.要點(diǎn)詮釋：(1) 內(nèi)角和定理的應(yīng)用：已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù);(2) 正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于-2) L18。；n知識(shí)點(diǎn)三、多邊形的外角和多邊形的外角和為 360 .要點(diǎn)詮釋：(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的外角和恒等于360,它與邊數(shù)的多少無關(guān)；360 (2) 正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于n(3) 多邊形的外角和為360 的作用是：已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；已知多邊 形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù).【典型例題】 類型一、多邊形的概念1.同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中會(huì)遇到這樣一

4、個(gè)問題：把正方形紙片截去一個(gè)角后， 還剩多少角，余下的圖形是幾邊形，親愛的同學(xué)們，你知道嗎？【答案與解析】解：這個(gè)問題，我們可以用圖來說明.(1) (2)按圖(1)所示方式去截，不經(jīng)過點(diǎn) B和D，還剩五個(gè)角，即得到一個(gè)五邊形.按圖(2)所示方式去截，經(jīng)過點(diǎn) D(或點(diǎn)B) 不經(jīng)過點(diǎn)B(或點(diǎn)D)，還剩4個(gè)角，即得 到一個(gè)四邊形.按圖(3)所示方式去截，經(jīng)過點(diǎn) D、點(diǎn)B,則剩下3個(gè)角，即得到三角形.答：余下的圖形是五邊形或四邊形或三角形.【總結(jié)升華】一個(gè)n邊形剪去一個(gè)角后，可能是(n+1)邊形，也可能是n邊形，也可能是(n-1) 邊形，禾U用它我們可以解決一些具體問題.舉一反三：【變式1】如圖，四邊

5、形ABCD中，/ B= 40,沿直線MN剪去/ B,則所得五邊形 AEFCD中,Z 1+ Z 2=。【答案】220【變式2】一個(gè)多邊形共有 20條對(duì)角線，則多邊形的邊數(shù)是(A.6B.7C.8D.9c【答案】C.類型二、多邊形內(nèi)角和定理如圖，求：Z A+ Z B+ Z C+ Z D+ Z E+ Z F 的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及四邊形的內(nèi)角和為360即可解答.【答案與解析】解：如圖，c/ /BPO是厶PDC的外角, BPO= Z C+ Z D,POA是厶OEF的外角, POA= Z E+ Z F,Z/Z A+ Z B+ Z BPO+ Z POA=360 , Z A+ Z B+ Z

6、 C+ Z D+ Z E+ Z F=360 【總結(jié)升華】本題考查了三角形外角的性質(zhì)及四邊形的內(nèi)角和為 熟記三角形外角的性質(zhì).舉一反三：【高清課堂：多邊形及其內(nèi)角和【變式】(1)如圖1,(2)如圖2,則/ A+Z則/ A+Z例 5 (2)B+Z C+ZB+Z C+Z(3)】D+Z E+Z F=D+Z E+Z F+Z G=AAB(圖2)D 【答案】(1) 360 ;(2) 540360，解決本題的關(guān)鍵是3.(山東萊蕪)一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為2520,則原多邊形的邊數(shù)為().A . 15 B . 16 C . 17 D . 15 或 16 或 17 【思路點(diǎn)撥】一個(gè)多邊形截去

7、一個(gè)角后的多邊形的邊數(shù)不確定，要分類討論.【答案】D【解析】解：本題可設(shè)新多邊形為 n邊形，由題意可知，原多邊形可以為n邊形；(n+1)邊形；(n-1)邊形：即(n-2) X 180 = 2520 解得 n= 16.故 n-1=15, n+1 = 17.因此原多邊形可以是十五邊形，也可以是十六邊形，也可以是十七邊形，所以選D .【總結(jié)升華】 此問題比較抽象，可以利用四邊形類比發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后再推廣到一般.【高清課堂：多邊形及其內(nèi)角和例2、3】舉一反三：【變式1 (1) 一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和與它的一個(gè)外角的和為2005。，求多邊形的邊數(shù)。(2)如果一個(gè)凸多邊形，除了一個(gè)內(nèi)角以外，其它內(nèi)角的和為2

8、570，求這個(gè)沒有計(jì)算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù)【答案(1 )用 2005- 180=11 余 25, n-2=11 , n=13.(2)用 2570- 180=14 余 50, 180-50 =130 【變式2 (2015秋？趙縣期中)已知：如圖， AB /CD，求圖形中的x的值.【答案解： AB / CD，/ C=60 ,/ B=180 - 60=120 ( 5- 2) X80x+150 + 125+60+120, x=85 類型三、多邊形的外角和4. 科研人員為某機(jī)器人編制了一段程序，如果機(jī)器人在平地上按照?qǐng)D中的步驟行走, 那么該機(jī)器人所走的總路程為()A . 6米 B . 8米 C. 12米D

9、.不能確定【解析】解析：先按照程序的步驟畫圖（如圖所示）,發(fā)現(xiàn)一次轉(zhuǎn)彎后不能回到出發(fā)點(diǎn)，從畫出的圖形，可以發(fā)現(xiàn)要使機(jī)器人回到點(diǎn)A處，那么機(jī)器人走過的路徑應(yīng)該是一個(gè)多邊形，每次轉(zhuǎn)彎的角就是這個(gè)多邊形的外角利用多邊形的外角和為360 ,而45X 8= 360 ,所以經(jīng)過8次轉(zhuǎn)彎即可到達(dá)點(diǎn) A處.又因?yàn)槊看巫?米，所以該機(jī)器人所走的總路程為8米.【總結(jié)升華】解決此題的關(guān)鍵同樣是把生活實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在散步之中感悟數(shù)學(xué)知識(shí)其中蘊(yùn)含了多邊形的外角和為360。的有關(guān)知識(shí)本例為“設(shè)計(jì)程序”類考題，讀懂程序，畫出圖形，理解很重要.舉一反三：【變式】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊AB/ CF, CD/ AE.按規(guī)定AB、CD的延長(zhǎng)線相交成80角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測(cè)量這時(shí)師傅告訴徒弟只需測(cè)一個(gè)角，便知道AE、CD的延長(zhǎng)線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測(cè)那一個(gè)角嗎？說明理由.C【答案】解：測(cè)/ A或/ C的度數(shù)，只需/ A=100或/ C=100, 即知模板中AB CD的延長(zhǎng)線的夾角是否符合規(guī)定.理由如下：連接 AF,v AB/ CF,/ BAF+Z