圓錐曲線-2020年高考復習典型試題精選

1、咼考復習-圓錐曲線典型試題精選1.雙曲線C的左右焦點分別為 Fi,F2，且F2恰為拋物線y2 4x的焦點，設雙曲線 C與該拋物線的一個交點為 A，若 AF1F2是以AR為底邊的等腰三角形，則雙曲線 C的離心率為A. 2B.12C.13D. 2.3【答案】B拋物線的焦點為（1,0）,即F2（1,0），所以雙曲線中c 1。雙曲線C與該拋物線的一個交點為A,（不妨設在第一象限）若曲線的左焦點。所以af2 f1f2AF1F2是以AF1為底邊的等腰三角形，則拋物線的準線過雙2c 2,所以 XA （ 1） 2 ,即 XA 1，所以 yA2 4xa 4解得yA 2 ,即A(1,2) 又222 .8 22a

2、(1 1)2A（1,2）在雙曲線上，所以AF1 AF2 2a ,即2 2 ,所以a 21 ,即雙曲線的離心率c 1e a .2 1.21。選 B.a2 b （5分）若雙曲線尋-7=1 （a0, b0）的漸近線與拋物線 y=x2+2有公共點,則此雙曲線的離心率的取值范圍是（B.(3, + s)C.(1 , 3考點：圓錐曲線的綜合；雙曲線的簡單性質.專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程.分析：先根據(jù)雙曲線方程表示出漸近線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式等于0求得a和b的關系，進而求得 a和c的關系，則雙曲線的離心率可得.解答：解：依題意可知雙曲線漸近線方程為y= （，與拋物線方程聯(lián)立消去 y得

3、x2+2=0漸近線與拋物線有交點T- 8為，求得 b2紹a2,C= ：| 為a.e=為.則雙曲線的離心率 e的取值范圍：e為.故選A.點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質和圓錐曲線之間位置關系.常需要把曲線方程聯(lián)立根據(jù)判別式和曲線交點之間的關系來解決問題.3 .已知橢圓C:毛斗1(nb0)的右焦點為F( 1 , 0)，短軸的端點分別為 B1,B2,且 |仃-IJ ,(I)求橢圓C的方程;(H)過點F且斜率為k (kMO)的直線I交橢圓于M , N兩點，弦MN的垂直平分線與 x軸相交于點D .設弦MN的中點為P,試求的取值范圍.考占：八、專題:分析:直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程.圓錐曲線

4、的定義、性質與方程.()利用數(shù)量積即可得到 1 - b2= - a,又a2 - b2=1，即可解得a、b;()把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系即可得到線段MN的中點P的坐標，利用弦得到|MN|，利用點斜式即可得到線段 MN的垂直平分線 DP的方程，禾U用兩點間的距離公式或點到直線的距一的關于斜率k的表達式，即可得到其取值范圍.得到|DP|，進而得出解答:解：()由題意不妨設Bi (0,- b), B2 (0, b)，則t .)-b2=- a,又：孑-b2=i，解得 a=2, b二阿.橢圓C的方程為2 X T 32-1 ；()由題意得直線I的方程為y=k (x - 1).產k

5、- 1聯(lián)立得(3+4k2) x2- 8k2x+4k2- 12=0.2 2 J jI 43 14k2-121 占 3+4k2設 M (X1, yi) , N (X2, y2)，則弦MN的中點P I： 3+4kz3+4k2)MN|=yj (1+k?)(工十x)三一4耳1工2-：= C3Hk2) 22 直線PD的方程為y|- - A (工-*41A3 k 4k2i3JDP|=劉k，(k+1)4k?+3DP(k+l)4kZ+3mT 124k2+3又 *2+1 1, ： 一 ,kJH占八、=的取值范圍是熟練掌握直線與橢圓的相交問題轉化為一元二次方程根與系數(shù)的關系、線段MN的中點坐標公式、弦長公評：線段的

6、垂直平分線的方程、兩點間的距離公式或點到直線的距離公式、不等式的性質是解題的關鍵4 .過拋物線y2=4x焦點的直線交拋物線于 A , B兩點，若|AB|=10，則AB的中點到y(tǒng)軸 的距離等于（）A. 1B. 2C. 3D . 4考點：拋物線的簡單性質.專題：圓錐曲線的定義、性質與方程.分析：設AB的中點為 E,過A、E、B分別作準線的垂線，垂足分別為C、F、D，如圖所示，由EF為直角梯形的中位線及拋物線的定義求出EF，貝U EH=EF - 1為所求.解答：解：拋物線y2 =4x焦點（1, 0）,準線為I: x= - 1,設AB的中點為 E,過A、E、B分別作準線的垂線，垂足分別為C、F、D ,

7、 EF交縱軸于點H，如圖所示：則由EF為直角梯形的中位線知，AC+BD AF+FB A3 EF= = -r-5,EH=EF - 1=4,則AB的中點到y(tǒng)軸的距離等于4. 故選D.7F/- 任Do點評：本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思 想.5 .已知橢圓C:2 2斗二1 (a b 0 )的離心率 a2 b?A (a , 0), B (0 ,b)的直線的距離是(1 )求橢圓C的方程;(2 )若橢圓C上一動點P (xo, yo)關于直線y=2x的對稱點為Pi (xi, yi),求xi2+y 12 的取值范圍.(3 )如果直線y=kx+1(k工0)交橢圓C于不

8、同的兩點 E, F，且E, F都在以B為圓心的圓上，求k的值.考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程. 專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題.,a2=b2+c2 ,及其點到直線的距離公式即可得到a, b;分析：(i) 利用橢圓的離心率(2)禾U用軸對稱即可得到點 P ( xo, yo)與其對稱點Pi (xi, yi)的坐標之間的關系,再利用點P (xo, yo)滿足橢圓C的方程:花+亍1得到關系式,進而即可求出;(3)設 E ( X2, y2), F (X3, y3) , EF 的中點是 M (xm , yM),貝U BM -EF 得到關系 式，把直線EF的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)

9、的關系即可.：,a2=b2+c2 ,解答：解：(i) Ta=2b.原點到直線AB :【的距離解得 a=4, b=2.2 2故所求橢圓C的方程為Pl (X1, yi),(2) 點P (xo, yo)關于直線y=2x的對稱點為點4兀7“3乎0+4s 0T5，T5解得點P (xo,yo)在橢圓C:上,PPP? 3 小芍十二“+坯二4十&疝- 4 強o 詔，=#+片 0.設 E (x2, y2), F (X3, y3) , EF 的中點是 M (xm , yM),Eklf4k2則4kl+4k2yM=kxM+1 =H4k2xM+kyM+2k=O .即I I I 4k，1十4k又.k用，*晉.點評：本題綜

10、合考查了橢圓的標準方程及其性質、點到直線的距離公式、直線與橢圓相交問 題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、相互垂直的直線斜率之間的關系、中點坐標 公式等知識與方法，熟悉解題模式是解題的關鍵.6 .拋物線C: y2=2px的焦點坐標為X ,P在拋物線 C上運動，點 Q在直線x+y+5=0J ,則拋物線C的方程為 y2=2x ，若點上運動，則|PQ|的最小值等于_二一考點：直線與圓錐曲線的關系；拋物線的簡單性質. 專題：計算題；圓錐曲線中的最值與范圍問題.分析：1:由y2=2px的焦點坐標為F （。），得號予，從而求得p值，設與直線x+y+5=0平行的拋物線的切線方程為x+y+m=0，直線x+y+

11、5=0與切線距離即為|PQ|的最小值，聯(lián)立切線方程與拋物線方程消 掉x得y的二次方程，令-.=0可求得m值，從而得切線方程，根據(jù)兩點間距離公式即可求得答案.解：因為y2=2px的焦點坐標為F0）,所以p0，且三，解得p=1 , 所以拋物線方程為y2=2x,設與直線x+y+5=0平行的拋物線的切線方程為x+y+m=0 ,f K4y+rtr02由 ？得 y2+2y+2m=0 ,ly 二2 工令-.=0，即22 - 4疋m=0，解得 m=1:,則切線方程為x+y+=,|宀|逅1q兩平行線間的距離 d=，即為|PQ的最小值.故答案分別為：y2=2x,點評:本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、拋物線的性質

12、，考查轉化思想,解決本題的關鍵把|PQ|的最小值轉化為直線與拋物線切線間的距離求解.:;交橢圓C于B, D （不與點A重合）兩點.V2T，且過點A （近，1） 直線2 27 已知橢圓C： 務匚I的離心率為a2 b2=.：I -解答:-1;2 2V= x+ni2 2142 1消去y得到/+占砲+陽2 - 2=0 ,（I）求橢圓C的方程;（H）AABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.考直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程.占：八、專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題.題:分析：（）利用橢圓的標準方程、離心率及a2=b2+c2即可得出；（2）把直線BD的方程與橢圓

13、的方程聯(lián)立，禾U用根與系數(shù)的關系及弦長公式即可得到|BD|,禾U用點到直線的距離公式即可得到點 A到直線BD的距離，利用三角形的面積公式得到 ）ABD的面積，再利用基本不等 式的性質即可得出其最大值.橢圓C的方程為()設 B (X1 , yi) , D (X2,y2).直線與橢圓有兩個不同的交點，）=8 - 2m20,解得-2v mv2.）眇|二14（）2（r +辺）七=乘點A到直線BD的距離d=考點： 專題： 分析：解：因為雙曲線C:雙曲線的漸近線方程為:19. （14分）（2013?豐臺區(qū)二模）已知橢圓C各宀的短軸的端點分別為A , B，直線AM ,BM分別與橢圓C交于E, F兩點,其中點

14、 M （m，二）滿足m旳，且mH 士逅.電=|BD|弓X冷（4-訶 X 勢二怕皿2（4-叩巧醫(yī)乎乂云十W； 五- 當且僅當m二廠箱氏（-2, 2）時取等號.當遼時，-.ABD的面積取得最大值點 熟練掌握橢圓的定義、標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關系、判別式、 評：弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積公式、基本不等式的性質是解題的關鍵.2 212. （ 5分）（2013?豐臺區(qū)二模）若雙曲線 C: 土-1（30）的離心率為則拋物線y2=8x的焦點到C的漸近線距離是 _ . :_.雙曲線的簡單性質.計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程.通過雙曲線的離心率求出 a,然

15、后求出漸近線方程，求出拋物線的焦點坐標，利用點到直線的距離求 解即可.解答:-1 （a0）的離心率為血，所以空二逅，又b3，所以a3,3ay= ，拋物線y2=8x的焦點坐標為：（2, 0）,由點到直線的距離公式可得:故答案為：二點評:本題考查雙曲線與拋物線的基本性質的應用，點到直線的距離公式的應用，考查計算能力.()()()求橢圓C的離心率e;用m表示點E, F的坐標；求m的值.若-BME面積是-AMF面積的5倍,考點：直線與圓錐曲線的關系；橢圓的簡單性質.專題：圓錐曲線的定義、性質與方程.分析：（）利用橢圓的離心率計算公式于壬;3()利用點斜式分別寫出直線 AM、BM的方程，與橢圓的方程聯(lián)立

16、即可得到點E、F的坐標;()利用三角形的面積公式及其關系得到，再利用坐標表示出即可得到 m的值.5|MA|HE|HE| _|MF(m,解答：解：(依題意知a=2,() -A (0, 1), B (0, - 1), M丄)，且m和,2直線AM的斜率為1，直線BM的方程為y=-BM斜率為k2=直線AM的方程為y=一，直線_3Sir，3 1，f 2 n步二14得尸噲寸12 2(m +1) x - 4mx=0 ,IZ z 1r4-y =1(9+m2) x2 - 12mx=0 ,5-12m9_ 卬、o 5?ID 十 9 m +9(J 總跡專 I恥 I iMFbhiZAMF,IHBIIHE IsinZBI

17、E，amf= -.bme ,5S；amf=S；bme ,5|MA|MF|=|MB|ME| , 4m-IDm2+l，9+m2m老,整理方程得115，即(m2- 3) ( m2- 1) =0 ,又曲 土真,-，m2 - 3 電-.m2=1, -，m= 1 為所求.點評：熟練掌握橢圓的離心率、點斜式、直線與橢圓的相交問題的解題模式、三角形的面積計算公式、比 例式如何用坐標表示是解題的關鍵.2已知橢圓M :篤a19.(本小題滿分14分)每1(a b 0)的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為60的菱形b的四個頂點(I )求橢圓M的方程;1(II)直線與橢圓 M交于A, B兩點，且線段 AB的垂直平分線經

18、過點(0,丄)，求 AOB2(O為原點)面積的最大值x219.解：(I)因為橢圓M :弋a2yb21(ab 0)的四個頂點恰好是一邊長為2,2一內角為60的菱形的四個頂點，2所以a . 3,b 1，橢圓M的方程為 y2 1351(II)設A(x1,y1),B(X2,y2),因為AB的垂直平分線通過點(0,-)，顯然直線AB有斜率,2當直線AB的斜率為0時，則AB的垂直平分線為y軸,則X1 x, y1 y所以 Saob=*|2X! 11% | |兒 11% | |X1|, 12X13；X12(3 X12)X12(3 X12)3所以Saob，當且僅當|X1| 6時，2 2因為.X12(3 X12)

19、S AOB取得最大值為當直線AB的斜率不為0時，則設AB的方程為y kx ty kx t所以x22 ，代入得到T y 1(3k2 1)x26kt 3t23 04(9 k23 3t2)0,即3k21 t2方程有兩個不同的解p6kt X1 X2乂 X1 X22，3k 12所以也比 3k 13kt3k21y1 y2 122又220 X1 X2化簡得到3k214t代入，得到010分又原點到直線的距離為12分因為0 t 4，所以當t 2時，即k7時，s AOB取得最大值_.3214分2, 條拋物線恰好經過故選：B綜上，AOB面積的最大值為-127.（ 5分）（2013?石景山區(qū)二模）已知正六邊形 ABC

20、DEF的邊長是 該六邊形的四個頂點，則拋物線的焦點到準線的距離是（）A .：；B .：；C.:;考點：拋物線的簡單性質.專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程.分析：如圖，設正六邊形 ABCDEF的頂點A、B、C、F在拋物線y2=2px上.根據(jù)拋物線的對稱性，設A（X1, 1）, F （x2, 2）,由拋物線方程和正六邊形的性質建立關于X1、X2和p的方程組，解之可得2p=ME由此即可得到拋物線焦點到準線的距離.解答：解：由題意，設正六邊形 ABCDEF的頂點A、B、C、F在拋物線y2=2px上，冷4二K 2設 A (X1, 1) , F (X2, 2),可得2p x 二 12p X由、消去

21、p得X2=4x1，代入可得X二_ _ :,所以x1= _，代入得2p=# 1,根據(jù)拋物線的性質，可得焦點到準線的距離是點評：本題給出邊長為2正六邊形ABCDEF，拋物線恰好經過六邊形的四個頂點，求拋物線的焦準距著I - .L 0，b0),則焦距為10,點P (2, 1)在C的漸近線上,心5，/C的方程為2 220_V=1；焦點在y軸上時，設方程為(a 0, b 0),則焦距為10,點P (2, 1)在C的漸近線上,C =5,亭C的方程為2 220 = 12 2故答案為詁fl或點評:本題考查雙曲線的標準方程與幾何性質，考查學生的計算能力，考查分類討論的數(shù)學 思想，屬于中檔題.19. (14分)已知F1(- 1, 0),F2(1,0),坐標平面上一點P滿足：-PF1F2的周長為6,記點P的軌跡為C1.拋物線C2以F2為焦點，頂點為坐標原點 O.()求C1, C2的方程；(若過f2的直線l與拋物線C2交于A , B兩點，問在C1上且在直線I外是否存在一點M，使直線MA , MF2, MB的斜率依次成等差數(shù)列，若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由.考占：八、直線與圓錐曲線的綜合問題.專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題.分析:（）利用-PF1F2的周長為6,結合橢圓的定義，可