《二元一次方程組》全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識講解(1)

1、樂博思二元一次方程組全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）知識講解責(zé)編：張強【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解二元一次方程（組）的有關(guān)概念，會解簡單的（數(shù)字系數(shù)）；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解決簡單的實際問題，并能檢驗解的合理性.毛2.二元一次方程組的圖像解法，初步體會方程與函數(shù)的關(guān)系.3.了解解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化復(fù)雜問題為簡單問題的劃歸思想.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、二元一次方程組的相關(guān)概念1. 二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數(shù)（和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程. 要點詮釋：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二

2、元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解. 要點詮釋：二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為 的形式.3. 二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組. 此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，二元一次方程組.要點詮釋：（1）它的一般形式為（其中，不同時為零）（

3、2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組（3）符號“”表示同時滿足，相當(dāng)于“且”的意思4. 二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點詮釋：（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組 的解有無數(shù)個. 要點二、二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想

4、2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關(guān)于（或）的一元一次方程；解這個一元一次方程，求出（或）的值；把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.要點詮釋： (1)用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的

5、另一個方程；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準(zhǔn)確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次

6、方程；解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.要點詮釋：當(dāng)方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡單.（3）圖像法解二元一次方程組的一般過程：把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式在直角坐標(biāo)系中畫出兩個一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點交點坐標(biāo)就是方程組的解要點詮釋：二元一次方程組無解一次函數(shù)的圖像平行（無交點） 二元一次方程組有一解一次函數(shù)的圖像相交（有一個交點） 二元一次方程組有無數(shù)個解一次函數(shù)的圖像重合（有無數(shù)個交點）利用圖像法求二元一次方程組

7、的解是近似解，要得到準(zhǔn)確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求這兩條直線對應(yīng)的函數(shù)表達式聯(lián)立的二元一次方程組的解.要點三、實際問題與二元一次方程組要點詮釋：（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.要點四、二元一次方程（組）與一次函數(shù)1.二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系 （1）任何一個二元一次方程都可以變形為即為一個一次函數(shù)，所以每個二元一次方程都對應(yīng)一個一次函數(shù).（2）我

8、們知道每個二元一次方程都有無數(shù)組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數(shù)解有，我們發(fā)現(xiàn)以這些整數(shù)解為坐標(biāo)的點（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數(shù)y的圖像上，反過來，在一次函數(shù)的圖像上任取一點，它的坐標(biāo)也適合方程.要點詮釋：1.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點都在相應(yīng)的函數(shù)圖像上；2.一次函數(shù)圖像上的點的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的所有點組成的圖像與相應(yīng)一次函數(shù)的圖像相同.2. 二元一次方程組與一次函數(shù)每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角

9、度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點的坐標(biāo).3.用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達式，再根據(jù)所給的條件確定表達式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達式的方法，叫做待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法解決問題的步驟：1.確定所求問題含有待定系數(shù)解析式.2.根據(jù)所給條件, 列出一組含有待定系數(shù)的方程.3.解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.要點五、三元一次方程組1定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組. 等都是三元一次方程組.要點

10、詮釋：理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組.2三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)，最后再求出另一個未知數(shù)解三元一次方程組的一般步驟是： （1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組； （2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值； （3）將求得的兩個未知數(shù)的

11、值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程； （4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值； （5）將求得的三個未知數(shù)的值用“”合寫在一起要點詮釋：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求比較簡單的解法（2）要檢驗求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解3. 三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(

12、或三個)未知數(shù)；（2）找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)要點詮釋：(1)解實際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組【典型例題】類型一、二元一次方程組的相關(guān)概念1.下列方程組中，不是二元一次方程組的是（ ）.a. b. c. d.【思路點撥】利用二元一次方程組的定義一一進行判斷.

13、【答案】b.【解析】二元一次方程組中只含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的次數(shù)都是1，方程組中，可以整理為.【總結(jié)升華】準(zhǔn)確理解二元一次方程組和二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵.舉一反三：【高清課堂：二元一次方程組章節(jié)復(fù)習(xí)409413 例1（2）】【變式】若是二元一次方程，則a= ，b= 【答案】1, 02.以 為解的二元一次方程組是（ ）.a. b. c. d.【答案】c.【解析】通過觀察四個選項可知，每個選項的第一個二元一次方程都是，第二個方程的左邊都是，而右邊不同，根據(jù)二元一次方程的解的意義可知，當(dāng) 時，.【總結(jié)升華】不滿足或不全部滿足方程組中的各方程的選項都不是方程組的解.舉一反三：【變式

14、】（2015綿陽）若+|2ab+1|=0，則（ba）2015=（）a1 b1 c52015 d52015【答案】解：+|2ab+1|=0，解得：，則（ba）2015=（3+2）2015=1故選：a類型二、二元一次方程組的解法 3. （2016白色）解方程組【思路點撥】利用加減消元法求解即可【答案與解析】解： 8+得：33x33，得x1，將x1代入得，y1則方程組的解為 【總結(jié)升華】本題考查了二元一次方程組的解法，利用了消元的思想，消元的方法有代入消元法和加減消元法.舉一反三：【高清課堂：二元一次方程組章節(jié)復(fù)習(xí)409413 例2（2）】【變式】已知方程組的解是二元一次方程m(x+1)=3(x-y

15、)的一個解，則m= 【答案】3類型三、實際問題與二元一次方程組4.（2015佛山）某景點的門票價格如表：購票人數(shù)/上每人門票價/元12108某校七年級（1）、（2）兩班計劃去游覽該景點，其中（1）班人數(shù)少于50人，（2）班人數(shù)多于50人且少于100人，如果兩班都以班為單位單獨購票，則一共支付1118元；如果兩班聯(lián)合起來作為一個團體購票，則只需花費816元（1）兩個班各有多少名學(xué)生？（2）團體購票與單獨購票相比較，兩個班各節(jié)約了多少錢？【思路點撥】（1）設(shè)七年級（1）班有x人、七年級（2）班有y人，根據(jù)如果兩班都以班為單位單獨購票，則一共支付1118元；如果兩班聯(lián)合起來

16、作為一個團體購票，則只需花費816元建立方程組求出其解即可；（2）用一張票節(jié)省的費用該班人數(shù)即可求解【答案與解析】解：（1）設(shè)七年級（1）班有x人、七年級（2）班有y人，由題意，得，解得：答：七年級（1）班有49人、七年級（2）班有53人；（2）七年級（1）班節(jié)省的費用為：（128）49=196元，七年級（2）班節(jié)省的費用為：（108）53=106元【總結(jié)升華】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，二元一次方程組的解法的運用，解答時建立方程組求出各班的人數(shù)是關(guān)鍵舉一反三：【變式】(山東濟南)如圖所示，教師節(jié)來臨之際，群群所在的班級準(zhǔn)備向每位辛勤工作的教師獻一束鮮花，每束由4支鮮花包裝而成

17、，其中有象征母愛的康乃馨和象征尊敬的水仙花兩種鮮花，同一種鮮花每支的價格相同，請你根據(jù)第一、二束鮮花提供的信息，求出第三束鮮花的價格【答案】解：設(shè)康乃馨每支x元，水仙花每支y元根據(jù)題意，可列方程組，解得所以第三束鮮花的價格是x+3y5+3417(元)答：第三束鮮花的價格是17元類型四、二元一次方程（組）與一次函數(shù)5. 已知如圖所示，直線l1，l2相交于a點，請根據(jù)圖象寫出以交點坐標(biāo)為解的二元一次方程組，并求出它的解【思路點撥】由圖知：直線l1、l2相交于a點，那么以兩個函數(shù)的解析式為方程組的二元一次方程組的解即為兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)【答案與解析】解：設(shè)直線l1的解析式是y=kx+b，已知直線

18、l1經(jīng)過（1，3）和（0，4），根據(jù)題意，得：解得：則直線l1的函數(shù)解析式是y=-x+4；同理得直線l2的函數(shù)解析式是y=2x+1則所求的方程組是兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為（1，3），所以方程組的解為：【總結(jié)升華】一般地，每個二元一次方程組都對應(yīng)著兩個一次函數(shù)，也就是兩條直線從“數(shù)”的角度看，解方程組就是求使兩個函數(shù)值相等的自變量的值以及此時的函數(shù)值從“形”的角度看，解方程組就是相當(dāng)于確定兩條直線的交點坐標(biāo)6. 甲、乙兩列火車分別從a、b兩城同時勻速駛出，甲車開往b城，乙車開往a城由于墨跡遮蓋，圖中提供的只是兩車距b城的路程s甲（千米）、s乙（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)圖象的一部分（1）乙車的