2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖學(xué)案含解析新人教版

1、第七章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖知識(shí)梳理雙基自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形結(jié)構(gòu)特征有兩個(gè)面互相_平行且全等_，其余各面都是_四邊形_.每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相_平行_有一個(gè)面是_多邊形_，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的_三角形_的多面體用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，_截面_和_底面_之間的部分側(cè)棱_平行且相等_相交于_一點(diǎn)_但不一定相等延長(zhǎng)線交于_一點(diǎn)_側(cè)面形狀_平行四邊形_三角形_梯形_知識(shí)點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，_垂直_于底面相交于_一點(diǎn)_延長(zhǎng)線交于_一點(diǎn)_軸截面全等的_矩形_全等的_等腰三角形_全等的

2、_等腰梯形_圓_側(cè)面展開圖_矩形_扇形_扇環(huán)_知識(shí)點(diǎn)三三視圖與直觀圖三視圖三視圖包括_正(主)視圖_、_側(cè)(左)視圖_、_俯視圖_畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測(cè)面法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x軸、y軸的夾角為_45或135_，z軸與x軸和y軸所在平面_垂直_.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍_平行于坐標(biāo)軸_，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度_不變_，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為_原來(lái)的一半_.1三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線，主視圖反映了物體的長(zhǎng)度和高度；俯視

3、圖反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；左視圖反映了物體的寬度和高度；由此得到：主俯長(zhǎng)對(duì)正，主左高平齊，俯左寬相等2一個(gè)平面圖形在斜二測(cè)畫法下的直觀圖與原圖形相比，有“三變、三不變”三變：坐標(biāo)軸的夾角改變，與y軸平行線段的長(zhǎng)度改變(減半)，圖形改變?nèi)蛔儯浩叫行圆蛔?，與x軸平行的線段長(zhǎng)度不變，相對(duì)位置不變題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐()(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的截面與底面之間的部分()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同()(5)

4、用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱()(6)菱形的直觀圖仍是菱形()題組二走進(jìn)教材2(必修2P19T2)下列說(shuō)法正確的是(D)A相等的角在直觀圖中仍然相等B相等的線段在直觀圖中仍然相等C正方形的直觀圖是正方形D若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行解析由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行關(guān)系不變題組三走向高考3(2020新課標(biāo)卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為(C)ABCD解析如圖，設(shè)CDa，P

5、Eb，則PO，由題意PO2ab，即b2ab，化簡(jiǎn)得42210，解得(負(fù)值舍去)故選C4(2017北京，7)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為(B)A3B2C2D2解析根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐PABCD)如圖所示，將該四棱錐放入棱長(zhǎng)為2的正方體中由圖可知該四棱錐的最長(zhǎng)棱為PD，PD2.故選B5(2018全國(guó))某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如下圖，圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(B)A2B2C3D2解析先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點(diǎn)M，N的位

6、置如圖所示圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑|ON|164，|OM|2，|MN|2.考點(diǎn)突破互動(dòng)探究考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征自主練透例1 (1)給出下列四個(gè)命題，其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是(D)有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱ABCD(2)下列結(jié)論：以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；用任意一個(gè)平面

7、截一個(gè)幾何體，所得截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是球其中正確結(jié)論的序號(hào)是_.解析(1)認(rèn)識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，例：在如圖所示的平行六面體中，ADD1A1及BCC1B1都是矩形，且平面ABB1A1及DCC1D1都與底面ABCD垂直，故錯(cuò)誤；將菱形沿一條對(duì)角線折起所得三棱錐各面都是等腰三角形，但該棱錐不一定是正棱錐，故錯(cuò)誤；側(cè)面都是矩形但底面為梯形的直四棱柱不是長(zhǎng)方體，故錯(cuò)誤故選D(2)中這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，錯(cuò)；中這條腰若不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺(tái)，錯(cuò)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，錯(cuò)誤；中如果用不平行于圓錐底面的平面截

8、圓錐，則得到的不是圓錐和圓臺(tái)，錯(cuò)；只有球滿足任意截面都是圓面，正確名師點(diǎn)撥空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定(2)反例法：通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖多維探究角度1由幾何體的直觀圖識(shí)別三視圖例2 (2018課標(biāo))中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(A)解析由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直

9、觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A角度2由空間幾何體的三視圖還原直觀圖例3 (2018北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(C)A1B2C3D4解析由該四棱錐的三視圖，得其直觀圖如圖，由正視圖和側(cè)視圖都是等腰直角三角形，知PD平面ABCD，所以側(cè)面PAD和PDC都是直角三角形，由俯視圖為直角梯形，易知DC平面PAD又ABDC，所以AB平面PAD，所以ABPA，所以側(cè)面PAB也是直角三角形.易知PC2，BC，PB3，從而PBC不是直角三角形，故選C角度3由三視圖的兩個(gè)視圖推測(cè)另一視圖例4 (2021衡水金卷改編)某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，則它的俯視圖不可能是(C

10、)解析若幾何體為兩個(gè)圓錐體的組合體，則俯視圖為A；若幾何體為四棱錐與圓錐的組合體，則俯視圖為B；若幾何體為兩個(gè)三棱錐的組合體，則俯視圖為D；故選C名師點(diǎn)撥1由幾何體的直觀圖求三視圖注意主視圖、左視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線表示，看不到的部分用虛線表示2由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀，要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象或長(zhǎng)方體將三視圖還原為實(shí)物圖常見三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體：三視圖為三個(gè)三角形，對(duì)應(yīng)三棱錐；三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)四棱錐；三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)圓錐；三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)三棱柱；三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)

11、圓，對(duì)應(yīng)圓柱3由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，再找其剩下部分三視圖的可能形式，當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)檢驗(yàn)，看看給出的部分三視圖是否符合變式訓(xùn)練1(1)(理)(角度1)(2020陜西省咸陽(yáng)市三模)“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積過(guò)程中構(gòu)造在一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)，其直觀圖如圖所示，圖中四邊形是體現(xiàn)其直觀性所做的輔助線，當(dāng)其正視圖與側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別是(A)Aa，bBa，cCa，dDb，d(文)

12、(角度1)(2019河北衡水中學(xué)月考)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐后得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(D)(2)(理)(角度2)(2021溫州模擬)若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是(A)(文)(2021貴州模擬)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(D)(3)(角度3)(2021四川成都三診)如圖是某幾何體的正視圖和側(cè)視圖，則該幾何體的俯視圖不可能是(A)解析(1)(理)因?yàn)橄鄬?duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)所以其正視圖和側(cè)視圖是一個(gè)圓；若俯視圖是從上向下看，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，則俯視圖是有2條對(duì)

13、角線且為實(shí)線的正方形故選A(文)易知側(cè)視圖的投影面為矩形，又AF的投影線為虛線，即為左下角到右上角的對(duì)角線，所以該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)D中圖(2)(理)利用排除法求解B的側(cè)視圖不對(duì)C圖的俯視圖不對(duì)，D的正視圖不對(duì)，排除B，C，D，A正確，故選A(文)選項(xiàng)A的正視圖、俯視圖不符合要求，選項(xiàng)B的正視圖不符合要求，選項(xiàng)C的俯視圖不符合要求，故選D(3)若俯視圖為A，則正視圖不符，故選A考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖師生共研例5 (2021寧夏石嘴山三中模擬)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為(D)Aa2Ba2Ca2Da2解析如圖、所示的實(shí)際圖形和直觀圖由可知，ABABa，O

14、COCa，在圖中作CDAB于D，則CDOCa.SABCABCDaaa2.引申若已知ABC的平面直觀圖A1B1C1是邊長(zhǎng)為a的正三角形，則原ABC的面積為_a2_.解析在A1D1C1中，由正弦定理，得xa，SABCaaa2.名師點(diǎn)撥1在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段的位置，注意“三變”與“三不變”；平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系是S直觀圖S原圖形2在原圖形中與x軸或y軸平行的線段，在直觀圖中與x軸或y軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出變式訓(xùn)練2一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)

15、畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于(B)Aa2B2a2Ca2Da2解析由題意可知原平行四邊形一邊長(zhǎng)為a，此邊上的高為2a，故其面積為2a2.故選B名師講壇素養(yǎng)提升(理)三視圖識(shí)圖不準(zhǔn)致誤例6 (2020福建福州模擬)如圖為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以是(B)錯(cuò)因分析(1)不能正確把握投影方向致誤；(2)不能正確判定上表面橢圓投影形狀致誤；(3)不能正確判定投影線的虛實(shí)致誤解析圓柱被不平行于底面的平面所截得的截面為橢圓，結(jié)合正視圖，可知側(cè)視圖最高點(diǎn)在中間，故選B名師點(diǎn)撥對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體的組合體，在畫其三視圖時(shí)首先應(yīng)分清它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，再畫

16、其三視圖另外要注意交線的位置，可見的輪廓線都畫成實(shí)線，存在但不可見的輪廓線一定要畫出，但要畫成虛線，即一定要分清可見輪廓線與不可見輪廓線，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤變式訓(xùn)練3(2019河南省濮陽(yáng)市模擬)設(shè)四面體ABCD各棱長(zhǎng)均相等，S為AD的中點(diǎn)，Q為BC上異于中點(diǎn)和端點(diǎn)的任一點(diǎn)，則SQD在四面體的面BCD上的射影可能是(C)解析設(shè)BC的中點(diǎn)為P，則由題意可知DPBC且平面ADP平面BDC，從而S在平面BCD上的射影在DP上，SQD在面BCD上的射影為C，故選C(文)三視圖識(shí)圖不準(zhǔn)致誤例6 (2021四川閬中中學(xué)測(cè)試)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為(B)錯(cuò)因分析(1)不能正確把握投影方向、角度致誤；(2)不能正確確定點(diǎn)、線的位置致誤；(3)不能正確判斷實(shí)線與虛線而致誤解析其左視圖即為幾何體在平面BCC1B1上的投影，注意到加工后的幾何