2015年高考真題——理科數(shù)學(xué)(廣東卷)-Word版含解析

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)理科)一.選擇題：本大題共8個(gè)小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1,若集合 m =x|(x+4)(x+1) = 0 , n =x|(x- 4)(x- 1)= 0,貝u m i n =a.b.1, 4c.0d. 1,4l解析】因?yàn)? ,x i1 x- 41 x-l-11 =1 t ； = 12 ;y 4li 工一11 0； = ： l 4； ?所以【考點(diǎn)定位】本題考查一元二次方程、集合的基本運(yùn)算，屬于容易題.2.若復(fù)數(shù)z i 3 2i(i是虛數(shù)單位)，則za. 3 2i【答案】d .b. 3 2i

2、c. 2 3id. 2 3i【解析】因?yàn)閦 i 3 2i2 3i ,所以z 2 3 ,故選d .【考點(diǎn)定位】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于容易題.3.下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是x1a. y x eb. y x x【答案】a.c.2x2xd. y 1 x2【解析】令f xx 一x e ,則 f 11 e, f 1f 1 ,所以y x ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),而bcd依次是奇函數(shù)、偶函數(shù)、偶函數(shù)，故選a.【考點(diǎn)定位】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于容易題.4.袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球。從袋中任取 2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概

3、率為a. 111b.2110c.21d.212_ 1 _ 1_【解析】從袋中任取 2個(gè)球共有c15 105種，其中恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球共有g(shù)0c5 50種,所以恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為 處=，故選b.105 21【考點(diǎn)定位】本題考查排列組合、古典概率的計(jì)算，屬于容易題.5.平行于直線2x y 1 0且與圓x2 y2a. 2x y j5 0 或 2x y j5 0c. 2x y 5 0或2x y 5 0【答案】d .5相切的直線的方程是b. 2x y v5 0 或 2x y j5 0d. 2x y 5 0 或 2x y 5 0【解析】設(shè)所求知線方程為2工十1+t二ci,依題有解得仁二小，所以

4、所求切線的直線方程為工里一1一5二0或上,一工-5=0,故選【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于容易題.4x 5y 86.若變量x ,y滿足約束條件則z 3x 2y的最小值為31a. 一5【答案】c .b. 6c.235d. 4【解析】不等式所表示的可行域如下圖所示,3z,4 r-x 經(jīng)過a 1,時(shí)，z取225由z 3x 2y得y -x三，依題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線l：y22 ，一4 23 一得最小值即zmin 3 1 2 4 23 ,故選c【考點(diǎn)定位】本題考查二元一次不等式的線性規(guī)劃問題，屬于容易題.27.已知雙曲線c :2 y_ b21的離心率e55,且其右焦點(diǎn)f2 5,0 ,則雙曲線c的

5、方程4a.b.162222x y /x y /c. 1 d. 191634【答案】b .【解析】因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為d.至多等于3c 5f2 5,0且離心率為e ,所以c a 422b2 c2 a2 9所以所求雙曲線方程為 169【考點(diǎn)定位】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單基本性質(zhì)，屬于容易題.8 .若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù) n的取值a.大于5b.等于5c.至多等于4【答案】c .【解析】正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)是兩兩距離相等的，即空間中注個(gè)不局的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整酸的取值至多等于人 下面用反證法：假退空間中有4個(gè)，故選c1.【考點(diǎn)定位】本題考查空間想象能力、推理能力，

6、屬于中高檔題.第ii卷（共110分）二.填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.（一）必做題（913題）9 .在（jx 1）4的展開式中，x的系數(shù)為【答案】6.【解析】由題可知tr 1一 4 rc； ,x1 rc；4 r1 r x 21解得r 2,所以展2開式中x的系數(shù)為c216,故應(yīng)填入6.【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理，屬于容易題.10 .在等差數(shù)列 a中，若a3 a4 a5 a6 a7 25,則a? a8=【答案】10.【解析】 因?yàn)?an 是等差數(shù)列，所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 ,a3a4a5a6 a75a525 即 %5,a2a82a510

7、,故應(yīng)填入 10.【考點(diǎn)定位】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于容易題. 、一 一一 .1.-1/ 九11 .設(shè) abc的內(nèi)角a, b, c的對(duì)邊分別為a , b, c,若a v3, sinb c -, 26則b 【答案】1.【解析】因?yàn)閮秐s二士且三口.，所以3 =匚或* = ,又匚=二，所以區(qū) 26666* tra bba = 7t-b-c = t又也=/，由正弦定理得，一=；-即解得故應(yīng)填入l 2sin sin b笈【考點(diǎn)定位】本題考查正弦定理解三角形，屬于容易題.12、某高三畢業(yè)班有 40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了 條畢業(yè)留言.（用數(shù)字作答）【答案】

8、1560.【解析】依題兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了 a20 40 39 1560條畢業(yè)留言，故應(yīng)填入1560.【考點(diǎn)定位】本題考查排列組合問題，屬于中檔題.13、已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布n, p ,若 30, d 20,則p -1【答案】1 . 3l 、，“if、，11【解析】依題可得 e x np 30且d x np 1 p 20,解得p -，故應(yīng)填入一 .33【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)，屬于容易題.（二）選做題（1415題，考生從中選做一題）一. _. 兀、 /_.一 一14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知直線l的極坐標(biāo)方程為2 si

9、n（ -） 22，點(diǎn)a的極坐4標(biāo)為a 2亞1,則點(diǎn)a到直線l的距離為，4【答案】5.2【解析】依題已知直線l ： 2 sin j2和點(diǎn)a 242 7 可化為l ： x y 1 0和41422 15j2a 2, 2 ,所以點(diǎn)a與直線l的距離為d -,故應(yīng)填入.12122【考點(diǎn)定位】本題考查極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)的互化、點(diǎn)與直線的距離，屬于容易題.15.（幾何證明選講選作題）如圖 1,已知ab是圓。的直徑，ab 4, ec是圓。的切線, 切點(diǎn)為c ,bc 1,過圓心。做bc的平行線，分別交 ec和ac于點(diǎn)d和點(diǎn)p ,則od e圖1【答案】8.【解析】如下圖所示，建接。e,因?yàn)?。d sc,又淳c_ac

10、,所以op_ac,反。為u2線度的中點(diǎn)，所以。= l 在hhoc。中.oc=-as = 2f由直第三條形的射手定理可得 , ocz =op odod =- = s* 8* i 1產(chǎn)、一 一用 i e = 3一一*e令加i = 1 -哂7,則g (?i)=1一1 .由知，*口得網(wǎng)0.由卻(加:y。得叫上0 ,函覷的機(jī)1在i-菱曲上單調(diào)建城，在上單調(diào)喋醇/. (澗)31bl /(。)即g(加)0在r上恒成立 ”苫叫士m1，.二左一1 二 11 - s?i f 二 11- 門工一附 | = tl - m f ；金二 1 - j?! ?m e.二院后t.【考點(diǎn)定位】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)、不等

11、式等知識(shí)，屬于中高檔題.20.(本小題滿分14分)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓c1:x2 + y2-6x + 5 = 0相交于不同的兩點(diǎn) a, b.(1)求圓c1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段ab的中點(diǎn)m的軌跡c的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k ,使得直線l: y = k(x - 4)與曲線c只有一個(gè)交點(diǎn)：若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由【答案】(1) 3,0 ; (2) x232y2(3)2,5 2,5【解析】（1）由x2 y2 6x4,圓ci的圓心坐標(biāo)為3,0 ；設(shè)m x, y，則點(diǎn)m為弦ab中點(diǎn)即c1maba1m kab 1 即一1x 3 x線段ab的中點(diǎn)m的軌跡的方程為（3）由（2）知點(diǎn)

12、m的軌跡是以c|，。為圓心3為半徑的部分圓弧2ef（如下圖所示,不包括兩端點(diǎn)）“e32,553,2.5過定點(diǎn)d 4,0 ,l3.32vk2:574與曲線c只有一個(gè)交點(diǎn).【考點(diǎn)定位】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、軌跡方程、4、03得ke3.32結(jié)合上圖可知當(dāng) k2r2x?、29 4zcu3 又4 ，屬于中高檔題.21 .（本小題滿分14分）數(shù)列an滿足a1 2a2nan 4n 22n 1（1）求a3的值;（2）求數(shù)列an前n項(xiàng)和tn ；令b1年1/1-an n 2 ,證明：數(shù)列 bn的刖n項(xiàng)和 n滿足 sn2 2ln n【答案】(1)1； (2) 24n 111; (3)見解析.2【解析】(1)體題孫=i % - 2電-3%it牝-：牝=4(2)體題當(dāng)1時(shí).1 1 *1,又/=i也適合此式,敖列匕是首項(xiàng)為1,公比為上的等比數(shù)列,1故 r.=-1-1(3)依題由bnaa?lan 1d1,1a1.11lan知。a1，d1a2,2n22-p-?4=1一二：面-e%=1一二工l 7j7 l /n .1記 fx i = tu x- - -1 l l.則，tx 1 = l = j 0 !.tx 廠 r/(nl在il-工上是噌函敬，又由。即/工aq，又啟三二三：日匚丁 j o 1.