直線傾斜角與斜率[稻谷書屋]

1、直線傾斜角與斜率通化市第一中學 史俊友一、教材分析：本課是人教版數(shù)學必修2第三章第一節(jié)直線的傾斜角與斜率的第一課時，是高中解析幾何內(nèi)容的開始。直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，是平面直角坐標系內(nèi)以坐標法（解析法）的方式來研究直線及其幾何性質(zhì)（如直線位置關(guān)系、交點坐標、點到直線距離等）的基礎(chǔ)。通過該內(nèi)容的學習，幫助學生初步了解直角坐標平面內(nèi)幾何要素代數(shù)化的過程，初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法。本課有著開啟全章，奠定基調(diào)，滲透方法的作用。二、學情分析：兩點確定一條直線，這是學生知道的，但就已知一點再需要增加什么量才能確定直線，以及如何來刻畫

2、這個量，對學生來說有點困難，所以在教學過程中可以引導學生先觀察過一點的不同直線的區(qū)別，從中形成傾斜角的概念。三、三維目標知識與技能：理解直線的傾斜角和斜率概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線的斜率公式。過程與方法：1.在平面直角坐標系中，觀察具體圖形并結(jié)合動畫演示，在探索描述直線的傾斜程度的幾何要素中，抽象出直線傾斜角的概念，明確傾斜角的取值范圍。2.借助日常生活中表示傾斜面的“坡度”問題，引出描述直線傾斜程度的直線斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，明確傾斜角和斜率之間的關(guān)系。情感態(tài)度價值觀：通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生了解解析幾何的“坐標法”思

3、想和基本研究方法，進一步體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。四、重難點教學重點：抽象概括直線的傾斜角和斜率概念，探究發(fā)現(xiàn)過兩點的直線的斜率公式。教學難點：傾斜角概念形成，斜率概念的理解。五教學過程（一）導入在初中，不與坐標軸平行的直線可以用一次函數(shù)來表示，開口向上或向下的拋物線可以用二次函數(shù)來表示，這樣就把對圖形的研究轉(zhuǎn)化為對函數(shù)的研究，這里溝通數(shù)形關(guān)系的橋梁是坐標系。這種以坐標系為橋梁，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì)的方法，叫坐標法。用坐標法研究幾何的學科稱為解析幾何，它是17世紀法國數(shù)學家笛卡兒和費馬創(chuàng)立的。我們先研究坐標平面內(nèi)最簡單的圖形直線。為此，我們先探索確定直線位置

4、的幾何要素，然后在坐標系中用代數(shù)的方法把幾何要素表示出來。（二）探究新知1傾斜角概念問題1：如圖1，對于平面直角坐標系內(nèi)的一直線l，你認為它的位置由哪些條件確定？ 問題2：如圖2，在直角坐標系中，過點P1的不同直線的區(qū)別在哪里？問題3：在直角坐標系中，任何一條直線與x軸都有一個相對傾斜度，可以用一個什么幾何量來反映一條直線與x軸的相對傾斜程度呢？問題4：依傾斜角的定義，傾斜角的范圍是什么？問題5：任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？你認為確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是什么？2斜率概念引導性語言：我們已經(jīng)給出了確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素，那么如

5、何用代數(shù)的語言描述上述幾何要素呢？問題6：在日常生活中，我們有沒有碰到過表示傾斜程度的量？問題7：（1）觀察圖5，6，我們發(fā)現(xiàn)坡越陡，坡面與地平面所成的角越大，你認為這個角的變化與圖中哪個數(shù)量變化有關(guān)？（2）觀察圖7，坡面與地平面所成的角不變的情況下，升高量和前進量都在變化，那么你認為這個角的變化與升高量和前進量之間究竟是怎樣的關(guān)系？能不能用一個數(shù)學式子來表示它們之間的關(guān)系？問題8：從上面的討論，我們發(fā)現(xiàn)，如果使用“傾斜角”的概念，“坡度”實際就是“傾斜角的正切值”，由此你認為還可以用怎樣的量來刻畫直線的傾斜程度？問題9：是否每條直線都有斜率？傾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎樣結(jié)論？3

6、斜率公式問題10：兩點確定一條直線，直線確定，傾斜角也就確定，斜率也就確定了，那么直線的斜率可以用直線上兩點P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1x2）的坐標來表示，你能自己導出它們的關(guān)系嗎？問題11：當直線與坐標軸平行或重合時,上述結(jié)論還成立嗎?（三）應(yīng)用舉例例1.如下圖，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。變式1.直線的斜率為k，傾斜角為，若，則k的范圍是（ ）A.（-1，1）B.（-，-1）（1，+）C.-1，1D. （-，-11，+）變式2.設(shè)直線的斜率為k，傾斜角為，若-1k1，則的取值范圍是 （ ）A（-,） B. C.（0，）（，）D. 例2.在平面直角坐標系中，畫出經(jīng)過原點且斜率分別為1，-1，和2的直線。 （四）課堂小結(jié)（1）在本節(jié)課中，你學到了哪些新的概念？他們之間有什么關(guān)系？（2）怎樣求出已知兩點的直線的斜率？（3）從傾斜角（形）能刻畫直線的傾斜程度，到斜率（數(shù)）也能刻畫直線的傾斜程度，這個過程中主要體現(xiàn)了什么數(shù)學思想？六、目標檢測設(shè)計1已知直線的傾斜角為，若