小學數(shù)學應(yīng)用題類型及解題方法00910

1、小學數(shù)學應(yīng)用題類型及解題方法小學數(shù)學應(yīng)用題類型及解題方法一和差問題：已知兩個數(shù)的和與差，求這兩個數(shù)的應(yīng)用題，叫做和差問題。一般關(guān)系式有：（和差）2較小數(shù) （和差）2較大數(shù)例：甲乙兩數(shù)的和是24，甲數(shù)比乙數(shù)少4，求甲乙兩數(shù)各是多少？（244）2 282 14 乙數(shù) （244）2 202 10 甲數(shù)答：甲數(shù)是10，乙數(shù)是14二差倍問題：已知兩個數(shù)的差及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)的應(yīng)用題，叫做差倍問題。 基本關(guān)系式是：兩數(shù)差倍數(shù)差較小數(shù)例：有兩堆煤，第二堆比第一堆多40噸，如果從第二堆中拿出5噸煤給第一堆，這時第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。原來兩堆煤各有多少噸？分析：原來第二堆煤比第一堆多40

2、噸，給了第一堆5噸后，第二堆煤比第一堆就只多4052噸，由基本關(guān)系式列式是：（4052）（31）5 （4010）25 3025 155 10（噸） 第一堆煤的重量10+4050（噸） 第二堆煤的重量 答：第一堆煤有10噸，第二堆煤有50噸。三還原問題：已知一個數(shù)經(jīng)過某些變化后的結(jié)果，要求原來的未知數(shù)的問題，一般叫做還原問題。還原問題是逆解應(yīng)用題。一般根據(jù)加、減法，乘、除法的互逆運算的關(guān)系。由題目所敘述的的順序，倒過來逆順序的思考，從最后一個已知條件出發(fā)，逆推而上，求得結(jié)果。例：倉庫里有一些大米，第一天售出的重量比總數(shù)的一半少12噸。第二天售出的重量，比剩下的一半少12噸，結(jié)果還剩下19噸，這個

3、倉庫原來有大米多少噸？分析：如果第二天剛好售出剩下的一半，就應(yīng)是1912噸。第一天售出以后，剩下的噸數(shù)是（1912）2噸。以下類推。列式：（1912）2122 312-12262-122502 100（噸）答：這個倉庫原來有大米100噸。四置換問題：題中有二個未知數(shù)，常常把其中一個未知數(shù)暫時當作另一個未知數(shù)，然后根據(jù)已知條件進行假設(shè)性的運算。其結(jié)果往往與條件不符合，再加以適當?shù)恼{(diào)整，從而求出結(jié)果。例：一個集郵愛好者買了10分和20分的郵票共100張，總值18元8角。這個集郵愛好者買這兩種郵票各多少張？分析：先假定買來的100張郵票全部是20分一張的，那么總值應(yīng)是201002000（分），比原來

4、的總值多20001880120（分）。而這個多的120分，是把10分一張的看作是20分一張的，每張多算201010（分），如此可以求出10分一張的有多少張。列式：（20001880）（2010）12010 12（張）10分一張的張數(shù)1001288（張）20分一張的張數(shù)或是先求出20分一張的張數(shù)，再求出10分一張的張數(shù)，方法同上，注意總值比原來的總值少。五盈虧問題（盈不足問題）：題目中往往有兩種分配方案，每種分配方案的結(jié)果會出現(xiàn)多（盈）或少（虧）的情況，通常把這類問題，叫做盈虧問題（也叫做盈不足問題）。解答這類問題時，應(yīng)該先將兩種分配方案進行比較，求出由于每份數(shù)的變化所引起的余數(shù)的變化，從中求出

5、參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意，求出被分配物品的數(shù)量。其計算方法是：當一次有余數(shù)，另一次不足時：每份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差當兩次都有余數(shù)時： 總份數(shù)（較大余數(shù)較小數(shù)）兩次每份數(shù)的差當兩次都不足時： 總份數(shù)（較大不足數(shù)較小不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差例1、解放軍某部的一個班，參加植樹造林活動。如果每人栽5棵樹苗，還剩下14棵樹苗；如果每人栽7棵，就差4棵樹苗。求這個班有多少人？一共有多少棵樹苗分析：由條件可知，這道題屬第一種情況。列式：（144）（75） 182 9（人）5914 4514 59（棵）或：794634 59（棵）答：這個班有9人，一共有樹苗59棵。六年齡問題：年齡問題的主要特點

6、是兩人的年齡差不變，而倍數(shù)差卻發(fā)生變化。常用的計算公式是：成倍時小的年齡大小年齡之差（倍數(shù)1）幾年前的年齡小的現(xiàn)年成倍數(shù)時小的年齡幾年后的年齡成倍時小的年齡小的現(xiàn)在年齡例父親今年54歲，兒子今年12歲。幾年后父親的年齡是兒子年齡的4倍？（5412）（41） 423 14（歲）兒子幾年后的年齡14122（年）2年后答：2年后父親的年齡是兒子的4倍。例2、父親今年的年齡是54歲，兒子今年有12歲。幾年前父親的年齡是兒子年齡的7倍？（5412）（71）4267（歲）兒子幾年前年齡1275（年）5年前答：5年前父親的年齡是兒子的7倍。例3、王剛父母今年的年齡和是148歲，父親年齡的3倍與母親年齡的差比

7、年齡和多4歲。王剛父母親今年的年齡各是多少歲？（14824）（31）300475（歲）父親的年齡1487573（歲）或：（1482）2 1502 75（歲） 75273（歲）答：王剛的父親今年75歲，母親今年73歲。七雞兔問題：已知雞兔的總只數(shù)和總足數(shù)，求雞兔各有多少只的一類應(yīng)用題，叫做雞兔問題，也叫“龜鶴問題”、“置換問題”。一般先假設(shè)都是雞（或兔），然后以兔（或雞）置換雞（或兔）。常用的基本公式有：（總足數(shù)雞足數(shù)總只數(shù)）每只雞兔足數(shù)的差兔數(shù) 兔子只數(shù)=(總腿數(shù)總頭數(shù)2) 2 雞的只數(shù)=(總頭數(shù)4總腿數(shù)) 2（兔足數(shù)總只數(shù)總足數(shù)）每只雞兔足數(shù)的差雞數(shù)例：雞兔同籠共有24只。有64條腿。求籠中

8、的雞和兔各有多少只？（64224）（42） （6448）（42）16 2 8（只）兔的只數(shù) 24816（只）雞的只數(shù) 答：籠中的兔有8只，雞有16只。八牛吃草問題（船漏水問題）：若干頭牛在一片有限范圍內(nèi)的草地上吃草。牛一邊吃草，草地上一邊長草。當增加（或減少）牛的數(shù)量時，這片草地上的草經(jīng)過多少時間就剛好吃完呢？例1、一片草地，可供15頭牛吃10天，而供25頭牛吃，可吃5天。如果青草每天生長速度一樣，那么這片草地若供10頭牛吃，可以吃幾天？分析：一般把1頭牛每天的吃草量看作每份數(shù)，那么15頭牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上這片草地10天長出草，以下類推其中可以發(fā)現(xiàn)25頭牛5天的吃草量比1

9、5頭牛10天的吃草量要少。原因是因為其一，用的時間少；其二，對應(yīng)的長出來的草也少。這個差就是這片草地5天長出來的草。每天長出來的草可供5頭牛吃一天。如此當供10牛吃時，拿出5頭牛專門吃每天長出來的草，余下的牛吃草地上原有的草。（1510255）（105）（150125）（105） 255 5（頭）可供5頭牛吃一天。150105 15050 100（頭）草地上原有草供100頭牛吃一天100（105） 1005 20（天）答：若供10頭牛吃，可以吃20天。例2、一口井勻速往上涌水，用4部抽水機100分鐘可以抽干；若用6部同樣的抽水機則50分鐘可以抽干?，F(xiàn)在用7部同樣的抽水機，多少分鐘可以抽干這口井

10、里的水？（1004506）（10050）（400300）（10050）10050 24001002 400200200200（72）2005 40（分）答：用7部同樣的抽水機，40分鐘可以抽干這口井里的水。九公約數(shù)、公倍數(shù)問題：運用最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)解答應(yīng)用題，叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題。例1：一塊長方體木料，長25米，寬175米，厚075米。如果把這塊木料鋸成同樣大小的正方體木塊，不準有剩余，而且每塊的體積盡可能的大，那么，正方體木塊的棱長是多少？共鋸了多少塊？分析：25250厘米 175175厘米07575厘米其中250、175、75的最大公約數(shù)是25，所以正方體的棱長是25CM（2502

11、5）（17525）（7525） 1073 210（塊）答：正方體的棱長是25厘米，共鋸了210塊。例2、兩嚙合齒輪，一個有24個齒，另一個有40個齒，求某一對齒從第一次接觸到第二次接觸，每個齒輪至少要轉(zhuǎn)多少周？分析：因為24和40的最小公倍數(shù)是120，也就是兩個齒輪都轉(zhuǎn)120個齒時，第一次接觸的一對齒，剛好第二次接觸。 120245（周） 120403（周）答：每個齒輪分別要轉(zhuǎn)5周、3周。十分數(shù)應(yīng)用題：指用分數(shù)計算來解答的應(yīng)用題，叫做分數(shù)應(yīng)用題，也叫分數(shù)問題。分數(shù)應(yīng)用題一般分為三類：1求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾。2求一個數(shù)的幾分之幾是多少。3已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。其中每一類別

12、又分為二種，其一：一般分數(shù)應(yīng)用題；其二：較復雜的分數(shù)應(yīng)用題。例1：育才小學有學生1000人，其中三好學生250人。三好學生占全校學生的幾分之幾？例2：一堆煤有180噸，運走了3/5 。運走了多少噸？例3：某農(nóng)機廠去年生產(chǎn)農(nóng)機1800臺，今年計劃比去年增加1/3 。今年計劃生產(chǎn)多少臺？1800（11/3 ）18004/32400（臺）答：今年計劃生產(chǎn)2400臺。例4：修一條長2400米的公路，第一天修完全長的1/3 ，第二天修完余下的1/4 。還剩下多少米？2400（11/3 ）（11/4 ）24002/3 3/41200（米）答：還剩下1200米。例5：一個學校有三好學生168人，占全校學生人

13、數(shù)的4/7 。全校有學生多少人？例6：甲庫存糧120噸，比乙?guī)斓拇婕Z少1/3 。乙?guī)齑婕Z多少噸？120（1-1/3） 1203/2 180（噸）答：乙?guī)齑婕Z180噸。例7：一堆煤，第一次運走全部的1/2 ，第二次運走全部的1/3 ，第二次比第一次少運8噸。這堆煤原有多少噸？8（ 1/21/3 ） 81/6 48（噸）答：這堆煤原有48噸。十一工程問題：它是分數(shù)應(yīng)用題的一個特例。是已知工作量、工作時間和工作效率，三個量中的兩個求第三個量的問題。解答工程問題時，一般要把全部工程看作“1”，然后根據(jù)下面的數(shù)量關(guān)系進行解答：工作效率工作時間工作量 工作量工作時間工作效率 工作量工作效率工作時間?例1：

14、一項工程，甲隊單獨做需要18天，乙隊單獨做需要24天。如果兩隊合作8天后，余下的工程由甲隊單獨做，還要幾天完成？例2：一個水池，裝有甲、乙兩個進水管，一個出水管。單開甲管2小時可以注滿；單開乙管3小時可以注滿；單開出水管6小時可以放完。現(xiàn)在三管在池空時齊開，多少小時可以把水池注滿？百分數(shù)應(yīng)用題：這類應(yīng)用題與分數(shù)應(yīng)用題的解答方式大致相同，僅求“率”時，表達方式不同，意義不同。十二、過橋問題，從車頭上橋，到車尾離開橋，求所用的時間。路程=橋長+列車長度。十三、流水問題，求船在流水中航行的時間。船速+水速=順流速度，船速-水速=逆流速度。十四、線上植樹問題，求植樹的株數(shù)。在封閉的線上植樹。路長=株距

15、株數(shù) 株距=路長株數(shù) 株數(shù)=路長株距。在不封閉的線上植樹，兩端都植樹。路長=株距（株數(shù)-1） 株距=路長（株數(shù)-1） 株數(shù)=路長株距+1。十五、面上植樹問題，求植樹的株數(shù)。當長方形土地的長、寬分別能被株距、行距整除時。行距株距=每株植物的占地面積，土地面積每株植物的占地面積=株數(shù)。當長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時?？梢园淳€上植樹問題解題。十六、盈虧問題，求分配的人數(shù)。剩余物品的個數(shù)差分配方法的個數(shù)差=分配的人數(shù)。 十七、時鐘問題，求時針和分針重合、成直線或直角的時間。兩針重合時間=兩針間隔格數(shù)11/12。兩針成直線時間=（兩針間隔格數(shù)30）11/12。兩針成直角時間=（兩針間隔格數(shù)1

16、5或45）11/12。十八、時間差問題，計算幾月幾日到幾月幾日的時間差。先計算首月和尾月，再計算中間幾個月。十九、預測星期幾問題，已知今天是星期幾，計算經(jīng)過多少天是星期幾。用經(jīng)過的天數(shù)除以7，求出剩余的天數(shù)，再計算是星期幾。1、求平均數(shù)應(yīng)用題解題方法：讀題，找出總數(shù)量；找出總份數(shù)；平均數(shù)=總數(shù)量總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)總份數(shù) 總份數(shù)=總數(shù)量平均數(shù)2、分數(shù)（百分數(shù)）應(yīng)用題解題方法（三步走）：讀題，找準題里單位“ 1”的量；確定單位“1”是已知，還是未知。單位“1”已知，用乘法：單位“1”的量分率=分率對應(yīng)量；單位“1”未知，用除法或方程：分率對應(yīng)量（已知數(shù)）對應(yīng)分率=單位“1”的量比單位“1”多就

17、用單位“1”的量+多的或（1），比單位“1”少就用單位“1”的量-少的或（1）。3、工程問題解題方法：讀題，根據(jù)所求問題找出需要完成的工作量和各自的工作效率；（注意要對應(yīng)：求誰的時間就去找他需要完成的工作量和他的工作效率）；工作時間=工作總量工作效率 工作總量=工作效率工作時間 工作效率=工作總量工作時間4、相遇問題解題方法：讀題，從問題入手；總路程=速度和相遇時間 相遇時間=總路程速度和 速度和=總路程相遇時間 。5、按比例分配應(yīng)用題解題方法：讀題，找出總數(shù)量（各部分的總和）；根據(jù)各部分的比找出總份數(shù)；用總數(shù)量乘以各部分占總數(shù)的分率。6、幾何形體應(yīng)用題解題方法：讀題，看清是什么形體；分析，是

18、計算它的什么；該怎樣計算（相關(guān)計算公式）；注意單位。7、列方程解應(yīng)用題解題方法：根據(jù)題意，找出未知數(shù)并用表示；分析題里數(shù)量之間的相等關(guān)系（找出等量關(guān)系）列方程；解方程；檢驗，寫出答案。8、用比例知識解應(yīng)用題解題方法：讀題，找準題里一定的量；判斷題里的比例關(guān)系（是成正還是反比例）；列比例（成正比例，比值相等；成反比例，乘積相等）。解比例。9、一般應(yīng)用題（通用）解題方法：弄清題意，找出已知條件和所求問題；分析題里數(shù)量之間的關(guān)系，確定先算什么、再算什么、最后算什么；確定每一步該怎樣算；列出算式，算出得數(shù)。分數(shù)應(yīng)用題,先要弄清兩個概念：帶單位的分數(shù)和不帶單位的分數(shù)。帶單位的分數(shù)，如3/4噸，叫數(shù)量，與

19、我們以前學過的“3噸”、“0.3噸”表示的意義一樣，都是表示一個物體的具體的數(shù)量。只不過在這里用分數(shù)的形式表示出來而已。 不帶單位的分數(shù)，如3/4，叫分率，它表示一個數(shù)的幾分之幾。 由于這兩種分數(shù)表示意義不同，出現(xiàn)在應(yīng)用題中，它們的分析思路、解題過程也不同。請仔細看下面的對比例子：例1（1）一根鐵絲長5米，用去了2/5米，還剩下多少米？（2）一根鐵絲長5米，用去了2/5，還剩下多少米？解析：（1）剩下的=總長-用去的= 5 2/5=4又3/5米（2）用去的： 5 2/5=2米；剩下 5-2=3米 例2（1）一根鐵絲，用去了2/5米，還剩下3米，這根鐵絲多長？（2）一根鐵絲，用去了2/5，還剩下

20、3米，這根鐵絲多長？ 解析：（1）總長=用去的+剩下的=2/5 +3 =3又2/5米 （2） 3（1 2/5）=3 3/5= 5米 由此可見，大家在做分數(shù)應(yīng)用題時，一定要看清楚題中的分數(shù)是哪類分數(shù)。 一、 題中沒有不帶單位的分數(shù)。 解題思路：這類分數(shù)應(yīng)用題與三、四、五年級學習的應(yīng)用題，在解題思路和解題方法上是一樣的，只不過題中的數(shù)量不是整數(shù)、也不是小數(shù)，而是分數(shù)。當在做這類分數(shù)應(yīng)用題出現(xiàn)障礙時，可把題中的分數(shù)換成整數(shù)來看 例一輛汽車1/3小時行駛20千米，照這樣的速度，3/4小時能行駛多少千米？ 解析：這是一道簡單的行程問題，從“一輛汽車1/3小時行駛20千米”這句話，我們可以求出速度，速度=

21、路程時間=20 1/3 =60（千米/小時）；題目求的是“3/4小時能行駛多少千米”，求路程=速度時間=60 3/4 =45千米二、題中有不帶單位的分數(shù)（即題中有分率） 解題思路：四步法第一步：確定單位“1”找單位“1”的方法：找到題中不帶單位的分數(shù)的那句話，“誰”的幾分之幾，那個“誰”就是單位“1”；如果這句話中含有“比”字，“比”后面的那個量就是單位“1”。例如：全長的1/3，“全長”就是單位“1”；第一天比第二天多生產(chǎn)2/7，含有“比”字，“比”后面的量是第二天，那么，“第二天”就是單位 “1”第二步：確定乘除法 (1) 題中直接或間接告訴單位“1”的或可直接算出單位“1”的，用乘法（2

22、）題中單位“1”是未知的，用除法 第三步：列式（1）如果是乘法：單位“1” 分率 分率指的是誰，求出來的就是誰 (2) 如果是除法：帶單位的數(shù)量不帶單位的分率=單位“1”。帶單位的數(shù)量一定要與不帶單位的分率相對應(yīng)，才能除，所謂相對應(yīng)的意思，就是說，帶單位的數(shù)量和不帶單位的分率所指的是同一事物，在線段圖上，是指同一段。注意：這一步是最難最容易出錯的地方，很容易犯這樣的錯誤：拿到數(shù)字亂除或看到這么多數(shù)字，不知道哪個除以哪個，除完以后也不知道求出來的是誰，一定要從思維上把握準。分數(shù)應(yīng)用題最難、變化最多的地方也就是在這。 第四步：檢查 檢查上一步列式算出來的結(jié)果是不是題目最后要求的，還有沒有步驟。 下

23、面是乘除法的對比例子，例1（1）某車間加工一批零件，共240個，已經(jīng)加工了5/8，還多少個零件沒有加工？ (2)某車間加工一批零件，已經(jīng)加工了5/8，正好是240個，這批零件共多少個？ 解析： （1）第一步：確定單位“1”：5/8是指總共的5/8，所以總共的零件個數(shù)是單位“1” 第二步：確定乘除法：題目告訴了零件的總個數(shù)是240個，知道單位“1”的，用乘法 第三步：列式：單位“1”分率 240 5/8 =150（個）， 第四步：檢查：由于分率5/8是已經(jīng)加工的，所以150個是指已經(jīng)加工了的零件個數(shù)，而題目求的是還有多少個零件沒加工，還應(yīng)有一步驟，沒加工的=總共的 -已加工的=240-150=9

24、0個 240 5/8=150 240-150=90（2）第一步：確定單位“1”：分率5/8是指總數(shù)的5/8，所以，總共的零件個數(shù)是單位“1” 第二步：確定乘除法：題目求的就是總零件個數(shù)，單位“1”是未知的，用除法 第三步：列式：帶單位的數(shù)量分率。題中帶單位的數(shù)量只有一個：240個，它是已經(jīng)加工了的個數(shù)，而分率5/8也是指已加工的，兩者同指一個事物，可以相除。240 5/8 =384 第四步：檢查：由于帶單位的數(shù)量分率=單位“1”，384就是總零件的個數(shù)，這正是題目最后要求的，所以做完了。 240 5/8 =384 例2（1）某校去年有88個班，今年的班級數(shù)比去年增加3/8，今年多少個班級？ (

25、2) 某校去年有88個班，比今年的班級數(shù)增加了3/8，今年多少個班級？ 解析： (1) 在有分率3/8這句話中有“比”字，“比”后面的量是去年的班級數(shù)，它就是單位“1”，而題目告訴了去年的班級數(shù)，知道單位“1”用乘法，單位 “1”分率。去年是單位“1”今年比去年多3/8，所以今年的分率是1+ 3/8 =11/8，所以求出來的就是今年的班級數(shù)。 88（1+ 3/8）=88 11/8 =121（個） (2) 單位“1”是今年的班級數(shù)，用除法，88分率，由于88是指去年的班級數(shù)，除以的分率也應(yīng)是表示去年班級數(shù)的分率。3/8是指去年比今年多的分率，今年的班級數(shù)是單位“1”，那么去年的班級數(shù)應(yīng)是1+ 3

26、/8；這時可以除了 88（1+ 3/8）=單位“1”，即今年的班級數(shù) 88（1+ 3/8）=88 11/8 =88 8/11 =64（個） 例3一部長篇小說分上、下兩冊，上冊頁數(shù)的4/5等于下冊頁數(shù)的2/3，上冊有295頁，下冊有多少頁？ 解析：題中有兩個不帶單位的分率：4/5 和 2/3 ，分別找出它們的單位“1”，上冊頁數(shù)的4/5，說明上冊頁數(shù)是單位“1”，是295頁，用乘法，295 4/5=236（頁），求出來的是上冊4/5的頁數(shù)； 下冊頁數(shù)的2/3，說明它的單位“1”是下冊的頁數(shù)，而下冊的頁數(shù)是題目求的，是未知的，所以用除法。由于下冊的2/3就是236，所以只能用236去除，而不是29

27、5去除。 295 4/5 =236（頁） 236 2/3 =354（頁） 用“四步法”這種解題思維，可以解決簡單的分數(shù)應(yīng)用題，但對于復雜的分數(shù)應(yīng)用題，我們還需要借助一定的方法。下面就介紹在復雜分數(shù)應(yīng)用題中一些常見的解題方法 （一）畫圖法：通過畫線段圖來找出哪個帶單位的數(shù)量與哪 個不帶單位的分率是對應(yīng)的。例：一桶油，第一次用去1/5，第二次比第一次多用去20千克，還剩下16千克，這桶油有多少千克？ 解析：按“四步法”，我們可以找出單位“1”是這桶油，是未知的，用除法。題目中有兩個帶單位的量：20千克和16千克，如果列式應(yīng)該至少有四種可能：20，16，（20+16），（20-16），倒底是哪種或是

28、還有別的，最關(guān)鍵的要找到對應(yīng)的分率。1/5只是第一次的，第二次的分率呢？剩下的分率呢？由題可知，第二次比第一次多用去20千克，那么第二次肯定也用了1/5，還比1/5多20千克，所以，第二次用去了總數(shù)的1/5還多20千克。由于我們從圖上根本找不出20千克這段的分率，所以也找不出剩下16千克所對應(yīng)的分率，不能用20或16去除哪個分率。從圖中我們很容易能找出（20+16）千克這段的分率是3/5，相對應(yīng)，可以除了。相除的結(jié)果就是單位“1”，即這桶油重量（很報歉，博文中顯示不了WORD文檔編輯出來的圖，所以圖自己畫一畫，對照這里的解析） （20+16）（1- 1/5 1/5）=36 3/5 =60 （千

29、克） 小結(jié)：由這題我們可以知道，對于一些圖復雜的分數(shù)應(yīng)用題，特別是讓你無從下手時，正確的思路會引導你從哪開始思考，接著往下怎么走，直到最后。這也是我們一直強調(diào)學習數(shù)學要重視思維的原因。在比較復雜的分數(shù)應(yīng)用題中，除了畫圖法外，還有以下幾種解題方法 （一）對應(yīng)法 對應(yīng)法的核心思維是：不僅數(shù)字可以列豎式進行加減，算式也可以列豎式加減 例：學校安排一批學生到圖書館借書，如果男生增加1/5，人數(shù)將達到52人，如果女生減少1/5，人數(shù)是42人。這批學生原有多少人？ 解析：根據(jù)題意，我們可以找出下面兩個數(shù)量關(guān)系式： 男生人數(shù)+1/5的男生人數(shù)+女生人數(shù) = 52 男生人數(shù)+女生人數(shù)-1/5的女生人數(shù) = 4

30、2 這兩個式子對應(yīng)相減（豎式相減），得： 1/5的男生人數(shù)+1/5的女生人數(shù) = 10（二）轉(zhuǎn)化法 當題中出現(xiàn)多個單位“1”時，我們可以把不同的單位“1”轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1” 例：小明、小英、小麗和小華四人愛好集郵，小明的郵票數(shù)是小英的1/2，小英的郵票數(shù)是小麗的1/3，小麗的郵票數(shù)是小華的1/4，已知四人共集郵132 張，小明集郵多少張？ 解析：按照“四步法”，題中有三個不帶單位的分率，它們的單位“1”分別是小英、小麗和小華；肯定用除法；題中只有一個帶單位的數(shù)量：132張，列式一定是用132去除；132是指四人集郵總數(shù)，應(yīng)除以四人的分率總和，題目最關(guān)鍵就是要把四人的分率表示出來，由于存在不

31、同的單位“1”，首先必須把不同的單位“1”統(tǒng)一成一個單位“1”。有正確的思路，才知道該做什么。把題中三個單位“1”，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成以小華的集郵數(shù)做單位“1”。小華是單位“1”，根據(jù)“小麗的郵票數(shù)是小華的1/4”，小麗就是1/4；根據(jù)“小英的郵票數(shù)是小麗的1/3”，小英就是：1/3 1/4= 1/12；根據(jù)“小明的郵票數(shù)是小英的1/2”，小明就是：1/2 1/12=1/24，現(xiàn)在四人的分率都表示出來了，可以除了。 132（1+ 1/4 + 1/12 + 1/24） =132 11/8 =96（張） 算出來的是單位“1”：小華的郵票張數(shù)，小明的張數(shù)是：96 1/24=4（張）思考：為什么要挑小華的郵票

32、張數(shù)做統(tǒng)一的單位“1”，可不可以把三個單位“1”都統(tǒng)一成小英的郵票總數(shù)或小麗的郵票總數(shù)？去試試?。ㄈ┘僭O(shè)法 例：某修路隊三天修完一條路，第一天修了全長的1/3多150米，第二天修了全長的2/5少100米，第三天修了1950米，這條路全長多少？解析：按“四步法”，單位“1” 是全長，用除法，題中帶單位的數(shù)量有三個：150米、100米和1950米，到底用哪個去除，關(guān)鍵是要找到它們對應(yīng)的分率。除了畫圖法，我們還可以通過假設(shè)法來找相對應(yīng)的分率。假設(shè)第一天只修了全長的1/3，沒有多修 150米；假設(shè)第二天修了全長的2/5，沒有少修100米，那么，三天要修完全長，第三天必須要修（1950+150-100

33、）=2000米。很容易求出第三天的分率：1- 1/3 2/5 = 4/15 2000 4/15 =7500米，就是單位“1”全長（四）把分數(shù)看成比的方法 分數(shù)可以轉(zhuǎn)化成比，把比當份數(shù)，也是一種好的解題方法 例 學校田徑隊有35人，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的3/4，女生人數(shù)是多少？ 解析： “女生人數(shù)是男生人數(shù)的3/4”轉(zhuǎn)化成比，就是：女生人數(shù)和男生人數(shù)之比是3：4，女生人數(shù)是3份，男生人數(shù)是4份，總共7份，總共35人，每份就是 357=5人，那么，女生人數(shù)就是53=15人（五）抓住不變量的方法 一些較復雜的分數(shù)應(yīng)用題中，會出現(xiàn)許多數(shù)量前后發(fā)生變化的。這時的解題思維是：在這些變化中抓住不變的量，將

34、不變的量作為標準，有目的地轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系。來找到解題的線索。不變的量可能是某一部分量不變，也可以是和、差不變，視題目具體情況而定 例1 某車間的女工人數(shù)是男工人數(shù)的1/2，若調(diào)走21個男工，那么男工人數(shù)是女工人數(shù)的1/2，這個車間的女工人數(shù)是多少？ 解析：按“四步法”，題中單位“1”有兩個：男工人數(shù)和女工人數(shù)，但男工人數(shù)前后發(fā)生了變化，“抓住不變量”，由題意可知，女工人數(shù)不變，把它作為單位“1”，把“女工人數(shù)是男工人數(shù)的1/2”轉(zhuǎn)化成“男工人數(shù)是女工人數(shù)的2 倍”，這時兩個單位“1”統(tǒng)一了，可以除了。21是指調(diào)走的男生，必須找出調(diào)走男工人數(shù)的分率。原來男工人數(shù)的分率是2，現(xiàn)在是1/2，說明調(diào)走了

35、（2- 1/2 ）=3/2， 21 3/2=14（人），就是單位“1”女工的人數(shù) 例2甲乙兩個糧倉，原來甲存糧噸數(shù)是乙的5/7，如果從乙倉調(diào)6噸到甲倉，甲倉糧的噸數(shù)是乙倉的4/5，原來甲乙兩倉各有糧多少噸？ 解析 ：按“四步法”，乙倉是單位“1”，肯定用除法。但乙倉存糧前后發(fā)生了變化，“抓住不變量”，兩個倉的存糧總和不變，把它當作單位“1”，題中的條件都轉(zhuǎn)化成以總存糧為單位“1”。 “原來甲存糧噸數(shù)是乙的5/7”，說明原來乙是7份，甲是5份，總共是12份，甲占5/12，乙占7/12；“甲倉糧的噸數(shù)是乙倉的4/5”說明調(diào)走了后，甲是4份，乙是5份，總共9份，甲占4/9，乙占5/9。題中帶單位的數(shù)

36、量是6噸，是指乙調(diào)走的噸數(shù)，乙調(diào)走的分率是（7/12 5/9）= 1/36 相對應(yīng)，可以除了。6 1/36 =216噸， 就是單位“1”總的存糧，那么，原來甲倉：216 5/12 = 90噸，乙倉存糧：216 7/12 =126噸 例3有兩根蠟燭，一根長8厘米，另一根長6厘米。把兩根都燃燒掉同樣長的部分后，短的一根剩下的長度是長的一根剩下長度的3/5，每段燃燒掉了多少厘米？ 解析：依“四步法”，單位“1”是長的一根剩下的長度，用除法。由題意可知。這兩根蠟燭長度的差沒有發(fā)生變化。燃燒前與燃燒后兩根蠟燭都是相差8-6=2厘米。現(xiàn)在最關(guān)鍵的是要找出2厘米所對應(yīng)的分率，也就是兩根蠟燭燃燒后相差的分率。

37、“短的一根剩下的長度是長的一根剩下長度的3/5”，長的一根剩下的長度為單位“1”，那么短的一根剩下的長度就是3/5，相差1- 3/5= 2/5，現(xiàn)在可以除了2 2/5=5厘米，就是單位“1”長的一根剩下的長度，說明燃燒掉了8-5=3厘米 （六）還原法 在三、四、五年級奧數(shù)中，都有專門的章節(jié)介紹還原法，它最核心的思維是倒推思維 例：3只猴子吃籃子的桃子，第一只猴子吃了1/3，第二只猴子吃了剩下的1/3，第三只猴子吃了第二只猴子剩下的1/4，最后籃子里剩下6只桃子。問原來有多少只桃子？ 解析：從最后剩下的6只桃子，進行倒推 6只桃子占第二只猴子吃剩下后桃子數(shù)的1- 1/4=3/4，6 3/4 =8

38、只，就是第二只猴子吃剩下的桃子數(shù)；8只桃子占第一只猴子吃剩下桃子數(shù)的1- 1/3= 2/3，8 2/3=12只，就是第一只猴子吃剩下的桃子數(shù)；12只桃子占籃子桃子數(shù)的1- 1/3=2/3，12 2/3 =18，就是原有桃子數(shù)了（七）方程法 在解任何應(yīng)用題時，方程都是一種不能忽視的備用方法 例 某校有學生465人，其中女生的2/3比男生4/5少20人，男生有多少人？解析；設(shè)男生為x人，女生就有（465-x）人 從“女生的2/3比男生4/5少20人”找題中的數(shù)量關(guān)系式：女生 2/3+20=男生 4/5列方程 2/3 （465-x）+20= 4/5 x 解得x=225較復雜的分數(shù)應(yīng)用題，題型廣博，變

39、化多端。在教學中，我們應(yīng)適當?shù)亟探o學生一些解題方法，以拓寬思路，提高解題能力。一、從確定對應(yīng)入手找出解題方法分數(shù)應(yīng)用題中有一個“量率對應(yīng)”的明顯特點，對一個單位“1”來說，每個分率都對應(yīng)著一個具體的數(shù)量，而每一個具體的數(shù)量，也同樣對應(yīng)著一個分率，因此，正確地確定“量率對應(yīng)”是解題的關(guān)鍵。我們要引導學生學會和掌握“明確對應(yīng)，找準對應(yīng)分率”的解題方法。例：小冬看一本故事書，第一天看了總頁數(shù)的1/6，第二天看了總頁數(shù)的1/3，還剩78頁沒有看，這本故事書共有多少頁？把這本故事書的總頁數(shù)看作單位“1”，要求這本故事書共有多少頁，就要求出剩下的78頁的對應(yīng)分率。根據(jù)已知條件，第一、二天看了總頁數(shù)的（1/

40、61/3），還剩下78頁的對應(yīng)分率是（11/61/3），求這本故事書共有多少頁，就是已知單位“1”的（11/61/3）是78頁，求單位“1”。于是列式為：78（11/61/3）156（頁）二、通過統(tǒng)一標準量找出解題方法在一道分數(shù)應(yīng)用題中，如果出現(xiàn)了幾個分率，而且這些分率的標準量不同，量的性質(zhì)相異，在解題時，必須以題中的某一個量為標準量，將其余量的對應(yīng)分率統(tǒng)一到這個標準量上來，才可列式解答。例：果園里有蘋果樹和梨樹共420棵，蘋果樹棵數(shù)的1/3等于梨樹的4/9，問這兩種果樹各有多少棵？題中的1/3是以蘋果樹為標準量，4/9是以梨樹為標準量，解題時必須統(tǒng)一成一個標準量。若以蘋果樹為單位“1”，則有

41、11/3梨樹4/9，那么梨樹就相當于單位“1”的1/34/9，兩種果樹的總棵數(shù)就相當于單位“1”的（11/34/9），于是列式為：420（11/34/9）240（棵）蘋果樹240（1/34/9）180（棵）梨樹也可以把梨樹看作單位“1”，或把兩種果樹的總棵數(shù)，或者相差棵數(shù)看作單位“1”。三、通過假設(shè)推算找出解題方法有些分數(shù)應(yīng)用題，如果按題中所給條件直接去思考，就難以找到解題方法，如果在解題時先假設(shè)一個主觀上所需要的條件，然后按照題目里的數(shù)量關(guān)系推算，所得的結(jié)果則發(fā)生與題目條件不同的矛盾，再進行適當?shù)恼{(diào)整，即可找到正確的答案。例：紅花村修一條水渠，第一周修了全長的2/5多10米，第二周修了全長的

42、1/4少5米，還剩下282米沒有修。這條水渠長多少米？假設(shè)第一周修的恰好是全長的2/5，這樣第一、二周修后剩下的282米中就要增加10米；假設(shè)第二周修的恰好是全長的1/4，這樣第一、二周修后剩下的282米中又要減少5米，于是條件變?yōu)椤暗谝恢苄蘖巳L的2/5，第二周修了全長的1/4，還剩下（282105）米沒有修。把這條水渠全長看作單位“1”，那么（282105）米的對應(yīng)分率就是（12/51/4）。于是列式為：（282105）（12/51/4）8201（米）四、通過逆推找出解題方法有些分數(shù)應(yīng)用題，如果按從始至終的先后順序去分析，很難達到解決問題的目的，甚至陷入絕境。不妨“反過來想一想”進行逆推，

43、便容易打開思路，順利解題。例：有一個油桶里的油，第一次倒出1/3后加入20千克，第二次倒出這時油的1/6多5千克，這時桶里剩下油95千克。問原來桶里有油多少千克？從最后條件出發(fā)思考：955100（千克），即為現(xiàn)存油的5/6，故現(xiàn)在桶里有油1005/6120，再從第一個條件思考，12020100（千克），即為原存油的2/3，因此，原來桶里有油1002/3150（千克）。綜合算式：（955）（11/6）20（11/3）150（千克）五、借助線段圖找出解題方法分數(shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系比較抽象、隱蔽，如果根據(jù)題意畫出線段圖，可使抽象變具體，隱蔽明朗化，從而借助線段圖揭示的數(shù)量關(guān)系可直觀地找出解題方法，甚至

44、有的題還可找到簡捷的解法。例：甲乙兩人共存人民幣若干元，其中甲占3/5，若乙給甲60元后，則乙余下的錢占總數(shù)的1/4，甲乙兩人各存人民幣多少元？根據(jù)題意畫線段圖：附圖圖從線段圖上一目了然，60元的對應(yīng)分率是（13/51/4），于是可求出甲乙兩人共存人民幣多少元，進而可求出甲乙兩人各存人民幣多少元。60（13/51/4）3200（元）甲乙兩人共存32003/51920（元）甲3200（13/5）1280（元）乙或320019201280（元）六、抓住不變量找出解題方法對于標準量不統(tǒng)一的分數(shù)應(yīng)用題，如果我們能從題中找到一個不變量，就以不變量為突破口，便能夠很快找到解題方法。例：一個車間有工人360

45、人，其中女工占3/5，后來又招進一批女工，這時女工人數(shù)占全車間工人總?cè)藬?shù)的5/8，又招進女工多少人？從題中可知，女工人數(shù)起了變化，引起全車間工人總?cè)藬?shù)起了變化，但是男工人數(shù)始終沒有增減，因此，抓住男工人數(shù)沒有變化這個不變量來分析。當全車間工人為360人時，女工占3/5，則男工占13/52/5，為3602/5144（人）。又招進一批女工后，女工人數(shù)占這時全車間工人總?cè)藬?shù)的5/8，則男工人數(shù)占這時全車間工人總?cè)藬?shù)的15/83/8，因此，這時全車間有工人1443/83849（人）。原來全車間有工人360人，現(xiàn)在增加到384人，增加的原因是由于招進了一批女工，故又招進女工38436024（人）。綜合算

46、式：360（13/5）（15/8）36024（人）七、通過轉(zhuǎn)變換條件找出解題方法有些分數(shù)應(yīng)用題，可以通過改變看問題的角度，將題中某些已知數(shù)量轉(zhuǎn)換成與之有關(guān)聯(lián)的另一個數(shù)量，使之成為一個較為熟悉的簡單的問題，從而找到解題的新方法。例：有兩缸金魚，如果從第一缸取出15尾放入第二缸，這時第二缸內(nèi)的金魚正好是第一缸的5/7，已知第二缸內(nèi)原有金魚35尾，第一缸內(nèi)原有金魚多少尾？這道題可以轉(zhuǎn)化為熟悉的“歸一”問題。題中的5/7根據(jù)分數(shù)的意義，表示把這時第一缸內(nèi)的金魚尾數(shù)平均分成7份，這時第二缸內(nèi)金魚的尾數(shù)占其中的5份，這5份共351550（尾），則每份是50510（尾），因此，這時第一缸內(nèi)有金魚10770（

47、尾），那么第一缸內(nèi)原有金魚701585（尾）。綜合算式：（3515）571585（尾）八、列表對應(yīng)比較找出解題方法有些分數(shù)應(yīng)用題，可以通過列表對應(yīng)比較已知條件，研究其對應(yīng)數(shù)量間的變化規(guī)律，從而可找到解題方法。例：某車間舉辦技術(shù)革新培訓班，如果抽去全車間男工人數(shù)的1/3和女工人數(shù)的1/4后共有90人參加，如果抽去全車間男工人數(shù)的1/4和女工人數(shù)的1/3后共有85人參加。問這個車間有男工多少人？列表對應(yīng)比較分析：附圖圖如果都抽去男工人數(shù)和女工人數(shù)的1/3，那么由（5）式又得：男工人數(shù)的1/3女工人數(shù)的1/33001/3（男工人數(shù)女工人數(shù)）1/33001/3100（人）（6）將（6）式與（2）式比較

48、，男工人數(shù)的1/3比1/4多1008515（人），這15人就相當于全車間男工人數(shù)的（1/31/4），則這個車間有男工15（1/31/4）180（人）以上幾種解較復雜分數(shù)應(yīng)用題的方法，并非是絕對孤立的，因此，在教學中，我們要引導學生靈活運用，以形成自己的解題技能技巧。例21 下圖中圓O的面積和長方形OABC的面積相等。已知圓O的周長是9.42厘米，那么長方形OABC的周長是多少厘米？分析與解 題中告訴我們，圓O的面積和長方形OABC的面積相等。我們知道，圓的面積等于rr，而圖中圓O的半徑恰好是長方形的寬，因此長方形OABC的長正好是r，即圓O的周長的一半。而長方形的周長等于2個長與2個寬的和，也就是圓O的周長與直徑的和。長方形OABC的周長是：9.42+9.423.14=9.42+3=12.42（厘米）答：長方形OABC的周長是12.42厘米。例24 在面積是40平方厘米的正方形中，有一個最大的圓（如圖3）。這個圓的面積是多少平方厘米？分析與解 要求圓的面積，就要先求出圓的半徑。題中告訴我們，正方形的面積是40平方厘米，正方形的邊長的一半，也就是圖中圓的半徑。對小學生來講，從正方形的面積求正方形的邊長，還不會直接計算?？梢赃@樣思考：把正方形平均分成4份（如圖4）。每個小正方形的面積是404=10平方厘米。小正方形的邊長恰好是圓的半徑，因此圓的半徑的平方恰好是1