矩陣多項(xiàng)式的性質(zhì)討論畢業(yè)論文

1、矩陣多項(xiàng)式的性質(zhì)討論摘 要：本文系統(tǒng)總結(jié)了矩陣多項(xiàng)式的一些性質(zhì)，且主要針對(duì)矩陣多項(xiàng)式的特征值、秩、逆矩陣求法和可逆性判別、跡的性質(zhì)的探討以及矩陣多項(xiàng)式在代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。其中對(duì)于已有的結(jié)論則不予證明，同時(shí)本文也給出了一些重要的結(jié)論。關(guān)鍵詞： 矩陣多項(xiàng)式 特征多項(xiàng)式 最小多項(xiàng)式 特征值 秩 跡matrix to discuss the nature of polynomialabstract: this article summarizes the matrix system polynomial some properties, mainly against matrix and the cha

2、racteristics of polynomials, rank, the matrix inverse discrimination law and reversible, track and investigate the nature of the matrix in polynomial the application of algebra. for the conclusions of which have not proved it, and this also gives a number of important conclusions. key words: matrix

3、polynomial characteristic polynomial smallest trace polynomial characteristics rank envalue. 目 錄1 引言32 矩陣多項(xiàng)式的基本性質(zhì)32.1矩陣多項(xiàng)式的特征值32.2矩陣多項(xiàng)式的秩52.3矩陣多項(xiàng)式可逆判定與求法總結(jié)72.4矩陣多項(xiàng)式的跡103 矩陣多項(xiàng)式性質(zhì)的應(yīng)用133.1矩陣多項(xiàng)式成為恒等式的應(yīng)用133.2矩陣多項(xiàng)式在求變換矩陣中的應(yīng)用14參考文獻(xiàn)18謝 辭191 引言定義1：設(shè)是復(fù)數(shù)域的一個(gè)子域，記表示在上關(guān)于的所有多項(xiàng)式全體，記表示與的最大公因子(其中)。定義2：記表示上階矩陣構(gòu)成的矩陣集合。

4、取，記為的最小多項(xiàng)式（其次數(shù)），記為的特征多項(xiàng)式。表示的單位矩陣。定義3：, 則稱為的多項(xiàng)式，顯然若為矩陣，則無(wú)意義。定義4：，表示矩陣的秩，并把簡(jiǎn)計(jì)為。下面一切符號(hào)從上，除非有特別說(shuō)明本文第一部分主要探討的一些基本性質(zhì)，第二部分則著重解決矩陣多項(xiàng)式在代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。同時(shí)也給出本人的證明方法。2 矩陣多項(xiàng)式的基本性質(zhì)矩陣多項(xiàng)式是矩陣分析中一個(gè)重要組成部分,也是控制論或系統(tǒng)工程的一個(gè)重要工具，它具有很多良好的性質(zhì)，因此對(duì)矩陣多項(xiàng)式不同性質(zhì)的討論，可加深對(duì)矩陣?yán)碚摰恼J(rèn)識(shí)，使矩陣?yán)碚摳咄陚湫浴?.1矩陣多項(xiàng)式的特征值 定理1 設(shè)b 且具有n個(gè)不同的特征值,是n個(gè)任意給定的復(fù)數(shù)，則存在多項(xiàng)式 ，使得

5、是a=的特征值。證明:設(shè)b且具有n個(gè)不同的特征值,構(gòu)造線性方程組 則該方程組的系數(shù)行列式為范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置，且互不相同，從而系數(shù)行列式不為零,由克萊姆法則知，該方程組有唯一解令 則的特征值是, 其中 定理2 設(shè)b且具有n個(gè)不同的特征值, ,則相似于對(duì)角矩陣。證明: 設(shè)b且具有n個(gè)不同的特征值為,則相似于對(duì)角矩陣,即存在n階可逆矩陣,使得從而: 即相似于對(duì)角矩陣 .定理3 設(shè)b且具有n個(gè)不同的特征值，若可逆，則的逆矩陣也是的多項(xiàng)式。證明: 設(shè)b的特征值，則的特征值為，其中 由于可逆，故。的特征值為， 其中 ，由定理2，存在可逆矩陣， 使得 由定理1，存在多項(xiàng)式，使得特征值，所以:, 即是的多項(xiàng)

6、式。定理4: 設(shè)是具有不同特征值的n階方陣，則相似于對(duì)角矩陣的充必要條件是：，使得與=相似。證明：（必要性）設(shè)相似于對(duì)角矩陣，的特征值為，由定理1知，存在多項(xiàng)式，使得=的特征值是，又由定理2知=相似于對(duì)角矩陣 ，而也與對(duì)角矩陣相似。由矩陣相似關(guān)系的傳遞性知：與相似。（充分性） 設(shè) 與=相似，其中 ，由定理2知，與對(duì)角矩陣相似，由相似關(guān)系的傳遞性知，與對(duì)角矩陣也相似。定理5：若是矩陣的特征值，則也為的特征值。推論：若的特征值為，則的特征值為。2.2矩陣多項(xiàng)式的秩命題1 設(shè)n階矩陣滿足， 則.命題2 設(shè)n階矩陣滿足， 則.實(shí)際上，命題1，命題2的逆命題也成立，但對(duì)于逆命題的證明，文獻(xiàn)1中沒(méi)有提到，

7、我們把以上的結(jié)果推廣成下面的定理，并給出證明方法。定理1 設(shè),是n階矩陣，則的充分必要條件是 .證明: 由，存在，使，因此有，由 得 (1)又由 得 (2)由(1),(2)可得 (3)由(3)即得 .定理2 設(shè)，是數(shù)域上n維線性空間的一個(gè)線性變換，則的充分必要條件是，這里表示上的恒等變換。證明: 由，不難證明 具體證明參見文獻(xiàn)12，這里從略。于是 （必要性）若，則，于是有 注意到與，即得 （充分性）若，則 +由于為的子空間,故,因此有.2.3矩陣多項(xiàng)式可逆判定與求法總結(jié)文10有這樣的例子：例1：已知矩陣滿足：求的逆矩陣。解：設(shè),利用可得解非齊次線性方程組 可得 即得上例中求矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣的

8、方法較繁瑣且需要一定的計(jì)巧，下面的定理給出了此類矩陣求逆的一般方法。定理1 ，則可逆的充分必要條件是，此時(shí)有，使，且 .證明: 設(shè)為的全部特征值，且可逆，于是有,但，故與無(wú)公共零點(diǎn)，即.反之設(shè)與互素，則因?yàn)闉榱憔仃?，所以?duì)每個(gè)必有且，即無(wú)零特征值，從而可逆。根據(jù)代數(shù)定理，當(dāng)與互素時(shí)，必有，使得 ，從而，即 特別地，當(dāng)為一次多項(xiàng)式時(shí)，利用，是非零常數(shù)，可得 ，即 在例1中，利用輾轉(zhuǎn)相除法可得： 所以有 .定理2 設(shè) , , 則可逆的充要條件.證明： 設(shè)是的全部特征值，則為的全部特征值，于是可逆當(dāng)且僅當(dāng)。由于對(duì)每個(gè)，。所以每個(gè)，當(dāng)且僅當(dāng).根據(jù)這一結(jié)果,當(dāng)可逆時(shí),利用即可由定理1中的方法求出逆矩陣。

9、例2 設(shè)矩陣,求的逆矩陣。 解 的特征多項(xiàng)式與是互素的,由定理2可知可逆,因?yàn)?, 所以,.下面給出從矩陣秩的角度推導(dǎo)出矩陣多項(xiàng)式可逆判定，而不用特征值性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)：定理 3 記， ，且，則有證明： 由多項(xiàng)式理論知：有、滿足：， 則有，注意到即知：顯然若，則，從而可逆。因此有：推論1：，若則可逆。這是文6主要結(jié)果之一，文中已指出推論1中的僅是充分條件。定理 4 設(shè)，則.也可得到推論1:取即得即可逆。下面給出本人的證明證明： 由得：、滿足：即顯然 當(dāng)且僅當(dāng).定理 5 設(shè),則可逆.我們先看兩個(gè)引理：引理 1 可逆（或）的常數(shù)項(xiàng)不為0.引理2 設(shè),對(duì)任意,若可逆,則（這是文13最早得出，證明方法從略

10、。）證明： 由推論1知只需證其必要性令，則由定理3可知：可逆。從而由引理2可知：，不妨設(shè)，從而有即得 .這是文7主要結(jié)果，這里只是給出另外一種證法，文中指出的逆的求法，即可用輾轉(zhuǎn)相除法判定與是否互素，若互素可得： ，從而有：。推論1：當(dāng)時(shí)，則有是非零數(shù),可得：.推論2：可逆.推論3：可逆. 推論4：，則可逆.證明： 顯然，它與互素當(dāng)且僅當(dāng).推論5： ，則可逆多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)不為零。證明： 顯然，它與互素當(dāng)且僅當(dāng)其常數(shù)項(xiàng)不為零。推論6：，則可逆.證明： 顯然，它與互素當(dāng)且僅當(dāng).下面對(duì)矩陣多項(xiàng)式可逆判定常用結(jié)論（按最早提出的時(shí)間順序排列）歸納如下：令，為的所有特征值，且則以下命題是相互等價(jià)的:可逆 （

11、由文3最早給出）（由文3最早給出）的根與的特征根互異（由文13最早給出）（由文6最早給出）（由文10最早給出）至于具體證法與求法實(shí)例請(qǐng)讀者參考相關(guān)文獻(xiàn)。讀者不妨按“ ”順序證明。從略。2.4矩陣多項(xiàng)式的跡 本文僅給出文12中“兩個(gè)未解決的問(wèn)題”的參考答案，首先給出文12有關(guān)矩陣多項(xiàng)式的跡相關(guān)結(jié)論，具體證明請(qǐng)見文12.按文12符號(hào)說(shuō)明：表示所有矩陣集；表示實(shí)對(duì)稱正定矩陣集，表示系數(shù)為實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式集；表示系數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式集。命題1：，及，有： .命題2：，且.命題3：，,有 .命題4：，,有.命題5：有.命題6：，有 .命題7：，若，則有： .命題8:，若數(shù)列有界，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收

12、斂。命題9：有 .命題10：及或有 （1）.其中表示的導(dǎo)函數(shù)。文12中提出兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：命題10是否對(duì)于均成立？問(wèn)題2：及是否有：（或）（2）其中 表示同類因子乘積,本文指出兩個(gè)命題均不成立。首先給出下面引理：引理1： 。證明： 由矩陣多項(xiàng)式定義與多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)關(guān)系可知這是顯然的。引理2：有：.從而當(dāng)且時(shí)，有：.證明： 設(shè)的特征根為,則顯然,當(dāng)時(shí)，有，故.當(dāng)，且時(shí)，由命題1及知 .引理3：，則.證明： 取，則問(wèn)題1的反例如下：取，則， 可得顯然有.這里說(shuō)明一下構(gòu)造反例的思路：在不等式（1）中，由引理2知： 時(shí)，則有：，且（1）式僅能取小于號(hào)。因此先令，再任意取的值，可得 ，且然后結(jié)合引理1及3

13、，取，即可得所要的反例.問(wèn)題2的反例如下：取，用表示（2）中兩式的關(guān)系，則（2）變?yōu)椋?改為： （3）式取，（3）式左邊值，右邊值為，則取“”;取，則左邊值為，右邊值為，則取“”.這兩個(gè)反例都說(shuō)明了文12的兩個(gè)假設(shè)都是不成立。3 矩陣多項(xiàng)式性質(zhì)的應(yīng)用本文已對(duì)矩陣多項(xiàng)式的性質(zhì)做了系統(tǒng)的總結(jié)，接著利用這些性質(zhì)來(lái)解決代數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題提供形之有效的方法, 可進(jìn)一步加深對(duì)矩陣?yán)碚摰恼J(rèn)識(shí)，使矩陣?yán)碚撛诖鷶?shù)學(xué)中具有更廣泛的適用性.。3.1矩陣多項(xiàng)式成為恒等式的應(yīng)用在高等代數(shù)或線性代數(shù)中，常常通過(guò)用定義來(lái)證明一些關(guān)于矩陣的恒等式，敘述相當(dāng)煩瑣，因此建立一個(gè)關(guān)于矩陣多項(xiàng)式的等式成為恒等式的定理來(lái)簡(jiǎn)化矩陣恒等式

14、的證明是有重要意義的，為此，先引入大家熟知的結(jié)果。引理： 設(shè)，是數(shù)域上的兩個(gè)關(guān)于的多項(xiàng)式，如果，且，則.定理： 設(shè)是數(shù)域上的n個(gè)未定矩陣，表示數(shù)域上的一個(gè)關(guān)于的元素的多項(xiàng)式。如果當(dāng)矩陣都可逆時(shí)，有 ，那么，對(duì)于任意矩陣均有.證明： 顯然，我們只需對(duì)是多項(xiàng)式的情形證明定理即可?？疾礻P(guān)于的元素的多項(xiàng)式，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，也即都可逆。所以由條件得，從而，；當(dāng)時(shí)，也即不都可逆時(shí)，顯然有.因此對(duì)任意k階矩陣均有，也即.因而關(guān)于未定矩陣元素的多項(xiàng)式有.又多項(xiàng)式（因當(dāng)均是可逆矩陣時(shí)，），因此由引理得：.待添加的隱藏文字內(nèi)容3上述定理表明，一個(gè)關(guān)于可逆矩陣成立的矩陣等式，必定是一個(gè)矩陣恒等式。例3 對(duì)數(shù)域的兩個(gè)

15、n階矩陣和，求證 .證明： 當(dāng)、都可逆時(shí)，也可逆。并且，因此 . 令，則當(dāng)、都可逆時(shí)，。根據(jù)定理得：對(duì)任意n階矩陣、均有，也即，即得.3.2矩陣多項(xiàng)式在求變換矩陣中的應(yīng)用在學(xué)習(xí)和研究矩陣在相似標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，往往會(huì)碰到在相似變換下變換矩陣求解的問(wèn)題。目前在高等代數(shù)或線性代數(shù)及一些參考書中在矩陣相似標(biāo)準(zhǔn)形的處理上，大多采用了初等因子、不變因子體系和從線性變換的不變子空間入手，在由線性變換和矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系予以解決，同時(shí)這套理論內(nèi)容抽象、理論偏深，從中得到變換矩陣的求法也難以掌握。因此，通過(guò)矩陣多項(xiàng)式性質(zhì)的有關(guān)知識(shí)給出變換矩陣的求法。定義： 對(duì)任一個(gè)n階矩陣多項(xiàng)式，設(shè) ，其中與 各為代入矩陣以時(shí)，多項(xiàng)式的

16、右值與左值。引理1 當(dāng)右（左）除矩陣多項(xiàng)式以時(shí)，除得的余式為（）。證明： = = = 故當(dāng)右除時(shí)，除得的余式為.同理可證 .引理 2 若與相抵，則它們是嚴(yán)格相抵的，即在恒等式 （1） 中，可以換與為與，其中與均可逆。證明： 若與相抵，則有（1）式成立。 由引理1，存在陣和，使得 成立，于是由（1）式得 整理后即為 因?yàn)橛叶说拇螖?shù)不超過(guò)1，所以 是一個(gè)數(shù)字矩陣，可以 ， （2） 由 再由是數(shù)量矩陣，故可用反證法證明，所以， 所以 ，所以由（2）式得.定理 若矩陣相似于，即存在可逆陣，使得成立，則可取，其中與是使恒等式成立的可逆陣。證明：設(shè)成立，則存在可逆陣陣、，使得成立。由引理2可得 從而得，亦

17、即，其中.例4 求化矩陣 為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣.解 用初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形 (4)時(shí),所需的列初等變換依次為 的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是 化為標(biāo)準(zhǔn)形(4)式時(shí),所需的列初等變換依次為 .對(duì)單位矩陣 依次施行列初等變換.可得 因此有 .參考文獻(xiàn)1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等代數(shù)m.（第三版）北京: 高等教育出版社,2003.2 姚慕生.高等代數(shù)學(xué)m .上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1999.3樊惲（等主編）.代數(shù)學(xué)辭典m . 華東師范大學(xué)出版社,1994, 355-555.4丘維聲. 高等代數(shù)(下)m. 北京: 高等教育出版社,2003.5 w.greub,linear algebra.m.springer-verlag,1984.6 彭雪梅.矩陣多項(xiàng)式可逆性判定j.湖南:吉首大學(xué)高等數(shù)學(xué)研究,2000,(05):39-40.7 胡付高.一類矩陣多項(xiàng)式的性質(zhì)j.湖北:孝感學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)報(bào),2007,(06):164-166.8